2023年人教版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一部分考點指導(dǎo)第七章數(shù)列第三節(jié)等比數(shù)列

第三節(jié)等比數(shù)列【考試要求】.理解等比數(shù)列的概念..掌握等比數(shù)列的通項公式與前〃項和公式..能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題..了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.【高考考情】考點考法：高考以等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、等比數(shù)列的前〃項和為考查重點，將等比數(shù)列的通項、前〃項和及性質(zhì)綜合考查，此外，還可能會與等差數(shù)列綜合考查.題型以客觀題或解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題型.核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模o 一如以林理二思傕派活 -Q歸納?知識必備.等比數(shù)列的有關(guān)概念⑴(1)定義式：—=qq(〃GN*,g為非零常數(shù)).an⑵等比中項：若a,G,6成等比數(shù)列，則互是a與6的等比中項.即：G是a與6的等比中項oa,G,6成等比數(shù)列<=>j=絲仁，G,6不為零).,注解1(1)等比數(shù)列中各項及公比都不能為零.(2)由a〃+i=qa〃(gW0),并不能斷言｛a』為等比數(shù)列，還要驗證國#0.(3)等比數(shù)列中奇數(shù)項的符號相同，偶數(shù)項的符號相同..等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：an=a\Q~'=am?g2l-(2)前〃項和公式:na],q=l,.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)對任意的正整數(shù)加，n,p,q,若m+n=p+q,則aja產(chǎn)a??a”特別地，若m+/i=2p,則am?an=a；.⑵若等比數(shù)列前n項和為S,則S,甌一￡,S.-S“仍成等比數(shù)列，即（狐一少=2⑸一WJ5WN*,公比gW-l）.（3）數(shù)列｛aj是等比數(shù)列，則數(shù)列｛paJSWO,〃是常數(shù)）也是等比數(shù)列.（4）在等比數(shù)列｛4｝中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即a,”a**a心,&+“，…為等比數(shù)列，公比為￡.智學(xué)?變式探源1.選擇性必修二P29例12.選擇性必修二P35例7.（改變基本量）已知｛4｝是等比數(shù)列，a2=2, ,則公比q等于（）1A.--B.—2C.2D.-TOC\o"1-5"\h\za 1 1【解析】選D.由題意知=鼻，即q=.3qo Z.（改變基本量）已知S是等比數(shù)列｛aj的前〃項和，國=-1,a=64,則$=（ ）A.49B.50C.51D.52【解析】選C.由a=-1,a=64,即（-1）q=64,, （―1）[1—（—4）4]可得（7=-4,S=j（_4） =5L慧考?四基自測3.基礎(chǔ)知識4.基本方法5.基本能力6.基本應(yīng)用3.（等比中項）在等比數(shù)列｛aj中，a3=2,a7=8,則as等于（ ）A.5B.±5C.4D.±42【解析】選C.因為4=a3a7=2X8=16,所以85=±4.又因為所以戊=4.4.（求公比）已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S，且句+4=不，a+國=5,則,=（ ）A.-B.4C.2D.72 4

k 5 o—o【解析】選c.因為4+曷=彳，a2+a.\=-,所以q='=24 z ai+a35.(求和)設(shè)｛aj是等比數(shù)列，且國+&+&=1,a2+a3+ai=2,則a+a7+a3=( )A.12B.24C.30D.32【解析】選D.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為私則且+及+當(dāng)=句(1+,+/)=1,昆+@3+&=句,+句(/+aM=ag(l+q+g2)=g=2,因此，a6+a1+ali=ai(f+ai(f+aiq,=a,95(1+q+)=(/=32.6.(應(yīng)用)一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機病毒開機時占據(jù)內(nèi)存1MB,然后每3秒自身復(fù)制一次,復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機秒，該病毒占據(jù)內(nèi)存8GB(1GB=2'°MB).【解析】由題意可知，病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)列｛a｝,且4=2,q=2,所以a?=2"f則2"=8*2'°=2%所以〃=13.即病毒共復(fù)制了13次.所以所需時間為13X3=39(秒).答案：39。 、.青點辭究二>法培優(yōu)自主練透5考自主練透.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛aj的前4項和為15,且a5=3as+4a”則a3=()A.16B.8C.4D.2【解析】選C設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由a5=3as+4ai得aiq'=3aiq~+4ai,所以qI=4,a(1一24)又因為an>0,所以q=2,由S尸- =15,解得ai=l.所以a3=a1,q2=4..(多選題)(2022?黃岡模擬)已知等比數(shù)列｛aj的公比為q,前4項的和為a1+14,且a”a+1,為成等差數(shù)列，則q的值可能為( )B.1B.1C.2D.3【解析】選因為a3+L&成等差數(shù)列,所以&+ai=2區(qū)+1),又因為數(shù)列前4項的和為a.+14,所以ai+a?++a.q=a1+3a3+2a】+14=a：j=4,而數(shù)列｛4｝的公比為q,再根據(jù)a2+&=2(a3+D有,aJq+-|=2(a3+l)=>4|q+-|=10=q+，=',所以q=2或q=J-TOC\o"1-5"\h\z<q; kq;q2 2s(2020噎:國卷H)記S“為等比數(shù)列｛aj的前n項和.若a.5—a3=12,as—a?=24,則二=( )A.2n-l B.2一2一"C.2-2n-)D.21-n-l【解析】選區(qū)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,a【qHiq~—12 q—2由a$一&3=12,de—34=24可得：' . , =" ,a】q=24 ai=1Gf-N_ Qa,(1—qn) 1—2"_所以an—a1q—2,Sn—i —1 0—2—1,1—q 1—zS9n—1因此二=不丁=2-21-\3nN2(2019?全國卷I)記Sn為等比數(shù)列｛aj的前n項和.若ai=J,a=%,則S$= .J41 2 flA2i【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知a產(chǎn)［，a=a6,所以點 =-q\又qWO,所o 4 \oyo1(1-35)i、i~o=匚1*1cat(1—q5)3121以q—3,助以發(fā)一l-q1-3一3依自121答案：~，規(guī)律方法等比數(shù)列基本量運算的解題策略(1)知三求二思想：等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式共涉及五個量a”an,q,n,S“已知其中三個就能求另外兩個.(2)分類與整合思想：運用前n項和公式時，注意分q=l和q#l兩類分別討論.官ZU【加練備選】

TOC\o"1-5"\h\z1.已知等比數(shù)列｛aj滿足a】=a，a3a5=4(a.i—1),則a?=( )1A.2B.1C.~D.~乙 o【解析】選C設(shè)等比數(shù)列｛aj的公比為q,由ai=；,a3a5=4(^―1),知qWl,則a^Xad4(aiq3-1),所以七Xq，=4(]Xq3—1),所以q'—16q'+64=0,所以(q：'一8”=0,即q：'=8,所以q=2,所以q=2,所以a2=2-2.（2019?全國卷I）記S.為等比數(shù)列｛aj的前n項和.1±

-al若3-4

=3s-4s則3【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知S3=ai+aiq+aq'=l+q+q2=],（1—即q?+q+；=0,解得q=-J,所以Sd=巴~~口-= y4 2 i-q—/-12答案：|?考點二等比數(shù)列的判斷與證明 |講練互動[典例1]（1）（多選題）（2021?黃石模擬）已知數(shù)列｛&,｝是等比數(shù)列，公比為q,前n項和為S“下列判斷正確的有（）W為等比數(shù)列｛/。&&,｝為等差數(shù)列｛an+an+i）為等比數(shù)列D.若Sn=3n-'+r,則r=-g【解析】選4選項，設(shè)bn=’,則船=—=-（n2l,nGN*）,所以，為等比數(shù)列，A正確；Hnbn3n+lQ 4B選項，若a.VO,則logza”沒意義，故B錯誤；C選項，當(dāng)g=-1時，a?+a?+i=O,等比數(shù)列的任一項都不能為0,故C錯誤；D選項，由題意得=弋Qn-'--%7,由S=3'i+r得，q=3,個TOC\o"1-5"\h\zI-qq—1q—1 q—1=1,即2=5,3 I所以r=――=—~,故D正確.q—1 3(2)已知數(shù)列｛aj滿足由=1,11&,+|=2(11+1)@”.設(shè)131,=鼻.①求b”b2,b3；②判斷數(shù)列｛bn｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；③求｛a｝的通項公式.【解析】①由條件可得4+1=2"+1)a.n將”=1代入得，a2=4ai，而句=1,所以a?=4.將〃=2代入得，a3=3a”所以a3=12.從而6=1,th=2,&=4.②｛4｝是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.由條件可得備,即4+i=2A,又a=1,所以｛4｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.n+1n③由②可得冬=2"T,所以a,,=〃?2「n，規(guī)律方法等比數(shù)列的判定方法 |自主完善，老師指導(dǎo)(1)定義法：若^^=q(<?是常數(shù))，則數(shù)列｛a,,｝是等比數(shù)列. (2)等比中項法：若吐|=24+2(〃CN*),則數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列.(3)通項公式法：若a尸及5,g為常數(shù))，則數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列.，對點訓(xùn)練

（2022?荊門模擬）已知數(shù)列｛a｝的前〃項和為a2=4, a?+I+2.⑴證明：數(shù)列｛S「2｝為等比數(shù)列，并求出S；⑵求數(shù)列的前〃項和T,,.【解析】（1）由已知S產(chǎn);（S,+i—S）+2,整理得，S+I=3S—4,所以S+i—2=3（￡—2）,當(dāng)〃=1時，S=g且+2=4,5—2=2,所以｛S—2｝是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以S—2=2X3"t,所以S=2X3“t+2；（2）由（1）知，S=2X3i+2,當(dāng)〃=1時，a=S=4,當(dāng)〃22時，an=Sn-S?-i=4X3n~2,所以a?—4,n=l, 所以a?—4,n=l, 1故上4X3"7,介2, a”當(dāng)〃=1時，Tx—~當(dāng)〃22時，T?—1-H F—8X3"75 1對n—1也滿足.故北=￡-qvooAJESI國【加練備選】1.在數(shù)歹中，滿足a=2,a=a.T?a+(A22,〃GN*),S為｛4｝的前a項和，若繞=64,n則S的值為()A.126B.256C.255D.254【解析】選D.數(shù)列｛4｝中，滿足ai1（心2,〃￡N*）,則數(shù)列｛aj為等比數(shù)列，設(shè)其公n比為<7>又由囪=2,a=64,得q=~=32,則q=2,團（1—2'） 8貝！JS= \Q=2-2=254.1—2.已知各項都為正數(shù)的數(shù)列｛4｝滿足a+2=2&+i+34.⑴證明:數(shù)列｛4+“）為等比數(shù)列；13（2）若a=5,,求｛4｝的通項公式.【解析】（1）因為a+2=2a〃+1+34,所以4+2+&+產(chǎn)3（④h+4），因為｛4｝中各項均為正數(shù)，所以a++a.>0,所以干*=3,an+1十a(chǎn)n所以數(shù)列E+&+J是公比為3的等比數(shù)列.（2）由題意及（1）知，a.+a〃+產(chǎn)但+az）3"T=2X3i,因為a〃+2=2a.+i+3a〃，所以"什2—3azl+1=—（a.+i—3a〃），&=32，所以及一3al=0,所以a〃+i—3azi=0,故a〃+i=3a〃，所以4a0=2X3"即a“=5X3.已知數(shù)列｛aj的前〃項和為S，且S=2a.一3〃（〃WN*）.（1）求a”a?a的值；（2）是否存在常數(shù)，使得｛4+4｝為等比數(shù)列？若存在，求出義的值和通項公式為,若不存在，請說明理由.【解析】（1）當(dāng)〃=1時，51=31=2^—3,解得a=3,當(dāng)〃=2時，5=a1+a2=2a2—6,解得a?=9,當(dāng)〃=3時，S=a1+a?+a3=2a3—9,解得=21.⑵假設(shè)｛&+4｝是等比數(shù)列，則（及+4）2=（由+4）（&+二）,即（9+4）2=（3+人）（21+人），解得a=3.下面證明｛a+3｝為等比數(shù)列：因為S?—2an—3〃，所以S+i=2a.+i—3/7—3,所以371+1=S?+\—Sn=2a?+\—2a〃-3,即2a〃+3=a“+i，a_+3所以2（a0+3）=a〃+i+3,所以-1=2?a〃十3所以存在4=3,使得數(shù)列｛4+3｝是首項為2+3=6,公比為2的等比數(shù)列.所以a.+3=6X2i,即a“=3（2"-l）（〃eN*）.5考點三等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 |多維探究

高考考情：等比數(shù)列的性質(zhì)是等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式的引申.應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)解題，能夠在運算時達到運算靈活，方便快捷的目的，是高考中一直重點考查的內(nèi)容.既有選擇填空、又有解答題.客觀題“小而巧”，主觀題“大而全”，著力考查函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想.?角度1等比數(shù)列項的性質(zhì)應(yīng)用TOC\o"1-5"\h\z［典例2］在等比數(shù)列｛a｝中，a?>0,ai+a2H ba8=4,aia2,*,a8=16,則 1■—4 L的a10-2 3-8值為（）A.2B.4C.8D.16【解析】選4由分數(shù)的性質(zhì)得到,+-+-+-Hi32 3.8a8+aja7+a2. .a4+a5=++,,?+.a8al a7a2 a1a5因為％ai=a7a2=a3a6=&a5，所以原式=.+也+~土^=—,a4a5 a4a5又a【a2…a8=16=（a.）公>0,所以a“a5=2,所以一+—H 1■—=2.3.2?角度2等比數(shù)列前n項和性質(zhì)應(yīng)用[典例3](1)已知等比數(shù)列｛an｝共有2n項，其和為一240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,則公比q=.解得5奇=—80,S偶=—160,佰解得5奇=—80,S偶=—160,[S^—Sffl=80bt?S偶一160所以q=或=v=2.答案：2(2)(金榜原創(chuàng)?易錯對對碰)①已知各項都是正數(shù)的等比數(shù)列｛aj,Sn為其前n項和，且S3=10,S9=70,PliJS12=.②已知等比數(shù)列｛aj,Sn為其前n項和，且S3=10,S9=70,則S12=.【解析】①方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為q,顯然qWl,又Sn=曳斗二"，1—q所以=3=d+q：,+l=7.所以q=2或7（舍去）.又I12=\~\=11(q/=15'所以Si2=15S3=150?S3 1-q 1-q方法—■：因為Sg=(ai+az+a3)+(ai+as+ae)+(aT+ag+aJuSs+q'S+q'S：；=S3(l+q3+q6),所以10(/+/+1)=70,所以小=2或一3(舍去。所以S12=S9+q9S3=70+80=150.方法三:由等比數(shù)列的性質(zhì)知S3,s6-s3,s9-s6,Sw-Sg是等比數(shù)列,所以(S6-10)2=10(70-S6),解得S6=30或一20(舍去),又(SlS6)2=(S6-S3)(S12-S9),即402=20(S,2-70),解得S12=150.方法四：設(shè)等比數(shù)列前n項和為Sn=A-Aqn,[A(1-q9)=70, … ,則L 3 兩式相除得l+q'+q=7,[A(1—q)=10,解得d=2或一3(舍去)，所以A=-10.所以S12=-10(l-24)=150.答案：150②由本例方法一知q、=2或一3,當(dāng)q:，=2時，S|2=S9+q9S3=70+80=150；當(dāng)q3=-3時，Sl2=S9+q9S3=70-270=-200.答案：150或一200，規(guī)律方法應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的兩個關(guān)注點（1）轉(zhuǎn)化意識：在等比數(shù)列中，兩項之積可轉(zhuǎn)化為另外兩項之積或某項的平方，這是最常用的性質(zhì).⑵化歸意識：把非等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題解決，例如有關(guān)札，Sz“S配的問題可利用S?,S2.-S.,用一Sx（5n#0）成等比數(shù)列求解./多維訓(xùn)練1.（多選題）（2022?濰坊模擬）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,其前n項和為S.，前n項積為心且滿足條件冉＞1,a.a7＞l,宵＜0,則下列結(jié)論正確的是（）A.0<q<l0Va6aA.0<q<lSn的最大值為S7 T“的最大值為丁6【解析】選/薇若qVO，則a6V0,a7>0,所以a6a7V0,與a6a?>1矛盾;若q》l,則因為4>1,所以a6>l,a7>l,,a6-1 .a6—1 —?則』>0>與=v°矛盾'因此OVqVl,所以力正確.因為q〈°，所以%>l>a7>0,a?—12因此&a8=a.G(0,1),即3正確.因為%>0,所以S。單調(diào)遞增，即S.的最大值不為S],C錯誤.因為當(dāng)n27時，a?G(0,1),當(dāng)l《n《6時，a..e(l,+~),所以工的最大值為Te,即〃正確..已知等比數(shù)列｛an｝的前10項中，所有奇數(shù)項之和為85^,所有偶數(shù)項之和為170；,則S=a?+ae+包+a12的值為.TOC\o"1-5"\h\z_9 r1fq2， I_1，奇 ai—T>【解析】設(shè)公比為q,由〈 ，2、si 得V 4cajl—(q)J“I cSiij= ： 2 -85t， [q=2,I 1—q 4所以S=a3+a<i+a)+a12=a3(l+q!+qh+q9)=aiqz(l+q3)(1+q6)=585.答案：585.(2021?荊州模擬)己知等比數(shù)列｛aj的公比不為一1,設(shè)S”為等比數(shù)列｛備｝的前n項和,S12=7S&,則器=.【解析】由題意可知跋S8-S4,Siz-S.成等比數(shù)列，則(S,-S>=S4?⑸2—S。，又Si2=7S”所以(S8—SJ2=S4?(7S4-S8),可得S-6S-