復(fù)數(shù)的幾何意義教案

復(fù)數(shù)的幾何意義教案復(fù)數(shù)的幾何意義教案3.1.3復(fù)數(shù)的幾何意義1．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面的定義建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù);除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．(2)復(fù)數(shù)與點(diǎn)、向量間的對(duì)應(yīng)①?gòu)?fù)數(shù)z=a+bi(a,bER)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)；一平面向量—OZ=(a,b).②復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bER)2．復(fù)數(shù)的模22復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bER)對(duì)應(yīng)的向量為OZ,則OZ的模叫做復(fù)數(shù)z的模，記作|z|,且|z|=_a+b.3．共軛復(fù)數(shù)當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即z=a+bi,那么z=a—bi,當(dāng)復(fù)數(shù)z=a+bi的虛部b=0時(shí)，有_z=z__，也就是說(shuō)，任一實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身.小結(jié)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．問(wèn)題2怎樣定義復(fù)數(shù)z的模？它有什么意義？T答復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bER)的模就是向量OZ=(a,b)的模，記作|z|或|a+bi|.22|z|=|a+bi|=a+b可以表示點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)的距離.例2已知復(fù)數(shù)z=3+ai,且|z|4,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解方法一,「z=3+ai(aER),22「?|z|=3+a,2222由已知得3+a4,「.a7,/.aE(-7,7).方法二利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由|z|4知，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z=3+ai知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x=3上，所以線段AB(除去端點(diǎn))為動(dòng)點(diǎn)Z的集合.由圖可知：-7a7.小結(jié)利用模的定義將復(fù)數(shù)模的條件轉(zhuǎn)化為其實(shí)虛部滿足的條件，是一種復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化思想；根據(jù)復(fù)數(shù)模的意義，結(jié)合圖形，可利用平面幾何知識(shí)解答本題.跟蹤訓(xùn)練3設(shè)zEC,滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？(1)|z|=2；(2)|z|W3.T解方法一(1)復(fù)數(shù)z的模等于2,這表明向量OZ的長(zhǎng)度等于2，即點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離等于2,因此滿足條件憶|=2的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以2為半徑的圓.(2)滿足條件憶除3的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以3為半徑的圓及其內(nèi)部．方法二設(shè)z=x+yi(x,yER).22(1)|z|=2,/.x+y=4,???點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓.22(2)|z|W3,z.x+y^9.點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓及其內(nèi)部..復(fù)數(shù)的幾何意義有兩種：復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)；.研究復(fù)數(shù)的問(wèn)題可利用復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化思想轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)虛部的問(wèn)題,也可以結(jié)合圖形利用幾何關(guān)系考慮.例2如圖所示，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,C分別表示0,3+2i,—2+4i.求：復(fù)數(shù)的幾何意義教案(1)AO表示的復(fù)數(shù)；T⑵對(duì)角線CA表示的復(fù)數(shù);T⑶對(duì)角線OB表示的復(fù)數(shù).解(1)因?yàn)锳O=—OA,所以AO表示的復(fù)數(shù)為一3一2i.(2)因?yàn)镃A=OA—OC,所以對(duì)角線CA表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)一(一2+4i)=5—2i.(3)因?yàn)閷?duì)角線OB=OA+OC,所以對(duì)角線OB表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)+(—2+4i)=l+6i.小結(jié)復(fù)數(shù)的加減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加減法．跟蹤訓(xùn)練2復(fù)數(shù)z1=l+2i,z2=—2+i,z3=—1—2i,它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．解設(shè)復(fù)數(shù)zl,z2,z3在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi(x,yER),如圖.則AD=OD-OA=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,BC=OC-OB=(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.??.AD=BC,A(x-1)+(y-2)i=1-3i.x-1=1x=2「.，解得，y-2=-3y=-1故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2-i.探究點(diǎn)三復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用例3已知憶1|=憶2|=憶1—z2|=1,求|z1+z2|.解方法一設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dER),??,|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,—「.a+b=c+d=1, (a-c)+(b-d)=1由①②得2ac+2bd=1, 22「.|z1+z2|=a+c+b+d2222=a+c+b+d+2ac+2bd=3.方法二設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，z1,z2,z1+z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,?,|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,?.△OAB是邊長(zhǎng)為1的正三角形，??四邊形OACB是一個(gè)內(nèi)角為60°,邊長(zhǎng)為1的菱形，且|z1+z2|是菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線OC的長(zhǎng)，??.|z1+z2|=|OC|22=|OA|+|AC|-2|OA||AC|cos120°=3.小結(jié)(1)設(shè)出復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yRR),利用復(fù)數(shù)相等或模的概念，可把條件轉(zhuǎn)化為x,y滿足的關(guān)系式，利用方程思想求解，這是本章“復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化”思想的應(yīng)用.⑵在復(fù)平面內(nèi)，z1,z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A,B,z1+z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OACB①為平行四邊形；②若|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為矩形；③若|z1|=|z2|,則四邊形OACB為菱形；④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1—z2|,則四邊形OACB為正方形.跟蹤訓(xùn)練3本例中，若條件變成|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=2.求|z1—z2|.解由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=2,知z1,z2,z1+z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，所求|z1—z2|是這個(gè)正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)，所以|z1-z2|2..復(fù)數(shù)的乘法法則復(fù)數(shù)的幾何意義教案設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dER),則z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(c+di關(guān)0),zla+biac+bdbc-ad則U=__22+22iz2c+dic+dc+d探究點(diǎn)二共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用問(wèn)題共軛復(fù)數(shù)有哪些性質(zhì)，這些性質(zhì)有什么作用？答⑴在復(fù)平面上，兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng).(2)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z=zzER，利用這個(gè)性質(zhì)可證明一個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).(3)若z關(guān)0且z+z=0,則z為純虛數(shù)，利用這個(gè)性質(zhì)，可證明一個(gè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù).(4)①zz=|z|=|z|；@z=z；③z1z2=z1z2.例2已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,且(3+4i)z是純虛數(shù)，求z的共軛復(fù)數(shù)乙解設(shè)z=a+bi(a,bER),則z=a—bifi|z|a+b=1,即a+b=1.①因?yàn)?3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(3a—4b)+(3b+4a)i,而(3+4i)z是純虛數(shù)，所以3a—4b=0,且3b+4a關(guān)0.②__-__由①②聯(lián)立，解得3b=,54a=,5或3b=—.54a=一,54343所以z=，或z=—i.5555小結(jié)本題使用了復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化思想，運(yùn)用待定系數(shù)法，化解了問(wèn)題的難點(diǎn)．1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法類(lèi)似于多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對(duì)加