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文檔簡介
2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,,則()A. B.C. D.2.記的最大值和最小值分別為和.若平面向量、、,滿足,則()A. B.C. D.3.已知拋物線y2=4x的焦點為F,拋物線上任意一點P,且PQ⊥y軸交y軸于點Q,則的最小值為()A. B. C.l D.14.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.5.已知數(shù)列{an}滿足a1=3,且aA.22n-1+1 B.22n-1-16.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.7.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),則f(x)的最小值為()A. B. C. D.8.將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,如果在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么實數(shù)的最大值為()A. B. C. D.9.已知集合,,若,則()A.或 B.或 C.或 D.或10.為得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像()A.向右平移個長度單位 B.向右平移個長度單位C.向左平移個長度單位 D.向左平移個長度單位11.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點,則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線12.設(shè)a,b都是不等于1的正數(shù),則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)為偶函數(shù),則_____.14.連續(xù)擲兩次骰子,分別得到的點數(shù)作為點的坐標,則點落在圓內(nèi)的概率為______________.15.已知函數(shù),(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),若關(guān)于x的方程恰有5個相異的實根,則實數(shù)a的取值范圍為________.16.某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為,現(xiàn)按年級采用分層抽樣的方法抽取若干人,若抽取的高三年級為12人,則抽取的樣本容量為________人.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若對恒成立,求的取值范圍.18.(12分)已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸,與有兩個交點,,線段的中點為.(Ⅰ)證明:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;(Ⅱ)若過點,延長線段與交于點,四邊形能否為平行四邊形?若能,求此時的斜率,若不能,說明理由.19.(12分)已知函數(shù),其中.(Ⅰ)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè).若在上恒成立,求實數(shù)的最大值.20.(12分)已知函數(shù)(,)滿足下列3個條件中的2個條件:①函數(shù)的周期為;②是函數(shù)的對稱軸;③且在區(qū)間上單調(diào).(Ⅰ)請指出這二個條件,并求出函數(shù)的解析式;(Ⅱ)若,求函數(shù)的值域.21.(12分)車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件,對之前加工的100個零件的加工時間進行統(tǒng)計,結(jié)果如下:加工1個零件用時(分鐘)20253035頻數(shù)(個)15304015以加工這100個零件用時的頻率代替概率.(1)求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)劉師傅準備給幾個徒弟做一個加工該零件的講座,用時40分鐘,另外他打算在講座前、講座后各加工1個該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個零件作示范的總時間不超過100分鐘的概率.22.(10分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效,對全校學(xué)生進行一次安全意識測試,根據(jù)測試成績評定“合格”、“不合格”兩個等級,同時對相應(yīng)等級進行量化:“合格”記分,“不合格”記分.現(xiàn)隨機抽取部分學(xué)生的成績,統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示:等級不合格合格得分頻數(shù)624(Ⅰ)若測試的同學(xué)中,分數(shù)段內(nèi)女生的人數(shù)分別為,完成列聯(lián)表,并判斷:是否有以上的把握認為性別與安全意識有關(guān)?是否合格性別不合格合格總計男生女生總計(Ⅱ)用分層抽樣的方法,從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中,共選取人進行座談,現(xiàn)再從這人中任選人,記所選人的量化總分為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)某評估機構(gòu)以指標(,其中表示的方差)來評估該校安全教育活動的成效,若,則認定教育活動是有效的;否則認定教育活動無效,應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在(Ⅱ)的條件下,判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案?附表及公式:,其中.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
根據(jù)對數(shù)性質(zhì)可知,再根據(jù)集合的交集運算即可求解.【詳解】∵,集合,∴由交集運算可得.故選:A.【點睛】本題考查由對數(shù)的性質(zhì)比較大小,集合交集的簡單運算,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】
設(shè)為、的夾角,根據(jù)題意求得,然后建立平面直角坐標系,設(shè),,,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算得出點的軌跡方程,將和轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離,利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得,則,,,建立平面直角坐標系,設(shè),,,由,可得,即,化簡得點的軌跡方程為,則,則轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離,,,,轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離,,.故選:A.【點睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解,將向量坐標化,將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關(guān)鍵,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題.3.A【解析】
設(shè)點,則點,,利用向量數(shù)量積的坐標運算可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解:設(shè)點,則點,,,,當(dāng)時,取最小值,最小值為.故選:A.【點睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標運算,考查學(xué)生的計算能力,是基礎(chǔ)題.4.A【解析】
用偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因為,所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱,故可以排除;因為,故排除,因為由圖象知,排除.故選:A【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.5.D【解析】試題分析:因為an+1=4an+3,所以an+1+1=4(an+1),即an+1+1an+1考點:數(shù)列的通項公式.6.B【解析】
可解出集合,然后進行補集、交集的運算即可.【詳解】,,則,因此,.故選:B.【點睛】本題考查補集和交集的運算,涉及一元二次不等式的求解,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】
先通過降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再求最值.【詳解】已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因為,所以f(x)的最小值為.故選:A【點睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.8.B【解析】
根據(jù)條件先求出的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,則,設(shè),則當(dāng)時,,,即,要使在區(qū)間上單調(diào)遞減,則得,得,即實數(shù)的最大值為,故選:B.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換,考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),屬于中檔題.9.B【解析】
因為,所以,所以或.若,則,滿足.若,解得或.若,則,滿足.若,顯然不成立,綜上或,選B.10.D【解析】,所以要的函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位得到,故選D11.C【解析】
充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因為,所以平面,故A正確.因為,所以,所以平面故B正確.因為,所以平面,故D正確.因為與相交,所以與平面相交,故C錯誤.故選:C【點睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.12.C【解析】
根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解a,b的范圍,再利用充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由“”,得,得或或,即或或,由,得,故“”是“”的必要不充分條件,故選C.【點睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法,考查指數(shù),對數(shù)不等式的解法,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的定義列方程,化簡求得的值.【詳解】由于為偶函數(shù),所以,即,即,即,即,即,即,即,所以.故答案為:【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù),考查運算求解能力,屬于中檔題.14.【解析】
連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果,列出滿足條件的結(jié)果有11種,利用古典概型即得解【詳解】由題意知,連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果,而滿足條件的結(jié)果為:共有11種結(jié)果,根據(jù)古典概型概率公式,可得所求概率.故答案為:【點睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
作出圖象,求出方程的根,分類討論的正負,數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】當(dāng)時,令,解得,所以當(dāng)時,,則單調(diào)遞增,當(dāng)時,,則單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞減,且,作出函數(shù)的圖象如圖:(1)當(dāng)時,方程整理得,只有2個根,不滿足條件;(2)若,則當(dāng)時,方程整理得,則,,此時各有1解,故當(dāng)時,方程整理得,有1解同時有2解,即需,,因為(2),故此時滿足題意;或有2解同時有1解,則需,由(1)可知不成立;或有3解同時有0解,根據(jù)圖象不存在此種情況,或有0解同時有3解,則,解得,故,(3)若,顯然當(dāng)時,和均無解,當(dāng)時,和無解,不符合題意.綜上:的范圍是,故答案為:,【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力,屬于中檔題.16.【解析】
根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)抽取的樣本為,則由題意得,解得.故答案為:【點睛】本題考查了分層抽樣的知識,算出抽樣比是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)或;(2)或.【解析】試題分析:(1)根據(jù)絕對值定義將不等式化為三個不等式組,分別求解集,最后求并集(2)根據(jù)絕對值三角不等式得最小值,再解含絕對值不等式可得的取值范圍.試題解析:(1)等價于或或,解得:或.故不等式的解集為或.(2)因為:所以,由題意得:,解得或.點睛:含絕對值不等式的解法有兩個基本方法,一是運用零點分區(qū)間討論,二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是運用分類討論思想,法二是運用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時強化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動向.18.(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)能,或.【解析】試題分析:(1)設(shè)直線,直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)韋達定理求根與系數(shù)的關(guān)系,并表示直線的斜率,再表示;(2)第一步由(Ⅰ)得的方程為.設(shè)點的橫坐標為,直線與橢圓方程聯(lián)立求點的坐標,第二步再整理點的坐標,如果能構(gòu)成平行四邊形,只需,如果有值,并且滿足,的條件就說明存在,否則不存在.試題解析:解:(1)設(shè)直線,,,.∴由得,∴,.∴直線的斜率,即.即直線的斜率與的斜率的乘積為定值.(2)四邊形能為平行四邊形.∵直線過點,∴不過原點且與有兩個交點的充要條件是,由(Ⅰ)得的方程為.設(shè)點的橫坐標為.∴由得,即將點的坐標代入直線的方程得,因此.四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分,即∴.解得,.∵,,,∴當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r,四邊形為平行四邊形.考點:直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用【一題多解】第一問涉及中點弦,當(dāng)直線與圓錐曲線相交時,點是弦的中點,(1)知道中點坐標,求直線的斜率,或知道直線斜率求中點坐標的關(guān)系,或知道求直線斜率與直線斜率的關(guān)系時,也可以選擇點差法,設(shè),,代入橢圓方程,兩式相減,化簡為,兩邊同時除以得,而,,即得到結(jié)果,(2)對于用坐標法來解決幾何性質(zhì)問題,那么就要求首先看出幾何關(guān)系滿足什么條件,其次用坐標表示這些幾何關(guān)系,本題的關(guān)鍵就是如果是平行四邊形那么對角線互相平分,即,分別用方程聯(lián)立求兩個坐標,最后求斜率.19.(Ⅰ)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間;(Ⅱ)由題意可知在上恒成立,分和兩種情況討論,在時,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明出在上恒成立;在時,經(jīng)過分析得出,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明出在上恒成立,由此得出,進而可得出實數(shù)的最大值.【詳解】(Ⅰ)函數(shù)的定義域為.當(dāng)時,.令,解得(舍去),.當(dāng)時,,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增.因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(Ⅱ)由題意,可知在上恒成立.(i)若,,,,構(gòu)造函數(shù),,則,,,.又,在上恒成立.所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,在上恒成立.(ii)若,構(gòu)造函數(shù),.,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增.恒成立,即,,即.由題意,知在上恒成立.在上恒成立.由(Ⅰ)可知,又,當(dāng),即時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,,不合題意,,即.此時構(gòu)造函數(shù),.,,,,恒成立,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,恒成立.綜上,實數(shù)的最大值為【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題,本題的難點在于不斷構(gòu)造新函數(shù)來求解,考查推理能力與運算求解能力,屬于難題.20.(Ⅰ)只有①②成立,;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)依次討論①②成立,①③成立,②③成立,計算得到只有①②成立,得到答案.(Ⅱ)得到,得到函數(shù)值域.【詳解】(Ⅰ)由①可得,;由②得:,;由③得,,,;若①②成立,則,,,若①③成立,則,,不合題意,若②③成立,則,,與③中的矛盾,所以②③不成立,所以只有①②成立,.(Ⅱ)由題意得,,所以函數(shù)的值域為.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的周
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