最新高中數(shù)學試題：三角函數(shù)單元復習題(三)

三角函數(shù)單元復習題〔三〕一、選擇題〔本大題共10小題，每題5分，共50分〕1．以下函數(shù)中，最小正周期為π的偶函數(shù)是〔〕A.y＝sin2x B.y＝coseq\f(x,2)C.y＝sin2x＋cos2x D.y＝eq\f(1－tan2x,1＋tan2x)2．設函數(shù)y＝cos(sinx)，那么〔〕A.它的定義域是［－1，1］B.它是偶函數(shù)C.它的值域是［－cos1，cos1］D.它不是周期函數(shù)3．把函數(shù)y＝cosx的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半，縱坐標擴大到原來的兩倍，然后把圖象向左平移eq\f(π,4)個單位.那么所得圖象表示的函數(shù)的解析式為〔〕A.y＝2sin2x B.y＝－2sin2xC.y＝2cos(2x＋eq\f(π,4)) D.y＝2cos(eq\f(x,2)＋eq\f(π,4))4．函數(shù)y＝2sin(3x－eq\f(π,4))圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是〔〕A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.π D.eq\f(4π,3)5．假設sinα＋cosα＝m，且－eq\r(2)≤m＜－1，那么α角所在象限是〔〕A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．函數(shù)y＝|cotx|·sinx〔0＜x≤eq\f(3π,2)且x≠π〕的圖象是〔〕7．設y＝eq\f(cos2x,1＋sinx)，那么以下結論中正確的是〔〕A.y有最大值也有最小值B.y有最大值但無最小值C.y有最小值但無最大值D.y既無最大值又無最小值8．函數(shù)y＝sin〔eq\f(π,4)－2x)的單調增區(qū)間是〔〕A.［kπ－eq\f(3π,8)，kπ＋eq\f(π,8)］(k∈Z)B.［kπ＋eq\f(π,8)，kπ＋eq\f(5π,8)］(k∈Z)C.［kπ－eq\f(π,8)，kπ＋eq\f(3π,8)］(k∈Z)D.［kπ＋eq\f(3π,8)，kπ＋eq\f(7π,8)］(k∈Z)9．0≤x≤π，且－eq\f(1,2)＜a＜0，那么函數(shù)f(x)＝cos2x－2asinx－1的最小值是〔〕A.2a＋1B.2a－1C.－2a－1 D.2a10．求使函數(shù)y＝sin(2x＋θ)＋eq\r(3)cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，且在［0，eq\f(π,4)］上是增函數(shù)的θ的一個值為〔〕A.eq\f(5π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(π,3)二、填空題〔本大題共6小題，每題5分，共30分〕11．函數(shù)y＝eq\f(cosx,1＋2cosx)的值域是_____________.12．函數(shù)y＝eq\f(eq\r(cosx),lg〔1＋tanx〕)的定義域是_____________.13．如果x，y∈［0，π］，且滿足|sinx|＝2cosy－2，那么x＝___________，y＝___________.14．函數(shù)y＝2cosx，x∈［0，2π］和y＝2，那么它們的圖象所圍成的一個封閉的平面圖形的面積是_____________15．函數(shù)y＝sinx＋cosx＋sin2x的值域是_____________.16．關于函數(shù)f(x)＝4sin(2x＋eq\f(π,3))(x∈R)有以下命題：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整數(shù)倍；②y＝f(x)的表達式可改為y＝4cos(2x－eq\f(π,6))；③y＝f(x)的圖象關于點〔－eq\f(π,6)，0)對稱；④y＝f(x)的圖象關于直線x＝－eq\f(π,6)對稱.其中正確的命題的序號是_____________.三、解答題〔本大題共5小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕17．〔本小題總分值12分〕如圖為函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的一局部，試求該函數(shù)的一個解析式.18．〔本小題總分值14分〕函數(shù)y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(x∈R)(1)當y取得最大值時，求自變量x的取值集合.(2)該函數(shù)圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？19．〔本小題總分值14分〕函數(shù)f(x)＝(sinx－cosx)〔1〕求它的定義域和值域；〔2〕求它的單調減區(qū)間；〔3〕判斷它的奇偶性；〔4〕判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的一個周期.20．〔本小題總分值15分〕某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠〔如圖〕，為降低本錢，必須盡量減少水與水渠壁的接觸面.假設水渠橫斷面面積設計為定值m，渠深3米，那么水渠側壁的傾斜角α應為多少時，方能使修建的本錢最低？21．(本小題總分值15分〕函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點M〔eq\f(3π,4)，0)對稱，且在區(qū)間［0，eq\f(π,2)］上是單調函數(shù)，求φ和ω的值.三角函數(shù)單元復習題〔三〕答案一、選擇題〔本大題共10小題，每題5分，共50分〕1．D2．B3．B4．A5．C6．C7．C8．D9．C10．C二、填空題〔本大題共6小題，每題5分，共30分〕11．〔－∞，eq\f(1,3)］∪［1，+∞)12．{x|－eq\f(π,4)＋2kπ＜x＜2kπ或2kπ＜x＜eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)}13．x＝0或π，y＝014．4π15．{y｜－eq\f(5,4)≤y≤1＋eq\r(2)}16．②③三、解答題〔本大題共5小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕17．〔本小題總分值12分〕如圖為函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的一局部，試求該函數(shù)的一個解析式.【解】由圖可得：A＝eq\r(3)，T＝2｜MN｜＝π.從而ω＝eq\f(2π,T)＝2，故y＝eq\r(3)sin(2x＋φ)將M〔eq\f(π,3)，0〕代入得sin(eq\f(2π,3)＋φ)＝0取φ＝－eq\f(2π,3)得y＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(2π,3))【評注】此題假設將N〔eq\f(5π,6)，0〕代入y＝eq\r(3)sin(2x+φ)那么可得：sin(eq\f(5π,3)＋φ)＝0.假設取φ＝－eq\f(5π,3)，那么y＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(5π,3))＝－eq\r(3)sin(2x－eq\f(2π,3))，它與y＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(π,3))的圖象關于x軸對稱，故求解錯誤！因此，將點的坐標代入函數(shù)y＝eq\r(3)sin(2x＋φ)后，如何確定φ，要看該點在曲線上的位置.如：M在上升的曲線上，就相當于“五點法〞作圖中的第一個點，故eq\f(2π,3)＋φ＝0；而N點在下降的曲線上，因此相當于“五點法〞作圖中的第三個點，故eq\f(5π,3)＋φ＝π，由上可得φ的值均為－eq\f(2π,3).18．〔本小題總分值14分〕函數(shù)y＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.(x∈R)(1)當y取得最大值時，求自變量x的取值集合.(2)該函數(shù)圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？【解】y＝1＋sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))＋2.(1)要使y取得最大值，那么sin(2x＋eq\f(π,4))＝1.即：2x＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ＋eq\f(π,8)(k∈Z)∴所求自變量的取值集合是{x｜x＝kπ＋eq\f(π,8)，k∈Z}.(2)變換的步驟是：①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,4)個單位，得到函數(shù)y＝sin(x+eq\f(π,4))的圖象；②將所得的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)倍〔縱坐標不變〕，得函數(shù)y＝sin(2x＋eq\f(π,4)〕的圖象；③再將所得的圖象上各點的縱坐標伸長到原來的eq\r(2)倍〔橫坐標不變〕，得函數(shù)y＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))的圖象；④最后將所得的圖象向上平移2個單位，就得到y(tǒng)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))+2的圖象.【說明】以上變換步驟不唯一！19．〔本小題總分值14分〕函數(shù)f(x)＝(sinx－cosx)〔1〕求它的定義域和值域；〔2〕求它的單調減區(qū)間；〔3〕判斷它的奇偶性；〔4〕判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的一個周期.【分析】研究復合函數(shù)的性質〔定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性〕應同時考慮內層函數(shù)與外層函數(shù)各自的特性以及它們的相互制約關系.【解】〔1〕由題意得sinx－cosx＞0，即eq\r(2)sin(x－eq\f(π,4))＞0從而得2kπ＜x－eq\f(π,4)＜2kπ＋π，所以函數(shù)的定義域為〔2kπ＋eq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(5π,4)〕(k∈Z)∵0＜sin(x－eq\f(π,4))≤1，∴0＜sinx－cosx≤eq\r(2)即有(sinx－cosx)≥eq\r(2)＝－eq\f(1,2).故函數(shù)的值域是［－eq\f(1,2)，+∞).〔2〕∵sinx－cosx＝eq\r(2)sin〔x－eq\f(π,4))在f(x)的定義域上的單調遞增區(qū)間為〔2kπ＋eq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(3π,4)〕(k∈Z)，函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為〔2kπ＋eq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(3π,4)〕(k∈Z).(3)∵f(x)的定義域在數(shù)軸上對應的點不關于原點對稱，∴函數(shù)f(x〕是非奇非偶函數(shù).〔4〕f(x＋2π)＝［sin(x＋2π)－cos(x＋2π)］＝〔sinx－cosx)＝f(x).∴函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，2π是它的一個周期.20．〔本小題總分值15分〕某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠〔如圖〕，為降低本錢，必須盡量減少水與水渠壁的接觸面.假設水渠橫斷面面積設計為定值m，渠深3米，那么水渠側壁的傾斜角α應為多少時，方能使修建的本錢最低？【分析】此題中水與水渠壁的接觸面最小，即是修建的本錢最低，而水與水渠壁的接觸面最小，實際上是使水渠橫斷面的周長最小.【解】設水渠橫斷面的周長為y，那么：(y－2×eq\f(3,sinα))×3＋2×eq\f(1,2)·eq\f(3×3,2tanα)＝m即：y＝eq\f(m,3)＋3·eq\f(2－cosα,sinα)(0°＜α＜90°).欲減少水與水渠壁的接觸面，只要使水渠橫斷面周長y最小，即要使t＝eq\f(2－cosα,sinα)(0°＜α＜90°)最小，∵tsinα＋cosα＝2.∴sin(α＋φ)＝eq\f(2,\r(t2＋1))，(其中φ由tanφ＝eq\f(1,t)，φ∈(0°，90°))由eq\f(2,\r(t2＋1))≤1得：t2≥3t≥eq\r(3)當且僅當t＝eq\r(3)，即tanφ＝eq\f(\r(3),3)，即φ＝30°時，不等式取等號，此時sin(α＋30°)＝1α＝60°.【答】水渠側壁的傾斜角α＝60°時，修建本錢最低.21．(本小題總分值15分〕函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點M〔eq\f(3π,4)，0)對稱，且在區(qū)間［0，eq\f(π,2)］上是單調函數(shù)，求φ和ω的值.【解】由f(x)是偶函數(shù)，得f(x)＝f(－x)即sin(ωx＋φ)＝sin(－ωx＋φ)∴－cosφsinωx＝cosφsinωx對任意x都成立.且ω＞0，∴cosφ＝0，依題設0≤φ≤π，∴φ＝eq\f(π,2)由f(x)的圖象關于點M〔eq\f(3π,4)，0〕對稱，得，取x＝0，得f(eq\f(3π,4))＝－f(eq\f(3π,4))，∴f(eq\f(3π,4))＝0∴f(eq\f(3π,4))＝sin(eq\f(3ωπ,4)＋eq\f(π,2))＝coseq\f(3ωπ,4)＝0，又ω＞0∴eq\f(3ωπ,4)＝eq\f(π,2)