計(jì)算理論與算法分析設(shè)計(jì)：06-branch-bound

分支限界法

6.1分支限界方法概述在解空間樹中，以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索利用部分解的最優(yōu)信息,裁剪那些不能得到最優(yōu)解的子樹以提高搜索效率搜索策略是：在擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處，先生成其所有的兒子結(jié)點(diǎn)（分支）舍棄導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中從當(dāng)前的活結(jié)點(diǎn)表中選擇下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)持續(xù)此過程直到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空2方法概述:基本思想為了有效地選擇下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，以加速搜索的進(jìn)程，在每一活結(jié)點(diǎn)處，計(jì)算一個(gè)函數(shù)值（限界），并根據(jù)這些已計(jì)算出的函數(shù)值，從當(dāng)前活結(jié)點(diǎn)表中選擇一個(gè)最有利的結(jié)點(diǎn)作為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，使搜索朝著解空間樹上有最優(yōu)解的分支推進(jìn)，以便盡快地找出一個(gè)最優(yōu)解。3分支限界法與回溯法的區(qū)別求解目標(biāo)不同：一般而言，回溯法的求解目標(biāo)是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解；搜索方法不同：回溯算法使用深度優(yōu)先方法搜索，而分枝限界一般用寬度優(yōu)先或最小耗費(fèi)方法來搜索；

4分支限界法與回溯法的區(qū)別對擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展方式不同：分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)；存儲(chǔ)空間的要求不同：相對而言，分枝限界法的存儲(chǔ)空間比回溯法大得多，因此當(dāng)內(nèi)存容量有限時(shí)，回溯法成功的可能性更大

5方法概述:求解步驟①定義解空間(對解編碼);②確定解空間的樹結(jié)構(gòu);③按BFS等方式搜索:

a.每個(gè)活結(jié)點(diǎn)僅有一次機(jī)會(huì)變成擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)；

b.由擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)生成一步可達(dá)的新結(jié)點(diǎn)；

c.在新結(jié)點(diǎn)中,刪除不可能導(dǎo)出最優(yōu)解的結(jié)點(diǎn)；//剪枝策略

d.將余下的新結(jié)點(diǎn)加入活動(dòng)表(隊(duì)列)中；

e.從活動(dòng)表中選擇結(jié)點(diǎn)再擴(kuò)展；//選擇策略

f.直至活動(dòng)表為空；6方法概述:

兩種常見的活結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展方式先進(jìn)先出隊(duì)列（FIFO）:即從活結(jié)點(diǎn)表中取出結(jié)點(diǎn)的順序與加入結(jié)點(diǎn)的順序相同；優(yōu)先隊(duì)列:每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有一個(gè)對應(yīng)的耗費(fèi)或收益。如果查找一個(gè)具有最小耗費(fèi)的解，下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)就是具有最小耗費(fèi)的活結(jié)點(diǎn)；如果希望搜索一個(gè)具有最大收益的解，下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是具有最大收益的活結(jié)點(diǎn)。7方法概述:示例1示例1（FIFO隊(duì)列分枝限界法）問題：0-1背包問題:物品數(shù)n=3,重量w=(20,15,15),價(jià)值v=(40,25,25),背包容量c=30,試裝入最大價(jià)值之和的物品?求解：①解空間:{(0,0,0),(0,0,1),…,(1,1,1)}②解空間樹:DBHAIEJKFCLMGNO111111100000008方法概述:示例1③BFS搜索（FIFO隊(duì)列）擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列(可行結(jié)點(diǎn))可行解(葉結(jié)點(diǎn))解值

AB,CBCBD,E(D死結(jié)點(diǎn))CECF,GEFGEJ,K(J死結(jié)點(diǎn))FGK40FL,MGL,M50,25GN,OφN,O25,0

∴最優(yōu)解為L,即(0,1,1);解值為50DBHAIEJKFCLMGNO11111110000000w=(20,15,15),v=(40,25,25),c=309方法概述:示例2示例2（優(yōu)先隊(duì)列分枝限界法）問題：0-1背包問題:物品數(shù)n=3,重量w=(20,15,15),價(jià)值v=(40,25,25),背包容量c=30,試裝入最大價(jià)值之和的物品?求解：①解空間:{(0,0,0),(0,0,1),…,(1,1,1)}②解空間樹:DBHAIEJKFCLMGNO1111111000000010方法概述:示例2BFS搜索（優(yōu)先隊(duì)列：按價(jià)值率優(yōu)先）擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)活結(jié)點(diǎn)堆(可行結(jié)點(diǎn))可行解(葉結(jié)點(diǎn))解值

AB,CBD,E(D死結(jié)點(diǎn))EJ,K(J死結(jié)點(diǎn))K40CF,G

FL,ML

50(最優(yōu))GN,OφBCECFGCGDBHAIEJKFCLMGNO11111110000000w=(20,15,15),v=(40,25,25),c=3011Branch&Bound例：用分支限界法求解分配問題分配問題：設(shè)有n個(gè)人，每個(gè)人都可以完成n種不同的任務(wù)，但所需時(shí)間不同。要求每人完成一項(xiàng)工作，則應(yīng)如何分配n個(gè)人并使完成所有n項(xiàng)工作的總時(shí)間為最小。12可行解：滿足以下約束條件：分配一人且僅一人去做每項(xiàng)工作的解稱為分配問題的可行解考慮n=4的情況。 A,B,C,D四個(gè)人分別完成1、2、3、4。這時(shí)問題有4！=24個(gè)可行解13人工作1234A21097B154148C13141611D415139

14人1234

A21097

B154148

C13141611

D41513922A做1B做1C做1D做1274133243624342831A做2B做2C做2A做3C做3283739B做2C做2D做2A→3,B→2,C→4,D→1,總時(shí)間為28例1：用分支限界法求解分配問題15相關(guān)知識(shí)回顧：堆（Heap)堆給定一個(gè)序列A[]={A[1],A[2],…,A[n]},可以按如下的方式構(gòu)造一棵二叉樹：A[1]為根對任何一個(gè)A[i],它的左兒子是A[2i],右兒子是A[2i+1]如果2i或2i+1超過n，則A[i]沒有相對應(yīng)的那個(gè)兒子16A[1]A[2]A[3]A[4]A[5]A[6]A[7]A[8]A[9]堆堆所構(gòu)造的樹有如下性質(zhì)所有葉子在樹的最底層或倒數(shù)第二層如果最底層的節(jié)點(diǎn)不能完全填滿，則總是在最左邊這樣的樹叫左-完全二叉樹17堆堆如果一個(gè)左-完全二叉樹有下列性質(zhì)：任何一個(gè)非葉節(jié)點(diǎn)的值都大于等于（或小于等于）它的兒子的值則這個(gè)樹稱為大（?。╉敹岩粋€(gè)堆對應(yīng)的序列顯然有如下性質(zhì)：大頂堆小頂堆18堆堆96，83，27，38，11，99683273811912，36，24，85，47，30，53，91123624854730539119堆堆—堆調(diào)整取出極值元素，仍保持堆性質(zhì)假設(shè)已經(jīng)有一個(gè)現(xiàn)成的（大頂）堆將堆頂（根）的最大元素和序列的最后一個(gè)元素交換對除了尾元素之外的元素繼續(xù)建成堆20堆50243020211831256堆—堆調(diào)整

假設(shè)已經(jīng)有一個(gè)堆，把堆頂元素和最后一個(gè)元素交換624302021183125500)剩下的序列中，堆的性質(zhì)被破壞，調(diào)整堆就是把剩余的序列重新建成堆21堆堆—堆調(diào)整1)新的堆頂元素小于它的兒子，所以不能構(gòu)成堆，調(diào)整它的位置把它和較大的兒子交換62430202118312550302462021183125502)調(diào)整后，右子樹的根仍小于它的兒子，所以把它和它的大兒子交換22堆堆—堆調(diào)整3)新堆構(gòu)成3024182021631255023堆堆—堆建立堆建立是把一個(gè)無序的序列建成一個(gè)堆的過程它是思想是從最底層的子樹進(jìn)行堆調(diào)整，先將子樹建成堆，然后繼續(xù)調(diào)整，直到整個(gè)樹構(gòu)成堆202135618301250242021352418301250624堆堆—堆建立堆建立是把一個(gè)無序的序列建成一個(gè)堆的過程它是思想是從最底層的子樹進(jìn)行堆調(diào)整，先將子樹建成堆，然后繼續(xù)調(diào)整，直到整個(gè)樹構(gòu)成堆202135024183012562021305024183125625堆堆—堆建立堆建立是把一個(gè)無序的序列建成一個(gè)堆的過程它是思想是從最底層的子樹進(jìn)行堆調(diào)整，先將子樹建成堆，然后繼續(xù)調(diào)整，直到整個(gè)樹構(gòu)成堆2050302124183125650243021201831256266.2 單源最短路徑問題1.問題描述單源最短路徑問題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。要求圖G的從源頂點(diǎn)s到目標(biāo)頂點(diǎn)t之間的最短路徑。

276.2 單源最短路徑問題

下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產(chǎn)生的解空間樹。其中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的當(dāng)前路長。286.2 單源最短路徑問題：基本思想優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法：用極小堆存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表；其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的當(dāng)前路長。從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開始結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。從堆中取出具有最小當(dāng)前路長的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中（剪枝）結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。296.2 單源最短路徑問題剪枝策略在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長，則剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩條路徑的路長不同，因此可以將路長大的路徑所對應(yīng)的樹中結(jié)點(diǎn)為根的子樹剪去30路徑(a,e,q)與(c,h)到達(dá)同一節(jié)點(diǎn)分別對應(yīng)的費(fèi)用為5和6。稱搜索樹中節(jié)點(diǎn)A控制了B。因此可將B節(jié)點(diǎn)的子樹剪去AB

while(true){//搜索問題的解空間

for(intj=1;j<=n;j++)//頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束

if(a[enode.i][j]<Float.MAX_VALUE&&enode.length+a[enode.i][j]<dist[j]){

dist[j]=enode.length+a[enode.i][j];p[j]=enode.i;HeapNodenode=newHeapNode(j,dist[j]);heap.put(node);//加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列

}

if(heap.isEmpty())break;elseenode=(HeapNode)heap.removeMin();}頂點(diǎn)I和j間有邊，且此路徑長小于原先從原點(diǎn)到j(luò)的路徑長31enode:當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)a:鄰接矩陣6.3裝載問題1.問題描述有一批共n個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且裝載問題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。容易證明：如果一個(gè)給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。326.3裝載問題：隊(duì)列式分支限界法節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展檢測當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。獲得下一節(jié)點(diǎn)活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中，隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后，都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1。在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)336.3裝載問題：隊(duì)列式分支限界法while(true){if(ew+w[i]<=c)enQueue(ew+w[i],i);//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)

enQueue(ew,i);//右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的

ew=queue.remove();//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

if(ew==-1){if(queue.isEmpty())returnbestw;queue.put(-1);//同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志

ew=queue.remove();//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

i++;//進(jìn)入下一層

}}34節(jié)點(diǎn)的左子樹表示將此集裝箱裝船，右子樹表示不將此集裝箱裝船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。當(dāng)ew+rbestw時(shí)，可將其右子樹剪去。此時(shí)若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。為確保右子樹成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹的時(shí)候更新bestw的值。算法MaxLoading初始時(shí)bestw=0，直到搜索到第一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)才更新bestw。在搜索到第一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)前，總有ew+r>bestw,此時(shí)右子樹測試不起作用。6.3裝載問題：隊(duì)列式分支限界法算法改進(jìn)356.3裝載問題3.算法的改進(jìn)//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)

intwt=ew+w[i];if(wt<=c){//可行結(jié)點(diǎn)

if(wt>bestw)bestw=wt;

//加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列

if(i<n)queue.put(wt);}提前更新bestw//檢查右兒子結(jié)點(diǎn)，可能含最優(yōu)解

if(ew+r>bestw&&i<n)queue.put(newInteger(ew));//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

ew=queue.remove();右兒子剪枝36解裝載問題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表?；罱Y(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn)x為根的子樹中，所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)路徑的載重量不超過它的優(yōu)先級(jí)。子集樹中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。6.3裝載問題：優(yōu)先隊(duì)列式376.50-1背包問題算法思想:先對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將物品依其單位重量價(jià)值從大到小進(jìn)行排列。在優(yōu)先隊(duì)列分支限界法中，結(jié)點(diǎn)優(yōu)先級(jí)由已裝袋的物品價(jià)值加上剩下的最大單位重量價(jià)值的物品裝滿剩余容量的價(jià)值。用一個(gè)最大堆來實(shí)現(xiàn)活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列3839算法首先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)的可行性。如果左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，則將它加入到子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束時(shí),才將它加入子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。當(dāng)擴(kuò)展到葉節(jié)點(diǎn)時(shí)為問題的最優(yōu)值。6.50-1背包問題上界函數(shù)while(i<=n&&w[i]<=cleft)//n表示物品總數(shù)，cleft為剩余空間

{cleft-=w[i];//w[i]表示i所占空間

b+=p[i];//p[i]表示i的價(jià)值

i++;}if(i<=n)b+=p[i]/w[i]*cleft;//裝填剩余容量裝滿背包returnb;//b為上界函數(shù)406.50-1背包問題while(i!=n+1){//非葉結(jié)點(diǎn)

doublewt=cw+w[i];if(wt<=c){//左兒子結(jié)點(diǎn)為可行結(jié)點(diǎn)

if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];addLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],true,i+1);}up=bound(i+1);if(up>=bestp)//檢查右兒子節(jié)點(diǎn)，且右子樹可能含最優(yōu)解

addLiveNode(up,cp,cw,false,i+1);

//取下一個(gè)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)（略）}416.6最大團(tuán)問題最大團(tuán)問題的解空間樹是一棵子集樹1.問題描述給定無向圖G=(V，E)。如果UV，且對任意u，vU有(u，v)E，則稱U是G的完全子圖。解最大團(tuán)問題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法,與解裝載問題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法相似。G的完全子圖U是G的團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團(tuán)是指G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。4243下圖G中，子集{1，2}是G的大小為2的完全子圖。這個(gè)完全子圖不是團(tuán)，因?yàn)樗籊的更大的完全子圖{1，2，5}包含。{1，2，5}是G的最大團(tuán)。{1，4，5}和{2，3，5}也是G的最大團(tuán)。2.上界函數(shù)活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中元素類型為CliqueNodeun作為優(yōu)先隊(duì)列中元素的優(yōu)先級(jí)對每個(gè)活結(jié)點(diǎn)，用cn表示與該結(jié)點(diǎn)相應(yīng)團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)；level表示結(jié)點(diǎn)在子集空間樹中所處的層次；用cn+n-level+1作為頂點(diǎn)數(shù)上界un的值，其中un是該結(jié)點(diǎn)為根的子樹中最大頂點(diǎn)數(shù)的上界。算法總是從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中,抽取具有最大un值的元素作為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。443.算法思想子集樹的根結(jié)點(diǎn)是初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，對于這個(gè)特殊的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，其cn的值為0。cn表示當(dāng)前團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)。算法在擴(kuò)展內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，首先考察其左兒子結(jié)點(diǎn)。在左兒子結(jié)點(diǎn)處，將頂點(diǎn)i加入到當(dāng)前團(tuán)中，并檢查該頂點(diǎn)與當(dāng)前團(tuán)中其它頂點(diǎn)之間是否有邊相連。當(dāng)頂點(diǎn)i與當(dāng)前團(tuán)中所有頂點(diǎn)之間都有邊相連，則相應(yīng)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，將它加入到子集樹中并插入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列，否則就不是可行結(jié)點(diǎn)。45while循環(huán)的終止條件是:遇到子集樹中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)(即n+1層結(jié)點(diǎn))成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。繼續(xù)考察當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)。對于子集樹中的葉結(jié)點(diǎn)，有un＝cn。此時(shí)活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中，剩余結(jié)點(diǎn)的un值均不超過當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的un值。進(jìn)一步搜索不可能得到更大的團(tuán)，此時(shí)算法已找到一個(gè)最優(yōu)解。

un是當(dāng)前團(tuán)最大頂點(diǎn)數(shù)的上界，cn表示當(dāng)前團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)。當(dāng)un>bestn時(shí)，右子樹中可能含有最優(yōu)解，此時(shí)將右兒子結(jié)點(diǎn)加入到子集樹中,并插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。466.7旅行售貨員問題1.問題描述已知各城市之間的路程(或旅費(fèi))。選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費(fèi))最小。路線是一個(gè)帶權(quán)圖。圖中各邊的費(fèi)用（權(quán)）為正數(shù)。圖的一條周游路線是包括V中的每個(gè)頂點(diǎn)在內(nèi)的一條回路。周游路線的費(fèi)用是這條路線上所有邊的費(fèi)用之和。旅行售貨員問題的解空間可以組織成一棵排列樹，從樹的根結(jié)點(diǎn)到任一葉結(jié)點(diǎn)的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問題要在圖G中找出費(fèi)用最小的周游路線。48與子集樹的討論相似，實(shí)現(xiàn)對排列樹搜索的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法的實(shí)現(xiàn)方式：（1）用優(yōu)先隊(duì)列來存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)。優(yōu)先隊(duì)列中每個(gè)活結(jié)點(diǎn)都存儲(chǔ)從根到該活結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)路徑。（2）用優(yōu)先隊(duì)列來存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)，并同時(shí)存儲(chǔ)當(dāng)前已構(gòu)造出的部分排列樹。優(yōu)先隊(duì)列中的活結(jié)點(diǎn)不必存儲(chǔ)從根到該活結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)路徑，該路徑必要時(shí)從存儲(chǔ)的部分排列樹中獲得。以第一種方式進(jìn)行討論2.算法描述要找最小費(fèi)用旅行售貨員回路，選用最小堆表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。堆中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹費(fèi)用的下界lcost值，是優(yōu)先隊(duì)列的優(yōu)先級(jí)。計(jì)算每個(gè)頂點(diǎn)的最小費(fèi)用出邊并用minout記錄如果所給的有向圖中某個(gè)頂點(diǎn)沒有出邊，則該圖不可能有回路，算法結(jié)束。如果每個(gè)頂點(diǎn)都有出邊，則根據(jù)計(jì)算出的minout作算法初始化。49考慮排列樹層次s=n-2的情形，此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。while循環(huán)完成對排列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分兩種情況進(jìn)行處理：如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路，且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。第一種情況：50

51當(dāng)排列樹層次s<n-2時(shí)，依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。第二種情況：當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x[0:s]，其可行兒子結(jié)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)x[s+1:n-1]中選取的頂點(diǎn)x[i]，且(x[s]，x[i])是所給有向圖G中的一條邊。對于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴(x[0:s]，x[i])的費(fèi)用cc和相應(yīng)的下界lcost。當(dāng)lcost<bestc時(shí)，將這個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。while循環(huán)的終止條件：排列樹的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)當(dāng)s=n-1時(shí)，已找到的回路前綴是x[0:n-1]，它已包含圖G的所有n個(gè)頂點(diǎn)。因此，當(dāng)s=n-1時(shí)，相應(yīng)的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路的費(fèi)用等于當(dāng)前費(fèi)用cc和子樹費(fèi)用下界lcost的值。算法描述52

53剩余活結(jié)點(diǎn)的lcost值，不小于已找到的回路的費(fèi)用。它們都不可能導(dǎo)致費(fèi)用更小的回路。已找到葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路，是一個(gè)最小費(fèi)用旅行售貨員回路，算法結(jié)束。算法結(jié)束時(shí)，返回找到的最小費(fèi)用，相應(yīng)的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。算法描述算法代碼見P214-216（第三版）

TSP問題示例minout=[4,5,5,4]5433343181922323184181354192254253N-1層：6.9批處理作業(yè)調(diào)度問題同順序任務(wù)加工問題：設(shè)有4項(xiàng)待加工的任務(wù)J1,J2,J3,J4,它們的工序相同：每個(gè)任務(wù)必須先在機(jī)器M1上加工，然后在機(jī)器M2上加工，最后在M3上加工。各加工時(shí)間已知。求一最佳加工順序使得盡早完工。55設(shè)tij為任務(wù)Ji在機(jī)器Mj上的加工時(shí)間，且加工時(shí)間矩陣T為：T=J1J2J3J457910529957810M1M2M3

=(tij)4*356如若加工順序是：

J2→J3→J1→J4則從開始到結(jié)束所需的時(shí)間可計(jì)算如下圖：57理想的加工安排是：M2無空閑，最后一個(gè)在M3上加工的任務(wù)時(shí)間最短。估計(jì)下界：比如從Ji開始的加工順序，估計(jì)加工所需的最短時(shí)間為：

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

58M1先加工J1

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

4

t11+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠1T=J1J2J3J457910529957810

M1M2M3

=5+(7+5+9+8)+2=3659M1先加工J2

4

ti1+Σtj2+min{tk3}

j=1k≠i

4

t21+Σtj2+min{tk3}