兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布課件

第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布Z=X+Y的分布Z=Y\X及Z=XY的分布M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布課堂練習(xí)第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布Z=X+Y的分布

在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論:當(dāng)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布?在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的例1若X、Y獨(dú)立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函數(shù).解=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨(dú)立性r=0,1,2,…一、的分布例1若X、Y獨(dú)立，P(X=k)=解依題意

例2

若X和Y相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.解依題意例2r=0,1,…即Z服從參數(shù)為的泊松分布.r=0,1,…即Z服從參數(shù)為例3

設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.

這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函數(shù)是:它是直線x+y=z及其左下方的半平面.例3設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,化成累次積分,得固定z和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序化成累次積分,得固定z和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對(duì)稱性,fZ(z)又可寫成以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,即得Z=X+Y的概率密度為:

特別地，當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度.卷積公式特別地，當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例4若X和Y獨(dú)立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式也即為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例4暫時(shí)固定故當(dāng)或時(shí),當(dāng)

時(shí),當(dāng)

時(shí),于是暫時(shí)固定故當(dāng)或時(shí),

例5

若X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式例5若X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變令得可見Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).令得可見Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).用類似的方法可以證明:

若X和Y獨(dú)立,結(jié)論又如何呢?此結(jié)論可以推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的情形,請(qǐng)自行寫出結(jié)論.

若X和Y獨(dú)立,具有相同的分布N(0,1),則Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).用類似的方法可以證明:若X和Y獨(dú)立,結(jié)論又有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.即更一般地,可以證明:若相互獨(dú)立，則有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.二、Z=Y\X,Z=XY的分布設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y)，則Z=Y\X的密度函數(shù)為當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí),二、Z=Y\X,Z=XY的分布設(shè)(X,Y解例6解例6兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布課件三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y相互獨(dú)立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函數(shù)即有FM(z)=FX(z)FY(z)三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函數(shù)由于X和Y相互獨(dú)立,于是得到N=min(X,Y)的分布函數(shù)為:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)即有FN(z)=1-[1-FX(設(shè)X1,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為

我們來求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù).(i=1,…,n)用與二維時(shí)完全類似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:設(shè)X1,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)特別地，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有特別地，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分

例7

設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)連接而成,連接的方式分別為(i)串聯(lián),(ii)并聯(lián),(iii)備用(當(dāng)系統(tǒng)損壞時(shí),系統(tǒng)開始工作),如下圖所示.設(shè)的壽命分別為已知它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種連接方式寫出的壽命的概率密度.XYXYXY例7設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)XY解(i)串聯(lián)的情況由于當(dāng)系統(tǒng)中有一個(gè)損壞時(shí),系統(tǒng)L就停止工作,所以此時(shí)L的壽命為因?yàn)閄的概率密度為所以X的分布函數(shù)為XY解(i)串聯(lián)的情況由于當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)

x>0時(shí),當(dāng)

x0時(shí),故類似地,可求得Y的分布函數(shù)為當(dāng)x>0時(shí),當(dāng)x0時(shí),故類于是的分布函數(shù)為=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]的概率密度為于是XY(ii)并聯(lián)的情況由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)都損壞時(shí),系統(tǒng)L才停止工作,所以此時(shí)L的壽命為故的分布函數(shù)為XY(ii)并聯(lián)的情況由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)XY于是的概率密度為(iii)備用的情況因此整個(gè)系統(tǒng)L的壽命為由于當(dāng)系統(tǒng)損壞時(shí),系統(tǒng)才開始工作,XY于是當(dāng)

z0時(shí),當(dāng)

z>0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),上述積分的被積函數(shù)不等于零.故當(dāng)z0時(shí),當(dāng)z>0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)于是的概率密度為于是的概率密度為例8設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y具有同一分布律,且X的分布律為于是解例8設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y具有同一于是解兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布課件需要指出的是，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí),常稱M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實(shí)用價(jià)值.需要指出的是，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有三、課堂練習(xí)設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們都服從正態(tài)分布.試驗(yàn)證隨機(jī)變量具有概率密度三、課堂練習(xí)設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,1,設(shè)隨機(jī)變量且滿足P{X1X2=0}=1，求（1）(X1,X2)的聯(lián)合概率分布；（2）P{X1<X2}；（3）P{X1=X2}。1,設(shè)隨機(jī)變量且滿足P{X1X2=0}=1，求2.設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u).2.設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為而Y的概率密度3.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為0100.4a1b0.1已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，則有（B）(A)a=0.2,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.43.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為04.設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立分布,且X的概率分布為記求(U,V)的概率分布;解易知U,V的可能取值均為:1,2.且4.設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立分布,且X的概率分布為記求(U,兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布課件5.設(shè)X1,X2獨(dú)立同分布，且X1的分布律為X11234P0.10.20.30.4Y=max{X1,X2}，求（1）Y的概率分布：（2）(Y,X1)的聯(lián)合概率分布。5.設(shè)X1,X2獨(dú)立同分布，且X1的分布律為X1為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域6.若X和Y獨(dú)立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式也即為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域6.若X暫時(shí)固定故當(dāng)或時(shí),當(dāng)

時(shí),當(dāng)

時(shí),于是暫時(shí)固定故當(dāng)或時(shí),第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布Z=X+Y的分布Z=Y\X及Z=XY的分布M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布課堂練習(xí)第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布Z=X+Y的分布

在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論:當(dāng)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布?在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的例1若X、Y獨(dú)立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函數(shù).解=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨(dú)立性r=0,1,2,…一、的分布例1若X、Y獨(dú)立，P(X=k)=解依題意

例2

若X和Y相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.解依題意例2r=0,1,…即Z服從參數(shù)為的泊松分布.r=0,1,…即Z服從參數(shù)為例3

設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.

這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函數(shù)是:它是直線x+y=z及其左下方的半平面.例3設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,化成累次積分,得固定z和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序化成累次積分,得固定z和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對(duì)稱性,fZ(z)又可寫成以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,即得Z=X+Y的概率密度為:

特別地，當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度.卷積公式特別地，當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例4若X和Y獨(dú)立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式也即為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例4暫時(shí)固定故當(dāng)或時(shí),當(dāng)

時(shí),當(dāng)

時(shí),于是暫時(shí)固定故當(dāng)或時(shí),

例5

若X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷積公式例5若X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變令得可見Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).令得可見Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).用類似的方法可以證明:

若X和Y獨(dú)立,結(jié)論又如何呢?此結(jié)論可以推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的情形,請(qǐng)自行寫出結(jié)論.

若X和Y獨(dú)立,具有相同的分布N(0,1),則Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).用類似的方法可以證明:若X和Y獨(dú)立,結(jié)論又有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.即更一般地,可以證明:若相互獨(dú)立，則有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.二、Z=Y\X,Z=XY的分布設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y)，則Z=Y\X的密度函數(shù)為當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí),二、Z=Y\X,Z=XY的分布設(shè)(X,Y解例6解例6兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布課件三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y相互獨(dú)立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函數(shù)即有FM(z)=FX(z)FY(z)三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函數(shù)由于X和Y相互獨(dú)立,于是得到N=min(X,Y)的分布函數(shù)為:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)即有FN(z)=1-[1-FX(設(shè)X1,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為

我們來求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù).(i=1,…,n)用與二維時(shí)完全類似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:設(shè)X1,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)特別地，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有特別地，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分

例7

設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)連接而成,連接的方式分別為(i)串聯(lián),(ii)并聯(lián),(iii)備用(當(dāng)系統(tǒng)損壞時(shí),系統(tǒng)開始工作),如下圖所示.設(shè)的壽命分別為已知它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種連接方式寫出的壽命的概率密度.XYXYXY例7設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)XY解(i)串聯(lián)的情況由于當(dāng)系統(tǒng)中有一個(gè)損壞時(shí),系統(tǒng)L就停止工作,所以此時(shí)L的壽命為因?yàn)閄的概率密度為所以X的分布函數(shù)為XY解(i)串聯(lián)的情況由于當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)

x>0時(shí),當(dāng)

x0時(shí),故類似地,可求得Y的分布函數(shù)為當(dāng)x>0時(shí),當(dāng)x0時(shí),故類于是的分布函數(shù)為=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]的概率密度為于是XY(ii)并聯(lián)的情況由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)都損壞時(shí),系統(tǒng)L才停止工作,所以此時(shí)L的壽命為故的分布函數(shù)為XY(ii)并聯(lián)的情況由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)XY于是的概率密度為(iii)備用的情況因此整個(gè)系統(tǒng)L的壽命為由于當(dāng)系統(tǒng)損壞時(shí),系統(tǒng)才開始工作,XY于是當(dāng)

z0時(shí),當(dāng)

z>0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),上述積分的被積函數(shù)不等于零.故當(dāng)z0時(shí),當(dāng)z>0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)于是的概率密度為于是的概率密度為例8設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y具有同一分布律,且X的分布律為于是解例8設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y具有同一于是解兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布課件需要指出的是，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí),常稱M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實(shí)用價(jià)值.需要指出的是，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有三、課堂練習(xí)設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們都服從正態(tài)分布.試驗(yàn)證隨機(jī)變量具有概率