2022年秋高中數(shù)學第七章隨機變量及其分布7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征7.3.2離散型隨機變量的方差課件新人教A版選擇性必修第三冊

7.3.2離散型隨機變量的方差第七章課標要求1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差,并能解決一些實際問題.3.掌握方差的性質(zhì).內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學以致用?隨堂檢測全達標基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)知識點1

離散型隨機變量的方差、標準差設(shè)離散型隨機變量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xnPp1p2…pn考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因為X取每個值的概率不盡相同,所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均,來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度,我們稱D(X)=

=

為隨機變量X的方差,有時也記為Var(X),并稱

為隨機變量X的標準差,記為σ(X).

該值一定為非負

(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn名師點睛隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度,反映了隨機變量取值的離散程度.方差或標準差越小,隨機變量的取值越集中;方差或標準差越大,隨機變量的取值越分散.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)離散型隨機變量的方差越大,隨機變量越穩(wěn)定.(

)(2)若a是常數(shù),則D(a)=0.(

)(3)離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于期望的平均程度.(

)(4)標準差與隨機變量本身有相同的單位,在實際問題中應(yīng)用更廣泛.(

)2.隨機變量的方差與樣本的方差有何不同?×√√√提示

樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的,因此它是一個隨機變量,而隨機變量的方差是通過大量試驗得出的,刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度,因此它是一個常量而非變量.知識點2

離散型隨機變量的方差的性質(zhì)1.一般地,可以證明下面的結(jié)論成立:D(aX+b)=a2D(X).b值不影響方差值

2.一般地,隨機變量X服從兩點分布,那么D(X)=(1-p)2·p+p2(1-p)=p(1-p).過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)當a,b均為常數(shù)時,隨機變量η=aξ+b的方差D(η)=D(aξ+b)=aD(ξ).(

)(2)設(shè)隨機變量X的方差D(X)=1,則D(2X+1)的值為4.(

)2.兩點分布的方差是定值嗎?×√提示

不是定值,僅與兩點分布中P(X=0)或P(X=1)的值相關(guān).重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一求離散型隨機變量的方差【例1】

從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,設(shè)隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù),求X的方差.解由題意,X的可能取值為0,1,2,X的分布列為

規(guī)律方法

1.求離散型隨機變量X的方差的基本步驟:理解X的意義,寫出X可能取的全部值↓求出X取每個值時的概率↓列出X的分布列↓由均值的定義求出E(X)↓利用公式D(X)=(xi-E(X))2pi求出D(X)2.已知隨機變量η=aξ+b求D(η)時,注意D(η)=D(aξ+b)=a2D(ξ)的應(yīng)用,這樣既可以避免求隨機變量η的分布列,又能避免復雜的計算,可簡化計算過程.變式訓練1袋中有除顏色外其他都相同的6個小球,其中紅球2個、黃球4個,規(guī)定取1個紅球得2分,1個黃球得1分.從袋中任取3個小球,記所取3個小球的分數(shù)之和為X,求隨機變量X的分布列、均值和方差.解由題意可知,X的所有可能取值為5,4,3,故X的分布列為

探究點二離散型隨機變量的方差的應(yīng)用【例2】

甲、乙兩個建材廠都想投標參加某重點項目建設(shè),為了對重點項目建設(shè)負責,政府到兩建材廠抽樣檢查,從他們中各取等量的樣品檢查它們的抗拉強度指數(shù)如下.X110120125130135P0.10.20.40.10.2Y100115125130145P0.10.20.40.10.2其中X和Y分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強度,在使用時要求抗拉強度不低于120的條件下,比較甲、乙兩廠材料哪一種穩(wěn)定性較好.解E(X)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E(Y)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,D(X)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,D(Y)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165.由于E(X)=E(Y)>120,而D(X)<D(Y),故甲廠的材料穩(wěn)定性較好.規(guī)律方法

離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,而方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.因此在實際決策問題中,需先計算均值,看誰的平均水平高,再計算方差,分析誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.當然不同的情形要求不同,應(yīng)視具體情況而定.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)離散型隨機變量的方差、標準差;(2)方差的性質(zhì);(3)方差的實際應(yīng)用.2.方法歸納:公式法、轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū):(1)易對方差公式套用錯誤;(2)對于標準差和方差的單位容易混淆.學以致用?隨堂檢測全達標1.設(shè)隨機試驗的結(jié)果只有A發(fā)生和A不發(fā)生,且P(A)=m,令隨機變量

A.m

B.2m(1-m)C.m(m-1) D.m(1-m)答案

D

解析

顯然X服從兩點分布,∴D(X)=m(1-m).2.若隨機變量ξ的分布列如下,其中m∈(0,1),則下列結(jié)論正確的是(

)ξ01PmnA.E(ξ)=m,D(ξ)=n3B.E(ξ)=m,D(ξ)=n2C.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m-m2D.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m2答案C

解析

依題意,n=1-m,則E(ξ)=0×m+1×n=n=1-m,D(ξ)=[0-(1-m)]2m+[1-(1-m)]2(1-m)=m-m2.3.(多選題)(2022湖南岳陽一模)若隨機變量X服從兩點分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分別為隨機變量X的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是(