【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5-5數(shù)列的綜合應(yīng)用隨堂訓(xùn)練 理 蘇教版

第5課時(shí)數(shù)列的綜合應(yīng)用一、填空題1．一套共7冊(cè)的書計(jì)劃每?jī)赡瓿鲆粌?cè)，若出完全部各冊(cè)書，公元年代之和為14035， 則出齊這套書的年份是________． 解析：設(shè)出齊這套書的年份是x，則(x－12)＋(x－10)＋(x－8)＋…＋x＝14035，x＝2011. 答案：20112．?dāng)?shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an滿足Sn＝nan＋2n2－2n(n∈N*)，則a10－a100的值為 ________． 解析：∵Sn＝nan＋2n2－2n，① ∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝(n－1)an－1＋2(n－1)2－2(n－1)．② ①－②得an＝nan－(n－1)an－1＋2(2n－1)－2， 整理得an－an－1＝－4，即{an}為公差為－4的等差數(shù)列，∴a10－a100＝(100－10)×4＝360. 答案：3603．?dāng)?shù)列{xn}滿足x1＝1，x2＝eq\f(2,3)，且eq\f(1,xn－1)＋eq\f(1,xn＋1)＝eq\f(2,xn)(n≥2)，則xn等于________． 解析：由x1＝1，x2＝eq\f(2,3)，eq\f(1,xn－1)＋eq\f(1,xn＋1)＝eq\f(2,xn)(n≥2)得：eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,xn＋1)－eq\f(1,xn)，{eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)}組成 常數(shù)列，首項(xiàng)eq\f(1,x2)－eq\f(1,x1)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,xn)＝eq\f(1,x1)＋eq\f(n－1,2)＝1＋eq\f(n－1,2)＝eq\f(n＋1,2)，∴xn＝eq\f(2,n＋1). 答案：eq\f(2,n＋1)4．設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，則它的 通項(xiàng)公式是an＝________. 解析：(n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0，即為(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0， 而an＞0，an＋1＞0，∴an＋1＋an≠0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，即eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)， ∴an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)…eq\f(an,an－1)＝1·eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·eq\f(3,4)·…·eq\f(n－1,n)＝eq\f(1,n). 答案：eq\f(1,n)5．(蘇州市高三教學(xué)調(diào)研測(cè)試)命題P：“在等比數(shù)列{an}中，若aeq\o\al(4,2)a10a()＝64，則數(shù)列{an} 的前11項(xiàng)的積T11為定值”．由于印刷問題，括號(hào)處的數(shù)模糊不清，已知命題P是真命 題，則可推得括號(hào)處的數(shù)為________． 解析：由等比數(shù)列性質(zhì)有a1·a11＝a2·a10＝…aeq\o\al(2,6)，所以T11＝a1·a2·…·a11＝aeq\o\al(11,6)，若命題P為 真命題，則有|a6|為定值，aeq\o\al(4,2)·a10·an＝(a6q－4)4a6q4a6qn－6＝aeq\o\al(6,6)qn－18＝64，所以當(dāng)n＝18時(shí)， |a6|＝2為定值． 答案：186．(江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)若數(shù)列{an}(n∈N*)的遞推關(guān)系式為如下的偽代碼所 示，則a2010＝________. 解析：由題意，得數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式為a1＝eq\f(6,7)，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an(0≤an≤1)，,a\o\al(－1,n)(an>1).)) 所以a2＝eq\f(12,7)，a3＝eq\f(5,7)，a4＝eq\f(10,7)，a5＝eq\f(3,7)，a6＝eq\f(6,7).由此，數(shù)列{an}的項(xiàng)的大小具有周期性，且 周期為5.又2010＝402×5，所以a2010＝a5＝eq\f(3,7). 答案：eq\f(3,7)7．(江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)將給定的25個(gè)數(shù)排成如圖所示的數(shù)表，若每行5 個(gè)數(shù)按從左至右的順序構(gòu)成等比數(shù)列，每列的5個(gè)數(shù)按從上到下的順序也構(gòu)成等比數(shù)列， 且表正中間一個(gè)數(shù)a33＝1，則表中所有數(shù)之積為________． 解析：特值法處理，不妨令表中各數(shù)均為1，顯然是符合題設(shè)要求的一個(gè)數(shù)表，這時(shí)， 表中各數(shù)之積為1，所以所求的答案為1. 答案：1二、解答題8．一個(gè)球從100m高處自由落下，每次著地后跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它第10 次著地時(shí)，共經(jīng)過的路程是多少？(精確到1m) 解：由題意知，球第一次著地時(shí)經(jīng)過的路程是100m，從這時(shí)到球第二次著地時(shí)共經(jīng)過 了eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(100,2)))m，從這時(shí)到球第三次著地時(shí)共經(jīng)過eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(100,22)))m，…到第10次時(shí)應(yīng)為 eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(100,29)))m. ∴S10＝100＋2×eq\f(100,2)＋2×eq\f(100,22)＋…＋2×eq\f(100,29)＝100＋100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋…＋\f(1,28))) ＝100＋eq\f(100×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,29))),1－\f(1,2))≈300(m)．即共經(jīng)過的路程為300m.9．假設(shè)某市2008年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價(jià)房．預(yù)計(jì)在 今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%.另外，每年新建住房中， 中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬平方米．那么，到哪一年年底． (1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2008年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬 平方米？ (2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.(1.085≈1.47) 解：(1)設(shè)中低價(jià)房面積構(gòu)成數(shù)列{an}，由題意可知{an}是等差數(shù)列． 其中a1＝250，d＝50，則Sn＝250n＋eq\f(n(n－1),2)×50＝25n2＋225n. 令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整數(shù)，∴n≥10. ∴到2017年年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米． (2)設(shè)新建住房面積構(gòu)成數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等比數(shù)列．其中b1＝400，q＝1.08， 則bn＝400×1.08n－1.由題意可知an＞0.85bn，有250＋(n－1)·50＞400×1.08n－1×0.85. 由1.085≈1.47解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n＝6， ∴到2013年年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于 85%.10．(江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)已知數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，點(diǎn)(n,2an＋1－an)在直線y＝x上，其中n＝1,2,3，…. (1)令bn＝an＋1－an－1，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)； (3)設(shè)Sn、Tn分別為數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn＋λTn,n)))為 等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． (1)證明：由已知得：a1＝eq\f(1,2)，2an＋1＝an＋n，∴a2＝eq\f(3,4)，a2－a1－1＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)－1＝－eq\f(3,4)， 又bn＝an＋1－an－1，bn＋1＝an＋2－an＋1－1， ∴eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－an＋1－1,an＋1－an－1)＝eq\f(\f(an＋1＋n＋1,2)－\f(an＋n,2)－1,an＋1－an－1)＝eq\f(\f(an＋1－an－1,2),an＋1－an－1)＝eq\f(1,2)， ∴{bn}是以－eq\f(3,4)為首項(xiàng)，以eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列． (2)解：由(1)知，bn＝－eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,2n)，∴an＋1－an－1＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,2n)， ∴an－an－1－1＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,2n－1)，an－1－an－2－1＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,2n－2)，… a3－a2－1＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,22)，a2－a1－1＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,2)， 將以上各式相加得：an－a1－(n－1)＝－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n－1)))， ∴an＝a1＋n－1－eq\f(3,2)×eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1))),1－\f(1,2))＝eq\f(1,2)＋(n－1)－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1)))＝eq\f(3,2n)＋n－2， ∴an＝eq\f(3,2n)＋n－2. (3)存在λ＝2，使數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn＋λTn,n)))是等差數(shù)列． 由(1)(2)知，eq\f(Sn＋λTn,n)＝eq\f(\f(n(n＋1),2)－2n－2Tn＋λTn,n)＝eq\f(n－3,2)＋eq\f(λ－2,n)Tn， 又Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(－\f(3,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))＝－eq\f(3,2)＋eq\f(3,2n＋1)， eq\f(Sn＋λTn,n)＝eq\f(n－3,2)＋eq\f(λ－2,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋\f(3,2n＋1)))，所以當(dāng)且僅當(dāng)λ＝2時(shí)，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn＋λTn,n)))是等差數(shù)列．1．已知正數(shù)組成的等差數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和為100，那么a7·a14的最大值為________． 解析：由S20＝100得a1＋a20＝10，∴a7＋a14＝10.又a7＞0，a14＞0，∴a7·a14≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a7＋a14,2)))2＝25. 答案：252．用分期付款的方式購買一批總價(jià)為2300萬元的住房，購買當(dāng)天首付300萬元，以后 每月的這一天都交100萬元，并加付此前欠款的利息，設(shè)月利率為1%.若從首付300萬 元之后的第一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，問分期付款的第10個(gè)月應(yīng)付多少萬元？ 全部貸款付清后，買這批住房實(shí)際支付多少萬元？ 解：購買時(shí)付款300萬元，則欠款2000萬元，依題意分20次付清，則每次交付欠款的 數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列{an}， 故a1＝100＋2000×0.01＝120(萬元)， a2＝100＋(2000－100)×0.01＝119(萬元)， a3＝100＋(2000－100×2)×0.01＝118(萬元)， a4＝100＋(2000－100×3)×0.01＝117(萬元)， …