抽象代數(shù)考卷

2008年抽象代數(shù)期末試卷(周振強(qiáng))

說(shuō)明：本試卷的R模，均指R是交換環(huán)的情況.

一、設(shè):f:M ?N是R模同態(tài)，(16分)

.證明下述敘述等價(jià)：

f是單同態(tài).

.對(duì)任意的R模K，以及R模g,h:K M，如果fg=fh，則有g(shù)=h.

.對(duì)偶地，證明下述敘述等價(jià)：

(a)f是滿同態(tài).

(b)對(duì)任意的R模K，以及R模g,h:N W，如果gf=hf，則有g(shù)=h.

.證明：若gf為滿同態(tài)，則g是滿同態(tài)；若gf為單同態(tài)，則f是單同態(tài).

二、(18分)

.請(qǐng)敘述自由模的定義，并分別舉出是自由模與非自由模之例.

.設(shè)M是主理想整環(huán)R上自由模，試問(wèn)：向量空間中擴(kuò)充基定理是否成立？即M的基是否可以由其子模的基擴(kuò)充而得到？若結(jié)論成立，證明之，若不成立，請(qǐng)舉反例.

⑶.證明：m是自穌-模的充要條件為m是其循環(huán)子模m的內(nèi)直和,即M=*M，，并且每個(gè)子模Mj都同構(gòu)于R.

三、設(shè)A，｛AJ臼是R一模，A是｛AJ臼的直和.(22分)

.試寫(xiě)出直和的范性定理并繪出交換圖.

.試證明：對(duì)于范性圖中的典范入射氣，皆存在一個(gè)8產(chǎn)Hom(A,A)，使得

(a)g門(mén)=￡，(b)g門(mén)=0,jOi，(c)Z門(mén)g=￡.

iiAj ji ijA

.試問(wèn)：直和A，是否滿足直積的交換圖，即對(duì)于直和的典范投射族｛七｝臼，任意的對(duì)象B及

一族同態(tài)｛巴七,

其中.6Hom(B,AJ，是否有下圖可交換:

B ■*A

成立？若成立，不必給出證明，若不成立，請(qǐng)舉出反例，反之，設(shè)A是直積，問(wèn)其是否滿足直和范性圖的性質(zhì)，若結(jié)論為真，亦不必證明，若不然，請(qǐng)舉一反例說(shuō)明之.

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四、 (22分)

.請(qǐng)敘述正合列的定義，舉一短正合列之例.

.設(shè)頊:N M和g:M N是R一模同態(tài)，使得gf=8n.證明：f是單

同態(tài)，g是滿同態(tài)，并且有M=Imf十kerg成立. "

.我們將滿足(2)中條件的f稱為可裂單同態(tài)，g稱為可裂滿同態(tài)，如果短正合列

0 ?M—M—M ?0

1 2

中f是可裂單同態(tài)，g是可裂滿同態(tài)，則稱此短正合列為分裂的.試證明：共變Hom(A,__)函子保持可裂正合列.

五、 (22分)

設(shè)fg是R一模，若M除了零模和本身之外沒(méi)有其他的子模，則稱M為單純R一模.試證明：

.若f:A B是一個(gè)R模同態(tài)，則f不是零同態(tài)就是單同態(tài).

.若g:B A是一個(gè)R模同態(tài)，則g不是零同態(tài)就是滿同態(tài).

.證明(Schur引理)EndRA=Hom^(A,A)是一個(gè)除環(huán).

一、 (1)敘述Sylow的三個(gè)定理。

利用Sylow定理具體描述s。

3

二、 (1)敘述Zorn引理.

(2)利用Zorn引理證明命題：如果G是有限交換P群，則G是循環(huán)群的直和。

三、 (1)給出自由模的定義。

(2)找出一個(gè)自由模的例子。

(3)證明：如果V是自由模，則存在一個(gè)集合x(chóng)以及集合的映射l:X—V,使得對(duì)任意R-模M以及集合的映射f:X—M，存在唯一的R-模同態(tài)，f::V—M，滿足f=fl。

四、 (1)給出內(nèi)射模的定義及可除模的定義。

（2） 給出Baer判別法。

（3） 給出內(nèi)射模的兩個(gè)等價(jià)刻畫(huà)并加以證明。

（4） 證明：在主理想整環(huán)R上，內(nèi)射模與可除模是一致的。

五、 記（吃七A為一族左R模。給出模族直積的泛性刻劃，并以其證明（吃七A的積在同