一元二次方程(分知識點-詳細-適合基礎差的學生)

一元二次方程知識網絡詳解：考點1.一元二次方程的定義：形如ax2+bx+c二0（a豐°）的關于x的方程為一元二次方程．考點2.一元二次方程的解法：先嘗試“因式分解法”；不能分解時可選擇“配方法”或者“求根公式法”I-b+\b2-4acx=—求根公式：1,22a考點3.一元二次方程的判別式：人二b2-4ac有兩個不相等的實數根：人>°有兩個相等的實數根：A=°無實數根：A<°有實數根：A-°考點4.一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）：若An°時，設X1、x2為一元二次方程ax2+bx+c二°（a豐°）的兩個實數根，那么：bcx+x=-x?x=12a，12a考點5.一元二次方程應用題（數字問題，互贈問題，面積問題，增長率問題，利潤問題）【課前回顧】1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程2x2-8x+7=°的兩根，則這個直角三角形的斜邊是（）A.B.3C.6D.<62、關于x的方程（m-1）x2+2mx+m=°有實數根，則m的取值范圍是（）A.m>°且m豐1B.m>°C.m豐1D.m>13、關于x的一元二次方程（k-1）x2-4x-5=0有兩個不相等實數根，則k的取值范圍是_4、某工廠計劃在兩年內把產量提高44%，如果每年的增長率都和上一年相同，則平均每年的增長率是。5、解方程（1）（x+2）2-25=°（2）2x2-1°x=3

(3)((3)(x+3)2二(1-2x)2132(4)—x2一x+=0323經典例題講解：考點一、概念例1、下列方程中是關于x的一元二次方程的是（）A3（x+1）2=2（x+1）B—+--2=0x2xCax2+bx+c=0dx2+2x=x2+1變式：當k時，關于x的方程kx2+2x=x2+3是一元二次方程。TOC\o"1-5"\h\z例2、方程（m+2）x^m+3mx+1=0是關于x的一元二次方程，則m的值為。變式練習：1、方程8x2=7的一次項系數是，常數項。2、若方程（m-2）x\m-1=0是關于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵寫出關于x的一元一次方程。3、若方程（m-必2+?x=1是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍。4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考點二、方程的解例1、已知2y2+y—3的值為2,則4y2+2y+1的值為。例2、關于x的一元二次方程（a-2）x2+x+a2-4=0的一個根為0,則a的值為。例3、已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a豐0）的系數滿足a+c=b，則此方程必有一根為。例4、已知a,b是方程x2-4x+m=0的兩個根，b,c是方程y2-8y+5m=0的兩個根，則m的值為。例1例1、2x（x一3）=5（x一3）的根為（）變式練習：1、已知方程X2+kx—10=0的一根是2,則k為，另一根是—x+12、已知關于x的方程x2+kx—2=0的一個解與方程=3的解相同。x—1⑴求k的值；⑵方程的另一個解。TOC\o"1-5"\h\z3、已知m是方程x2—x—1=0的一個根，則代數式m2—m=。4、已知a是x2—3x+1=0的根，則2a2—6a=。5、方程G-b)x2+(b一c)x+c一a=0的一個根為()A—1B1Cb—cD—a6、若2x+5y—3=0,貝卩4x?32y=?？键c三、解法類型一、直接開方法：x2=>0),nx=土襯m※※對于(x+a)2=m,(ax+m)2=(bx+n)2等形式均適用直接開方法例1、解方程：(1)2x2—8=0;(2)25—16x2=0；(3)(—x)2—9=0;例2、若9(x—1)2=16(x+2)2，則x的值為。變式練習：下列方程無解的是()A.x2+3=2x2—1b.(x—2)2=0C.2x+3=1—xd.x2+9=0類型二、因式分解法:G—x)(x一x)=0nx=x,或x=x11212※方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”,※方程形式：如（※方程形式：如（ax+m）2=（bx+n(x+a)(+b)=(x+a)(+c)x2+2ax+a2=0525252'X2例2、若（4x+y）2+3（4x+y）一4—0，則4x+y的值為變式1：變式2：若C+y)2—x—y)+3—0，則x+y的值為TOC\o"1-5"\h\z變式3：若x2+xy+y—14,y2+xy+x—28，則x+y的值為。例3、方程x2+|x|—6—0的解為()A.x——3，x—2B.x—3，x——2C.x—3，x——3D.x—2，x——212121212變式練習：1、下列說法中：方程x2+px+q—0的二根為x,x，貝yx2+px+q—(x—x)(x—x)1212—x2+6x—8—(x—2)(x—4).a2—5ab+6b2—(a—2)(a—3)x2一y2—(x+y)G--；x+Yy)(、：x—斗y)方程（3x+1）2—7—0可變形為（3x+1+*7）（3x+1—、：7）—0正確的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個2、以1+i：7與1-\：7為根的一元二次方程是（）A．A．x2—2x—6—0B．x2—2x+6—0C．C．y2+2y—6—0D．y2+2y+6—03、（1）寫出一個一元二次方程，要求二次項系數不為1,且兩根互為倒數：⑵寫出一個一元二次方程，要求二次項系數不為1,且兩根互為相反數：TOC\o"1-5"\h\z4、若實數x、y滿足G+y一3）。+y）+2—0,則x+y的值為（）A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或25、方程：x2+=2的解是。x2rn）（b）2b2—4ac類型三、配方法ax2+bx+c—OVa豐0丿nx+———類型三、配方法V2a丿4a2⑷⑷3x2-4x-1=0⑸3(x-1)3x+1)=G-1)2x+5)※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數式的值或極值之類的問題。例1、試用配方法說明X2-2x+3的值恒大于0。例2、已知x、y為實數，求代數式x2+y2+2x-4y+7的最小值。例3、已知x2+y2+4x-6y+13二0,x、y為實數，求xy的值。例4、分解因式：4x2+12兀+3變式練習：1、試用配方法說明—10x2+7x—4的值恒小于0。2、已知x2+丄-x---4=2、x2x，最小值為3、若t=2-\：-3x2+12x—9，則t的最大值為，最小值為類型四、公式法⑴條件：C豐0,且b2-4ac>0)⑵公式：x=-b土助2-4ac,(a豐0,且b2-4ac>0)2a典型例題：例1、選擇適當方法解下列方程：(1)3(1+x上=6.(2)(x+3)C+6)=—8.(3)x2—4x+1=0例2、在實數范圍內分解因式：(1)x2一2^2x-3；(2)一4x2+8x-1.⑶2x2-4xy-5y2考點四、根的判別式b2-4ac例1、若關于x的方程x2+2心kx-1二0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是例2、關于x的方程(m-1)x2+2mx+m=0有實數根，則m的取值范圍是()A.m>0且m豐1b.m>0C.m豐1D.m>1例3、已知關于x的方程x2-(k+2+2k=0⑴求證：無論k取何值時，方程總有實數根；(2)若等腰AABC的一邊長為1,另兩邊長恰好是方程的兩個根，求AABC的周長。例4、已知二次三項式9x2-(m+6)x+m-2是一個完全平方式，試求m的值.Ix2+2y2=6,例5、m為何值時，方程組彳有兩個不同的實數解？有兩個相同的實數解?Imx+y=3.變式練習：1、當k時，關于x的二次三項式x2+kx+9是完全平方式。2、當k取何值時，多項式3x2-4x+2k是一個完全平方式？這個完全平方式是什么？3、已知方程mx2-mx+2=0有兩個不相等的實數根，則m的值.y=kx+2,4、k為何值時，方程組\|y2一4x一2y+1=0.1)有兩組相等的實數解，并求此解；2）有兩組不相等的實數解3）沒有實數解.考點五、方程類問題中的“分類討論”例1、關于x的方程（m+I）x2+2mx-3-0⑴有兩個實數根，則m為,⑵只有一個根，則m為。例1、不解方程，判斷關于x的方程x2-2（x-k）+k2=-3根的情況。例3、如果關于x的方程x2+kx+2=0及方程x2-x-2k=0均有實數根，問這兩方程是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由?？键c六、應用解答題1、五羊足球隊的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯990次，問晚宴共有多少人出席?2、某小組每人送他人一張照片，全組共送了90張，那么這個小組共多少人？3、北京申奧成功，促進了一批產業(yè)的迅速發(fā)展，某通訊公司開發(fā)了一種新型通訊產品投放1市場，根據計劃，第一年投入資金600萬兀，第二年比第一年減少3，第二年比第二年減1少2，該產品第一年收入資金約400萬元，公司計劃三年內不僅要將投入的總資金全部收1回，還要盈利3，要實現這一目標，該產品收入的年平均增長率約為多少？（結果精確到0.1,713沁3.61）4、某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，據市場分析，若按每千克50元銷售一個月能售出500千克，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對此回答：(1)當銷售價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤。(2)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？5、將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長作成一個正方形。要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2,那么這兩段鐵絲的長度分別為多少?兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能,請說明理由。兩個正方形的面積之和最小為多少？6、人、B兩地間的路程為36千米?甲從A地，乙從B地同時出發(fā)相向而行，兩人相遇后，甲再走2小時30分到達B地，乙再走1小時36分到達A地，求兩人的速度.考點七、根與系數的關系例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程2x2-8x+7二0的兩根，則這個直角三角形的斜邊是()A.訂B.3C.6D.J6例2、已知關于x的方程k2x2+(2k-l)x+1二0有兩個不相等的實數根x,x，12求k的取值范圍；是否存在實數k,使方程的兩實數根互為相反數？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。

例3、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項系數為1）時，小明因看錯常數項，而得到解為8和2,小紅因看錯了一次項系數，而得到解為-9和-1。你知道原來的方程是什么嗎？其正確解應該是多少？例4、已知a乂b，a2—2a—1=0，b2—2b—1=0，求a+b=ab變式：若a2—2a—1=0，b2—2b—1=0，則〒+—的值為。ba例5、已知a,卩是方程x2—x—1=0的兩個根，那么a4+3P=.變式練習:1、解方程組〔x+y=3,5(2Ix2+y2=5(2)2.已知2.已知a2一7a=—4b2一7b=—4(a豐b)，3、已知x,x是方程x2一x一9=0的兩實數根，求x3+7x2+3x一66的值。12122自檢自測:1?鐘老師出示了小黑板上的題目（如圖1—2—2）后，小敏回答：“方程有一根為1”，小聰回答：“方程有一根為2”.則你認為（）A.只有小敏回答正確B.只有小聰回答正確C.兩人回答都正確D.兩人回答都不正確圖1-2-22?解一兀二次方程x2—x—12=0，結果正確的是（）A.x=—A.x=—4，x=3B.x=4，x=—31212C.x1=—4,D?x=4，x=3123?方程x（x+3）=（x+3）解是（）A．x1=1A．x1=1B．x=0，x=－312C．x=1，x=312D．x=1，x=－3124.若t是一元二次方程ax2+bx+c=O（aMO）的根，則判別式A=b2—4ac和完全平方式M=（2at+b）2的關系是（）a.a=mb.a>mC.AVMD.大小關系不能確定方程x2xT）=0的根是（）A.OB.1C.O，—1D.O，1已知一元二次方程x2—2x—7=0的兩個根為x,x，則x+x的值為（）1212TOC\o"1-5"\h\zA.—2B.2C.—7D.711已知x、x是方程x2—3x+l=0的兩個實數根，則一+—的值是（）12xx121A、3B、一3C、3D、18.用換元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6時，如果設x2+x=y,那么原方程可變形為（）A、y2＋y—6=0B、y2—y—6=0C、y2—y＋6=0D、y2＋y＋6=09.方程x2—5x=0的根是（）A.0B.0，5C.5，5D.510?若關于x的方程x2+2x+k=0有實數根，則（）A.kV1,B.kWlC.kW—1D.k三一1如果一元二次方程x2—4x/r/