最新華東師大版九年級數(shù)學上冊教學課件全冊

最新華東師大版九年級數(shù)學上冊教學課件全冊第21章二次根式21.1二次根式21.1二次根式正數(shù)的正的平方根叫作它的算術(shù)平方根。0的算術(shù)平方根平方根是0。用(a≥0)表示。⑴什么叫作一個數(shù)的平方根？如何表示？

一般地，若一個數(shù)的平方等于a，則這個數(shù)叫作a的平方根。a的平方根是±。課前復習⑵什么是一個數(shù)的算術(shù)平方根？如何表示？

正數(shù)有兩個平方根且互為相反數(shù)；

0有一個平方根就是0；

負數(shù)沒有平方根。平方根的性質(zhì)：本課學習目標：（1）二次根式的概念（2）根號內(nèi)字母的取值范圍（3）二次根式的性質(zhì)請你憑著自己已有的知識,說說對二次根式的認識！2.a可以是數(shù),也可以是式.3.形式上含有二次根號.4.a≥0,≥0.5.既可表示開方運算,又可表示運算的結(jié)果.1.表示a的算術(shù)平方根(雙重非負性)例：求下列二次根式中字母的取值范圍：求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：①被開方數(shù)不小于0；②分母中含有字母時，要保證分母不為0。探究2一般地，（a≥0）歸納計算：解：解：一般地，根據(jù)算術(shù)平方根的意義化簡：解：2.從取值范圍來看：

a≥0a取任何實數(shù)1:從運算順序來看：先開方,后平方先平方,后開方3.從運算結(jié)果來看:=aa(a≥0)-a(a≤0)==∣a∣第21章二次根式21.2二次根式的乘除21.2二次根式的乘除

復習導入計算計算===二次根式的乘法法則:

兩個二次根式相乘，將它們的被開方數(shù)相乘.問:從上面的計算你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？如何用a，b表示？成立的條件是什么?

這就是說，兩個算術(shù)平方根的積，等于它們被開方數(shù)的積的算術(shù)平方根.例：計算試一試：請根據(jù)算術(shù)平方根填空：猜一猜：通過對上述問題的思考，你能猜想出的結(jié)論是什么？說說你的理由。積的算術(shù)平方根

積的算術(shù)平方根:

積的算術(shù)平方根，等于各因式算術(shù)平方根的積。利用這個性質(zhì)可以進行二次根式的化簡777213練一練（1）乘法法則：（2）乘法法則的逆用：歸納小結(jié)===

二次根式的除法

二次根式的除法法則:

兩個二次根式相除，將它們的被開方數(shù)相除的商，作為商的被開方數(shù)；計算：解：

這里，二次根式的被開方數(shù)中含有分母，通?？衫梅质降幕拘再|(zhì)先將分母“配”成完全平方，再“開方”出來。

二次根式化簡后,被開方數(shù)不含分母,并且被開方數(shù)中所有因式的冪的指數(shù)小于2,像這樣的二次根式稱為最簡二次根式.

二次根式的化簡要求滿足以下兩條:1.被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式,也就是說“被開方數(shù)不含分母”.2.被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式,也就是說“被開方數(shù)的每一個因數(shù)或因式的指數(shù)都小于2”.

1.把下列各式分母有理化：尋找分母的有理化因式，應(yīng)找最簡單的有理化因式，也可靈活運用我們學過的性質(zhì)和法則，簡化、優(yōu)化解答過程。2.驗證下列各式，猜想下一個式子是什么？你能找到反映上述各式的規(guī)律嗎？小結(jié)第21章二次根式21.3二次根式的加減計算下列各式：問題：1.什么是同類項？2.同類項怎樣合并？復習導入下列根式，哪些是最簡二次根式？×√√√1.被開方數(shù)中不含分母；2.被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)或因式.（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）二次根式在什么條件下可以合并？議一議進入新課

如圖，學校要砌一個正方形花壇，已知外邊正方形的邊長為cm，里邊正方形的邊長為cm,兩個正方形的周長和為多少？兩個正方形的周長和為

若兩個正方形的面積分別為27cm2,12cm2，則兩個正方形的周長和為多少？兩個正方形的周長和為以下是什么運算？如何計算？二次根式的加法.如何計算呢？

分析：類似8a+4a=12a，我們可以根據(jù)乘法分配律的逆用來進行運算。解：計算:有什么發(fā)現(xiàn)？知識梳理

二次根式加減時，先將二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。

注意：同類二次根式的合并，實質(zhì)是對同類二次根式的系數(shù)進行合并。即：同類二次根式例1

計算:解：二次根式加減運算的步驟:(1)把各個二次根式化成最簡二次根式;(2)把同類二次根式合并.注意:被開方數(shù)不相同的二次根式(如與)不能合并計算:下列計算哪些正確，哪些不正確？⑴

⑵

⑶

⑷

（不正確）（不正確）（不正確）（正確）慧眼識真=別漏了“1”.化簡下列解答是否正確？為什么？

錯在沒有按照二次根式加減混算從左向右依次進行的運算順序計算。

運算不完整，能合并的沒有合并。觀察下面兩個題目的計算過程整式中的運算律也適用于二次根式二次根式的混合運算計算想一想：還有其他方法嗎？1.同類二次根式的概念及判斷2.二次根式的加減法3.二次根式的混合運算順序及運算律的運用課堂小結(jié)第22章一元二次方程22.1一元二次方程分別指出下面的方程叫作什么方程？(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；(3).

解：（1）一元一次方程；（2）二元一次方程；（3）分式方程.一、新課導入理解一元二次方程的概念及它的一般形式;會判斷一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項；理解一元二次方程的解的概念.12二、學習目標三、研讀課文認真閱讀課本上的內(nèi)容，完成練習并體驗知識點的形成過程.知識點一引言中的方程①請問方程是什么方程呢？如圖，有一塊矩形鐵皮，長100cm,寬50cm，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2,那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？問題1設(shè)切去的正方形的邊長為xcm，則盒底的長為___________,寬為___________,得方程___________________.整理得_______________②(100-2x)cm(50-2x)cm(100-2x)(50-2x)=3600x2-75x+350=0要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場.根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參賽？問題2設(shè)應(yīng)邀請x個隊參賽，每個隊要與其他____個隊各比賽一場，可列方程為______________整理得________③觀察方程①②③的共同點：（1）這些方程的兩邊都是_____；（2）都只含有______未知數(shù)x；（3）它們的最高次數(shù)都是____次。x-1x2-x=56整式一個2因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的概念

練一練下列方程是一元二次方程的是_____（填序號）.①3x2+7=0②3x-4=5x+6③(x-2)(x+5)=x2-1④3x2-=0①一元二次方程一般的形式一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．因為當a=0時，二次項就不存在了，方程就不再是一元二次方程了，所以規(guī)定a≠0.一元二次方程一般的形式思考：為什么規(guī)定a≠0？根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將所列的方程化成一元二次方程的一般形式:(1)4個完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長x；解：所列方程為______,化成一元二次方程的一般形式為

.4x2=254x2-25=0練一練（2)一個矩形的長比寬多2，面積是100，求矩形的長x；解：所列方程為__________，化成一元二次方程的一般形式為___________。

x(x-2)=100x2-2x-100=0練一練（3)把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積等于較長一段的長的平方，求較短一段的長x.解：所列方程為_________,化成一元二次方程的一般形式為___________.x=(1-x)2x2-3x+1=0練一練一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次項,

a是二次項系數(shù)；bx是一次項,b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項。二次項、一次項和常數(shù)項例題例將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．解：去括號，得3x2-3x=5x+10.移項、合并同類項，得3x2-8x-10=0.其中二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為-8，常數(shù)項為-10.將下列方程化成一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項：

4x(x+2)=25(3x-2)(x+1)=8x-3練一練(3)把化為一般形式為4x2+8x-25=0，二次項系數(shù)為4，一次項系數(shù)為8，常數(shù)項為

-25．4x(x+2)=25(4)把化為一般形式為3x2-7x+1=0，二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為-7

，常數(shù)項為1．(3x-2)(x+1)=8x-3練一練(1)把化為一般形式為5x2-4x-1=0，二次項系數(shù)為5，一次項系數(shù)為-4

，常數(shù)項為-1．(2)把化為一般形式為

4c2-81=0，二次項系數(shù)為4，一次項系數(shù)0，常數(shù)項為-81．使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.一元二次方程的解（根）下面那些數(shù)是方程x2-x-6=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.解：因為-2和3能使方程x2-x-6=0的左右兩邊相等，所以-2和3是方程x2-x-6=0的根.練一練4、學習反思：_____________________________.1、等號兩邊都是____，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是___的方程，叫做一元二次方程.2、一元二次方程的一般形式是：______________.3、使方程____________的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，也叫做_______________.四、歸納總結(jié)Thankyou!第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程第1課時用直接開平方法解一元二次方程

一桶某種油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體現(xiàn)狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？創(chuàng)設(shè)情景明確目標這個一元二次方程有什么特點？怎樣解這個一元二次方程？1．體會解一元二次方程降次的轉(zhuǎn)化思想．2．會利用直接開平方法解形如x

2＝p或

(mx

＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．學習目標探究點一

合作探究達成目標二元、三元一次方程組一元一次方程一元二次方程消元降次

例1：一桶某種油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體現(xiàn)狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？10×6x2=1500由此可得x2=25即x1=5，x2=－5可以驗證，5和－5是方程①

的兩根，但是棱長不能是負值，所以正方體的棱長為5dm．解：設(shè)正方體的棱長為xdm，則一個正方體的表面積為6x2dm2，根據(jù)一桶油漆可刷的面積，列出方程①合作探究達成目標等量關(guān)系：10個正方體盒子的表面積＝油漆可刷的總面積平方根的意義

小組討論1形如x2=

p(p≥0)的方程可用什么方法求解？【針對練一】解得：【答案】

小組討論2（2）對于常數(shù)p，為什么要限定條件p≥0？一般地，對于x2＝p當p＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即：當p＜0時，方程無實數(shù)根.當p=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即：探究點二

例2：解方程

【思考】①方程（1）與x

2=25這個方程有什么不同？可以直接開平方嗎？②方程（2）與方程（1）有什么不同？怎樣將方程(2)轉(zhuǎn)化為方程（1）的形式？③方程（3）左右兩邊有什么特點？怎樣達到降次的目的？小組討論3

對于可化為(mx＋n)2＝p(p≥0)或（ax+b）2=(cx+d)2的方程，可以用直接開平方發(fā)求解嗎？1.當方程的一邊容易變形為含未知數(shù)的完全平方式，另一邊是非負數(shù)時，可以用直接開平方法求解，即：對于(mx＋n)2＝p(p≥0)，得：2.若兩邊都是完全平方式，即：（ax+b）2=(cx+d)2，得【針對練二】5.方程（2x-1)2=(x

+2)2的解為：x1=3,x2=DD1/5D1.降次的實質(zhì)：將一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一次方程；降次的方法：直接開平方法；降次體現(xiàn)了：轉(zhuǎn)化思想；2.用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟：先要將方程化為左邊是含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負數(shù)的形式，再利用平方根的定義求解.總結(jié)梳理內(nèi)化目標達標檢測反思目標可以

可以

可以

不可以

可以

達標檢測反思目標2.3.4.

-1

-5

解：達標檢測反思目標5.已知方程的一個根是,

求k的值和方程的另一個根。解：把代入得：解得：原方程為：所以方程的根為：即方程的另一個根為-1第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

創(chuàng)設(shè)情景明確目標1．了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，能運用它由已知一元二次方程的一個根求出另一個根及未知系數(shù)．2．在不解一元二次方程的情況下，會求直接（或變形后）含有兩根和與兩根積的代數(shù)式的值，并從中體會整體代換的思想．學習目標探究點一

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的推導合作探究達成目標--1x1+x2=+==-x1x2=·===一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理）推論1【針對訓練1】-31D例1.根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程兩根的和與積.合作探究達成目標探究點二一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用

(1)方程（3）與方程（1）（2）在形式上有何區(qū)別？【小組討論2】

(1)在求兩根的和與積時，必須將方程怎樣處理？【針對訓練2】AC4.已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的兩個實數(shù)根分別為x1＝－2，x2＝4，則m＋n的值是（）A．－10

B．10C．－6D．25.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一個根為2，則另一個根為：（）A.2B.3C.4D.8【針對訓練2】C總結(jié)梳理內(nèi)化目標達標檢測反思目標D03-2第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程第3課時公式法創(chuàng)設(shè)情景明確目標請用配方法解方程：x2-x-1=01．理解一元二次方程求根公式的推導．2．會用求根公式解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．3．理解一元二次方程的根的判別式，并會用它判別一元二次方程根的情況．學習目標任何一元二次方程都可以寫成一般形式你能否也用配方法得出①的解呢？二次項系數(shù)化為1，得配方即①②移項，得探究點一一元二次方程根的判別式的應(yīng)用

因為a≠0,4a2>0,當b2－4ac＞0時，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根由②式得當b2－4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根當b2－4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根（1）一元二次方程根的判別式與根的情況有何關(guān)系？（2）如何用根的判別式不解方程判斷方程根的情況？活動二：交流思考下面的問題：

當時，方程有兩個不相等的實根；

當時，方程有兩個相等的實根；

當時，方程沒有實根.b2-

4ac＞0b2-

4ac=

0b2-

4ac＜0【小組討論1】

一元二次方程根的判別式在使用時應(yīng)注意什么？【針對訓練1】A2-11.（2015重慶）已知一元二次方程則該方程根的情況是()A．有兩個不相等的實數(shù)根

B．有兩個相等的實數(shù)根

C．兩個根都是自然數(shù)

D．無實數(shù)根（2015青島）關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍.一元二次方程的根由方程的系數(shù)a，b，c確定．因此，解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式 ，當 就得到方程的根，這個式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根．時，將a，b，c代入式子探究點二

用公式法解一元二次方程

例2：用公式法解下列方程：探究點二

用公式法解一元二次方程

【小組討論2】

用公式法解一元二次方程的前提條件是什么？【針對訓練2】C(2)（2015大連）x2－6x－4=0.總結(jié)梳理內(nèi)化目標達標檢測反思目標AD4-3-5a≥-1解：第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程第4課時因式分解法

?思考

根據(jù)物理學規(guī)律,如果把一個物體從地面以10m/s秒的速度豎直上拋，那么經(jīng)過x秒物體離地高度（單位：米）為10x-4.9x2你能根據(jù)上述規(guī)律求出物體經(jīng)過多少秒落回地面嗎？（精確到0.01S）10x-4.9x2=0①

創(chuàng)設(shè)情景明確目標1、請用配方法或公式法求方程①的解；2、若將方程左邊分解因式為：x(10-4.9x)=0，是否有比學過的兩種方法更簡便的解法呢？1．會用因式分解法解某些簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．2．進一步體會轉(zhuǎn)化的思想，能選擇恰當?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋畬W習目標于是得上述解中，x2≈2.04表示物體約在2.04時落回地面，面x1=0表示物體被上拋時離地面的時刻，即在0s時物體被拋出，此刻物體的高度是0m．

如果a·b=0那么a=0或b=0．探究點一

用因式分解法解一元二次方程

10x-4.9x2=0①

方程①的右邊為0，左邊可因式分解，得可以發(fā)現(xiàn)，上述解法中，由①到②的過程，不是用開方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法．以上解方程的方法是如何使二次方程降為一次的方程？討論①②當一元二次方程的一邊是0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,我們就可以用分解因式的方法求解.這種用分解因式解一元二次方程的方法稱為分解因式法.1.用分解因式法解一元二次方程的條件是:

方程左邊易于分解,而右邊等于零;2.理論依據(jù)是:“如果兩個因式的積等于零,

那么至少有一個因式等于零”例:1

解下列方程:(1)x(x-2)+x-2=0;分解因式法解一元二次方程的步驟是:2.將方程左邊因式分解;3.根據(jù)“至少有一個因式為零”,轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.4.分別解兩個一元一次方程，它們的根就是原方程的根.1.化方程為一般形式;【小組討論1】

運用因式分解法解一元二次方程時方程兩邊如何處理？右化零左分解兩因式各求解【針對訓練1】D解：（2015重慶）一元二次方程x2－2x=0的根是()

A.x1=0，x2=－2B.x1=1，x2=2C.x1=1，x2=－2D.x1=0，x2=2探究點二選擇恰當?shù)姆椒ń庖辉畏匠?/p>

思考：（1）哪種方法更簡便？（2）因式分解法適合什么樣的方程？例2：試用合適的方法解下列方程：【小組討論2】

解一元二次方程的基本思路是什么？

有哪些方法可以達到這個目的？用公式法求解即可:若一邊可以分解成兩個因式乘積的形式,可以因式分解法解方程.【針對訓練2】(5)(6)【答案】解一元二次方程的基本思路是將二次方程化為一次方程，即降次.使用的方法有配方法、公式法、因式分解法．當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我們就用分解因式的方法來求解.總結(jié)梳理內(nèi)化目標達標檢測反思目標BD3（x+12)(x+8)x1=-12,x2=-8解：第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程第2課時用配方法解一元二次方程

溫故而知新1.解下列方程：(1)2x2=8(2)(x+3)2-25=0(3)9x2+6x+1=42.你能解這個方程嗎？

x2+6x+4=0直接開平方法1．理解配方的基本過程，會運用配方法解一元二次方程．2．經(jīng)歷探索利用配方法解一元二次方程的過程，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．學習目標回顧與復習因式分解的完全平方式，你還記得嗎?完全平方式填一填14它們之間有什么關(guān)系?1242(1)x2+10x+

=(x+

)2(2)x2-12x+

=(x-

)2(3)x2+5x+

=(x+

)2(4)x2-x+

=(x-

)2(5)4x2+4x+

=(2x+

)2625526121

移項兩邊加上32,使左邊配成完全平方式左邊寫成完全平方的形式開平方變成了(x+h)2=k的形式想一想如何解方程？

以上解法中,為什么在方程兩邊加9?加其他數(shù)行嗎?像上面那樣,通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法,叫做配方法.這個方程怎樣解？變形為的形式．（ａ為非負常數(shù)）變形為x2－8x＋1＝0(x－4)2=15x2-8x+16=-1+16活動一：

探究點一

用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程

（1）解答過程都有哪些步驟？（1）移項:把常數(shù)項移到方程的右邊（2）配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方（3）開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方（4）求解:解一元一次方程（5）定解:寫出原方程的解用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的步驟:小組討論1（1）把常數(shù)項移到方程右邊后，兩邊加上的常數(shù)和一次項系數(shù)有何關(guān)系？

（2）左邊的平方式中的符號與一次項系數(shù)的符號有什么關(guān)系？【針對練一】36642164

（2015隨州）用配方法解一元二次方程x2－6x－4=0，下列變形正確的是（

）A．(x－6)2=－4+36 B．(x－6)2=4+36 C．(x－3)2=－4+9 D．(x－3)2=4+9

D

解：探究點二配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程

(1)這兩個小題與活動一中的方程有什么不同？如何將此例方程轉(zhuǎn)化為活動一中方程的情形？配方法解一元二次方程應(yīng)注意些什么？小組討論2

在用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程時，通常是先讓方程的各項除以二次項系數(shù)，即把這類方程轉(zhuǎn)化為例1中的方程類型；解一元二次方程的基本思路

把原方程變?yōu)?x+n)2＝p的形式(其中n、p是常數(shù)）當p≥0時，兩邊同時開平方，這樣原方程就轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程二次方程一次方程當p<0時，原方程的解又如何？【針對練二】2-4-1解：總結(jié)梳理內(nèi)化目標用配方法解二次項系數(shù)不是1的一元二次方程的步驟:1.化1:把二次項系數(shù)化為1(方程兩邊都除以二次項系數(shù));2.移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;3.配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方;4.變形:方程左邊分解因式,右邊合并同類項;5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:寫出原方程的解.達標檢測反思目標DB正數(shù)解：第22章一元二次方程22.3實踐與探索問題1學校生物小組有一塊長32米，寬20米的矩形試驗田，為了管理方便，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各開辟一條等寬的小道．要使種植面積為540平方米，小道的寬應(yīng)是多少？

筑路解：設(shè)小道的寬為xm，根據(jù)題意得(32-x)(20-x)=540

解得

x1=2,x2=50，但x2不合題意，舍去答：小道的寬應(yīng)為2m.

學生會準備舉辦一次攝影展覽，在每張長和寬分別為18厘米和12厘米的長方形相片周圍鑲上一圈等寬的彩紙．經(jīng)試驗，彩紙面積為相片面積的三分之二時較美觀，求鑲上彩紙條的寬.(精確到0.1厘米)

練習解：設(shè)鑲上彩紙條的寬為xcm.由題意，得答：鑲上彩紙條的寬為2.1厘米.經(jīng)檢驗：x2不合題意舍去.

問題2某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由56元降為31.5元．已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．解：設(shè)每次降價的百分率為x.根據(jù)題意,得56(1-x)2＝31.5解這個方程，得

因為降價的百分率不可能大于1，所以1.75不符合題意，符合此題要求的是

x＝0.25＝25%．答：每次降價的百分率為25%．1．某工廠1月份的產(chǎn)值是50000元，3月份的產(chǎn)值達到60000元，這兩個月的產(chǎn)值平均月增長的百分率是多少？（精確到0.1%）

練習2．據(jù)某中學對畢業(yè)班同學三年來參加市級以上各項活動獲獎情況的統(tǒng)計，七年級階段有48人獲獎，之后逐年增加，到九年級畢業(yè)時共有183人獲獎．求這兩年中獲獎人次的平均年增長率．

練習3.小明把一張邊長為10cm的正方形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形（如圖1），再折疊成一個無蓋的長方體盒子（如圖2）.圖1圖2(1)如果要求長方體的底面積為81cm2,那么剪去的正方形的邊長為多少？（2）如果按下表列出的長方體底面積的數(shù)據(jù)要求，那么剪去的正方形邊長會發(fā)生怎樣的變化？折疊成的長方體的側(cè)面積又會發(fā)生怎樣的變化？折合成的長方體底面積81644936251694剪去的正方形邊長折疊成的長方體側(cè)面積(面積：cm2

邊長：cm)

在你觀察到的變化中，你感到折合而成的長方體的側(cè)面積會不會有最大的情況？先在上面的表格中記錄下你得到的數(shù)據(jù)，再以剪去的正方形的邊長為自變量，折合而成的長方體側(cè)面積為函數(shù)，并在直角坐標系中畫出相應(yīng)的點．看看與你的感覺是否一致．

分析：翻一番，即為原產(chǎn)值的2倍，若設(shè)原產(chǎn)值為1個單位，則兩年后的產(chǎn)值就是2個單位.

4.某工廠計劃在兩年后實現(xiàn)產(chǎn)值翻一番，那么這兩年中產(chǎn)值的平均年增長率應(yīng)為多少？

如果調(diào)整計劃，兩年后的產(chǎn)值為原產(chǎn)值的1.5倍、1.2倍，......那么兩年中的平均年增長率分別調(diào)整為多少？

又如果第二年的增長率為第一年的2倍，那么第一年的增長率為多少時，可以實現(xiàn)兩年后的翻一番？課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學習了用一元二次方程解決生活中的一些實際問題，列方程時我們要注意聯(lián)系生活實際，得到方程的解之后也應(yīng)該代入實際情況中去檢驗所得到的解是否符合題意.第23章圖形的相似23.1成比例線段四條線段a，b，c，d

中，如果a：b=c：d，那么這四條線段a，b，c，d

叫做成比例線段，簡稱比例線段.成比例線段已知四條線段a，b，c，d.如果acbd

或a：b=c：d，那么a，b，c，d

叫做組成比例的項，線段a，d

叫做比例外項，線段b，c

叫做比例內(nèi)項，線段d

叫做a，b，c的第四比例項.=如果作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段

，abbc

=或a：b=b：c，即那么線段b叫做線段a和c的比例中項.兩條線段的比是它們的長度的比，也就是兩個數(shù)的比.關(guān)于成比例的數(shù)具有下面的性質(zhì).比例式是等式，因而具有等式的各個性質(zhì)，此外還有一些特殊性質(zhì)：(1)比例的基本性質(zhì)如果a：b=c：d，那么ad=bc.比例的內(nèi)項乘積等于外項乘積.如果ad=bc，那么a：b=c：d

.如果a：b=b：c，那么b2=ac.說明：(1)一個等積式可以改寫成八個比例式(比值各不相同)；(2)對調(diào)比例式的內(nèi)項或外項，比例式仍然成立(比值變了).(2)合比性質(zhì)如果acbd

=

，那么a±bc±db

d

=.(3)等比性質(zhì)如果

那么acbd

=mn

=…=

(b+d+…+n≠0),a+c+…+mb+d+…+n

=.ab本課小結(jié)：主要內(nèi)容：成比例線段的意義，比例的3個主要性質(zhì)及其運用.能力要求：通過本課的學習，形成比例變形的能力，要做一定量的習題，達到熟練.情境引入你能不通過測量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是2:3？平行線分線段成比例將向下平移到如圖的位置，直線m,n與的交點分別為，，問題2中的結(jié)論還成立嗎？計算試一試。如果將平移到其他位置呢？abcABCDEF兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。34x7已知兩條直線被三條平行線所截，截得線段長度如圖，你能求出x的值嗎?解：由已知條件可得：如圖4-8，直線a∥b∥c

，分別交直線m,n于

A1，A2，A3，B1，B2，B3

。過點A1作直線n的平行線，分別交直線b，c于點C2，C3。如圖4-9，圖4-9中有哪些成比例線段？推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例。ABCDE∵DE∥AB例1、如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB和AC上的點，且EF∥BC.

（1）如果AE=7,FC=4，那么AF的長是多少？（2）如果AB=10,AE=6，AF=5，那么FC的長是多少？ABCEF通過本節(jié)課的學習你學會了什么？你是如何獲取這些知識的？１．通過歸納與猜想，探索“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例”的基本事實．２．通過作平行線構(gòu)造三角形，將平行線分線段成比例的基本事實特殊化，得到一個推論．３．掌握利用基本事實與推論求線段長度的方法．如何不通過測量，運用所學的知識，快速將一根繩子分成兩部分，使這兩部分之比是2:3?ABCEDF第23章圖形的相似23.2相似圖形我們在生活中，常會看到這樣的圖片.觀察下列各組圖片，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能得出什么結(jié)論？(1)(2)(3)(5)(4)(6)下列每組圖形形狀相同嗎？（1）正三角形ABC與正三角形（2）正方形ABCD與正方形

（3）正五邊形ABCDE與正五邊形想一想：（1）在每組圖形中，是否有對應(yīng)相等的內(nèi)角？設(shè)法驗證你的猜測．（2）在每組圖形中，夾相等內(nèi)角的兩邊是否成比例？圖中的兩個多邊形分別是計算機顯示屏上的多邊形ABCDEF和投射到銀幕上的多邊形A1B1C1D1E1F1，它們的形狀相同嗎?想一想：（1）在這兩個多邊形中，是否有對應(yīng)相等的內(nèi)角？設(shè)法驗證你的猜測．（2）在這兩個多邊形中，夾相等內(nèi)角的兩邊是否成比例？

強調(diào)說明：在上圖中，六邊形ABCDEF與六邊形A1B1C1D1E1F1是形狀相同的多邊形，其中∠A與∠A1，∠B與∠B1，∠C與∠C1，∠D與∠D1，∠E與∠E1，∠F與∠F1分別相等，稱為對應(yīng)角；AB與A1B1，BC與B1C1，CD與C1D1，DE與D1E1，EF與E1F1，F(xiàn)A與F1A1的比都相等，稱為對應(yīng)邊．歸納總結(jié)，形成概念相似多邊形的概念：各角分別相等、各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形（Similarpolygons）.例如，在上圖中六邊形ABCDEF與六邊形A1B1C1D1E1F1相似，記作六邊形ABCDEF∽六邊形A1B1C1D1E1F1，“∽”讀作“相似于”．相似比的概念：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比（Similarityratio）.強調(diào)說明：(1)記兩個多邊形相似時，要把對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上.(2)相似多邊形的定義既是最基本、最重要的判定方法，又是最本質(zhì)、最重要的性質(zhì).(3)相似比有順序性.例如，五邊形ABCDE∽五邊形A1B1C1D1E1，對應(yīng)邊的比為因此五邊形ABCDE與五邊形A1B1C1D1E1的相似比五邊形

A1B1C1D1E1與五邊形ABCDE的相似比

(4)相似比為1的兩個圖形是全等形.因此全等形是相似圖形的特殊情況.

(1)觀察下面兩組圖形，圖（1）中的兩個圖形相似嗎？圖（2）中的兩個圖形呢？為什么？你從中得到什么啟發(fā)？與同桌交流.(2)如果兩個多邊形不相似，那么它們的各角可能對應(yīng)相等嗎？它們的各邊可能對應(yīng)成比例嗎？提出問題：一塊長3m、寬1.5m的矩形黑板如圖，鑲在其外圍的木質(zhì)邊框?qū)?.5cm.邊框的內(nèi)外邊緣所成的矩形相似嗎？為什么？解:∵四邊形ABCD與矩形A1B1C1D1均為矩形，∴∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1.由題意，得AB=3.15m，BC=1.65m.∴，.∵≠ ，∴矩形ABCD和矩形A1B1C1D1不相似.

通過這節(jié)課的學習，你有哪些收獲？有何感想？學會了哪些方法？先想一想，再分享給大家．通過本節(jié)課的學習，同學們經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，認識到全等圖形是相似比為1的相似圖形，相似圖形是全等圖形的進一步的推廣，理解了相似多邊形的概念既是性質(zhì)又是判定，運用性質(zhì)時對應(yīng)頂點字母寫在對應(yīng)的位置上，同時知道相等角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角．體會了相似比是有順序要求的．1．一個多邊形的邊長分別是2，3，4，5，6，若另一個和它相似的多邊形的最短邊長為6，則這個多邊形的最長邊長為

．2．下列說法正確的是（）A.所有的矩形都相似B.所有的正方形都相似C.所有的菱形都相似D.所有的正多邊形都相似18B練習第23章圖形的相似23.3相似三角形相似三角形的相關(guān)概念三個角對應(yīng)相等,三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形,叫做相似三角形(similartrianglec)相似三角形的各對應(yīng)角相等,各對應(yīng)邊對應(yīng)成比例.相似比等于1的兩個三角形全等.注意：要把表示對應(yīng)角頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上.反之,寫在對應(yīng)位置上的字母就是對應(yīng)角的頂點！由于相似三角形與其位置無關(guān),因此弄清對應(yīng)是正確解答的前提和關(guān)鍵.判定三角形相似的方法判定兩個三角形相似的方法:兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.類比三角形全等的判定方法:邊角邊(SAS);角邊角(ASA);角角邊(AAS);邊邊邊(SSS);斜邊直角邊(HL).你還能得出判定三角形相似的其他方法嗎?相似與全等類比—新化舊由角邊角(ASA)、角角邊(AAS)可知,有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似;由邊邊邊(SSS)可知，有三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似;由邊角邊(SAS)可猜想:兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等的兩個三角形相似;由斜邊直角邊(HL)可猜想:斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似.我們已經(jīng)把前兩個猜想變?yōu)楝F(xiàn)實,剩余的還有問題嗎？問題三:如果△ABC與△A′B′C′有一個角相等,且兩邊對應(yīng)成比例,那么它們一定相似嗎?(1)如果這個角是這兩邊的夾角,那么它們一定相似嗎?我們一起來動手:畫△ABC與△A′B′C′使∠A=∠A′,設(shè)法比較∠B與∠B′的大小,∠C與∠C′的大小.△ABC與△A′B′C′相似嗎?說說你的理由.改變k值的大小(如1∶3),再試一試.通過上面的活動,你猜出了什么結(jié)論?判定三角形相似的方法兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似.如圖,在△ABC與△A′B′C′中,如果那么△ABC∽△A′B′C′(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似.)CBAA′B′C′這又是一個用來判定兩個三角形相似的方法,但使用頻率不是很高,務(wù)必引起重視.且∠A=∠A′,圖中的△ABC∽△A′B′C′,你還能用其他方法來說明其正確性嗎?且∠A=∠A′=45°,∴△ABC∽△A′B′C′(兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似.)CBAA′B′C′解法2:如圖,設(shè)小正方形的邊長為1,由勾股定理可得:問題四:在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=900,如果有一直角邊和斜邊對應(yīng)成比例,那么它們一定相似嗎?我們一起來動手:畫△ABC與△A′B′C′,使設(shè)法比較∠B與∠B′的大小,∠A與∠A′的大小.Rt△ABC與Rt△A′B′C′相似嗎?說說你的理由.改變k值的大小(如1∶3),再試一試.通過上面的活動,你猜出了什么結(jié)論?斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似.如圖,在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中,如果那么△ABC∽△A′B′C′

(斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似.)CBAA′B′C′這是一個用來判定兩個直角三角形相似的方法,務(wù)必引起重視.我們重新來看問題三:如果△ABC與△DEF有一個角相等,且兩邊對應(yīng)成比例,那么它們一定相似嗎?(2)如果這個角是這兩邊中一條邊的對角,那么它們一定相似嗎?小明和小穎分別畫出了下面的△ABC與△DEF:ABC5003.2cm4cm2cmDFE5001.6cm通過上面的活動,你猜出了什么結(jié)論?兩邊對應(yīng)成比例,且其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定相似。判定三角形相似的常用方法:兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等的兩個三角形相似.斜邊直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似.相似三角形的各對應(yīng)角相等,各對應(yīng)邊對應(yīng)成比例.相似三角形對應(yīng)高的比,對應(yīng)角平分線的比,對應(yīng)中線的比,對應(yīng)周長的比都等于相似比.如圖:在△ABC和△DEF中，如果∠A=∠D,∠B=∠E,那么△ABC∽△DEF.ABCDEF那么△ABC∽△DEF.且∠A=∠D，那么△ABC∽△DEF.兩角分別相等的兩個三角形相似。兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似定義判定相似三角形的判定定理的證明定理兩角分別相等的兩個三角形相似ABCA/B/C/已知：如圖，在△ABC和△A/B/C/中，∠A=∠A/,∠B=∠B/.求證：△ABC∽△A/B/C/.證明：在△ABC的邊AB（或它的延長線）上截取AD=A/B/,過點D作BC的平行線，交AC于點E（如圖），則∠ADE=∠B,∠AED=∠C（平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例）過點D作AC的平行線，交BC于點F,則（平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例）∵DE∥BC,DF∥AC∴四邊形DFCE是平行四邊形∴DE=CF而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C∴△ADE∽△ABC∵∠A=∠A/,∠ADE=∠B=∠B/,AD=A/B/∴△ADE≌△A/B/C/∴△ABC∽△A/B/C/定理兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似已知：如圖，在△ABC和△A/B/C/中，∠A=∠A/,求證：△ABC∽△A/B/C/.證明：在△ABC的邊AB（或它的延長線）上截取AD=A/B/,過點D作BC的平行線，交AC于點E（如圖），則∠B=∠ADE,∠C=∠AED∴△ABC∽△ADE（兩角分別相等的兩個三角形相似）∴AE=A/C/而∠A=∠A/∴△ADE≌△A/B/C/∴△ABC∽△A/B/C/定理三邊成比例的兩個三角形相似已知：如圖，在△ABC和△A/B/C/中，求證：△ABC∽△A/B/C/.證明：在△ABC的邊AB,AC（或它們的延長線）上分別截取AD=A/B/,AE=A/C/,連接DE.而∠BAC=∠DAE∴△ABC∽△ADE（兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似）∴DE=B/C/∴△ADE≌△A/B/C/∴△ABC∽△A/B/C/BCAEDF如圖，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，且交AD于點F，你能從中找出幾對相似三角形？BCAEDF如圖，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，且交AD于點F，你能從中找出幾對相似三角形？BCAEDF如圖，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，且交AD于點F，你能從中找出幾對相似三角形？BCAEDF如圖，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，且交AD于點F，你能從中找出幾對相似三角形？相似三角形的性質(zhì)問：相似三角形的識別方法有哪些？證兩組對應(yīng)角相等證三組對應(yīng)邊成比例證兩組對應(yīng)邊成比例，且夾角相等相似三角形的特征問：你知道相似三角形的特征是什么嗎？角：對應(yīng)角相等邊：對應(yīng)邊成比例問：什么是相似比？相似比=對應(yīng)邊的比值=

如右圖，△ABC∽△A′B′C′ABCA’B’C’DD’已知：ΔABC∽ΔA’B’C,’相似比為k,它們對應(yīng)高的比是多少？對應(yīng)角平分線的比是多少？對應(yīng)中線的比呢？請證明你的結(jié)論。相似三角形對應(yīng)邊上的高有什么關(guān)系呢？

相似三角形對應(yīng)邊上的高之比等于相似比A′B′C′D′則:(1)利用方格把三角形擴大2倍，得△A′B′C′，并作出B′C′邊上的高A′D′?！鰽BC與△A′B′C′的相似比為多少？AD與A′D′有什么關(guān)系？右圖△ABC，AD為BC邊上的高。DABC相似三角形對應(yīng)角的平分線有什么關(guān)系呢？相似三角形對應(yīng)角的平分線之比等于相似比如右圖△ABC，AF為∠A的平分線。則:(1)把三角形擴大2倍后得△A′B′C′，A′F′為∠A′的平分線，△ABC與△A′B′C′的相似比為多少？AF與A′F′比是多少？ABCFA′B′C′F′相似三角形對應(yīng)邊上的中線比等于相似比相似三角形對應(yīng)邊上的中線有什么關(guān)系呢？如右圖△ABC，AE為BC邊上的中線。則:(1)把三角形擴大2倍后得△A′B′C′，A′E′為B′C′邊上的中線。△ABC與△A′B′C′的相似比為多少？AE與A′E′比是多少？ABCEA′B′C′E′填空：

（1）若兩個三角形的對應(yīng)邊的比為3:4，則這兩個三角形的對應(yīng)角平分線的比為_____

，對應(yīng)邊上的高的比為____，對應(yīng)邊上的中線的比為____(2)若相似三角形對應(yīng)角平分線的比為0.2：1,則相似比為_________,對應(yīng)中線的比等于______;相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.你會應(yīng)用嗎？△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它們對應(yīng)的中線，已知，B′D′=4cm，求BD的長.解：∵

△ABC∽△A′B′C′，

BD和B′D′是它們對應(yīng)的中線

∴（相似三角形對應(yīng)中線的比都等于相似比）∴BD=6cm∴相似三角形的周長比等于相似比。相似三角形的面積比等于相似比的平方。想一想：你發(fā)現(xiàn)上面兩個相似三角形的周長比與相似比有什么關(guān)系？面積比與相似比又有什么關(guān)系？周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方√102√21√5√2ABCA’C’B’小結(jié)

相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例對應(yīng)高之比、對應(yīng)中線之比、對應(yīng)角平分線之比都等于相似比周長之比等于相似比面積之比等于相似比的平方（你學到了什么呢？）相似三角形的應(yīng)用情境導入給我一個支點我可以撬動整個地球?！⒒椎?.數(shù)學建模如圖，鐵道口的欄桿短臂長1m，長臂長16m，當短臂端點下降0.5m時，長臂端點升高多少米？

【思考】利用三角形的相似，如何解決一些不能直接測量的物體長度的問題？

【概括】解決此類問題時，可先構(gòu)建相似三角形的模型，再利用對應(yīng)邊成比例建立等式，已知三個量去求第四個量，主要構(gòu)建的兩個基本圖形是“X”型和“A”型。例2為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選定點B和C，使AB⊥BC，然后選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D．此時如果測得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的寬度AB．（精確到0.1米）解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABD=∠ECD=90°，

∴△ABD∽△ECD（兩角分別相等的兩個三角形相似）

解得AB≈96.7（米）。

答：河的寬度AB約為96.7米。利用相似三角形證明幾條線段之間的乘積關(guān)系例3如圖，已知D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，且∠ADE=∠C.求證：AD?AB=AE?AC歸納小結(jié)1.本節(jié)課重點是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即先構(gòu)建出相似三角形的模型，再利用相似三角形的性質(zhì)來解決實際問題。2.讓學生在解決實際問題的過程中學會建立數(shù)學模型，通過建模培養(yǎng)學生的歸納能力。第23章圖形的相似23.4中位線學習目標知識與技能:理解三角形中位線的定義與性質(zhì),會應(yīng)用三角形中位線解決實際問題.過程與方法:經(jīng)歷探究三角形中位線的定義、性質(zhì)的過程，感受三角形中位線定理的運用思想。問題:A，B兩點被池塘隔開,如何測量A，B兩點之間的距離呢?實驗：請同學們思考：將任意一個三角形分成四個全等的三角形，你是如何切割的？圖中有幾個平行四邊形？你是如何判斷的？（答案如圖）

怎樣將一張三角形硬紙片剪成兩部分,使分成的兩部分能拼成一個平行四邊形?請動手試一試!ABCEF..D.中位線什么是三角形的中線？（連接頂點與對邊中點的線段）如果連接兩邊中點的線段呢？中線ABCDEDE是三角形ABC的中位線

什么叫三角形的中位線呢？三角形的中位線

連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。ABCDEF

理解三角形的中位線定義的兩層含義:

②如果DE為△ABC的中位線，那么D，E分別為AB，AC的

。①如果D，E分別為AB，AC的中點，那么DE為△ABC的

；CBAED中位線中點

在△ABC中，中位線DE和邊BC有什么關(guān)系?DE和邊BC的關(guān)系數(shù)量關(guān)系：位置關(guān)系：DE∥BCABCDE平行DE是BC的一半結(jié)論：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.DABCE

如圖：在△ABC中，D是AB的中點，E是AC的中點。則有：

DE∥BC,DE=BC.能說出理由嗎?

如圖：在△ABC中，D是AB的中點，E是AC的中點。則有：DE∥BC,DE=BC.21DABCEF用不同的方法證明

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半用幾何語言表示DABCE∵DE是△ABC的中位線∴DE∥BC，DE=BC.21例1 求證三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分．已知：如圖24.4.3，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求證：AE與DF互相平分．證明：連接DE，EF．∵AD＝DB，BE＝EC，∴DE∥AC（三角形的中位線平行于第三邊）同理EF∥AB．∴四邊形ADEF是平行四邊形．∴AE與DF互相平分（平行四邊形的對角線互相平分）．如果在上圖中，?。粒玫闹悬cＦ，假設(shè)ＢＦ與ＡＤ交于Ｇ`，如下圖，那么我們同理有，所以有，即兩圖中的點G與G`是重合的。于是我們有以下結(jié)論：三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三形的重心，重心與一邊中點的連線的長是對應(yīng)中線長的.數(shù)學上的重心與物理上的重心是一致的

求證：順次連接四邊形四條邊的中點所得的四邊形是平行四邊形。

已知：在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點.

求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

證明：連接AC.∵AH=HD，CG=GD，∴HG∥AC,HG=AC.

同理EF∥AC，EF=AC.∴HG∥EF，HG=EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形.在AB外選一點C，使C能直接到達A和B，連接AC和BC，并分別找出AC和BC的中點M，N.測出MN的長，就可知A，B兩點之間的距離。若MN=36m，則AB=2MN=72（m)。如果，MN兩點之間還有阻隔，你有什么解決辦法？④順次連接對角線相等且互相垂直的四邊形的四邊中點所得的四邊形是—————②順次連接對角線相等的四邊形的四邊中點所得的四邊形是————③順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形的四邊中點所得的四邊形是————①順次連接四邊形的四邊中點所得的四邊形是————

下填一填已知：如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．第23章圖形的相似23.5位似圖形23.5位似圖形觀察下列圖形的特點ABCDP特征:(1)是相似圖形(2)每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一個點如果兩個多邊形是每組對應(yīng)頂點的連線都經(jīng)過同一個點，那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，這個點叫做位似中心。

實際上，K就是這兩個相似多邊形的相似比。基本概念:下列圖形中，每個圖中的四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′都是相似圖形.分別觀察這五個圖，你發(fā)現(xiàn)每個圖中的兩個四邊形各對應(yīng)點的連線有什么特征？圖中每組中的兩個多邊形也是位似多邊形。運用位似圖形概念作圖例：如圖，已知△ABC，以點O為位似中心畫△DEF，使它與△ABC相似，且相似比為1:2.解：1、畫射線OA,OB,OC；2、在射線OA，OB,OC上取點D,E,F，使OA=2OD,OB=2OE,OC=2OF；3.順次連接D，E，F(xiàn)，則△DEF與△ABC位似，相似比為1：2.用橡皮筋放大圖形的方法放大圖形,使用這種方法,放大前后的兩個圖形是位似圖形,你能用這種方法將一個已知的正方形放大,使放大后的圖形與原圖形的位似比是1:2嗎?判斷下列各對圖形哪些是位似圖形，哪些不是？

（1）五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′；

（2）在平行四邊形ABCD中，△ABO與△CDO

（3）正方形ABCD與正方形A′B′C′D′.

（4）等邊三角形ABC與等邊三角形A′B′C′做一做

如圖，請以坐標原點O為位似中心，作位似圖形，并把它的邊長放大3倍.

分析：根據(jù)位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比，我們只要連接位似中心O和各頂點，并把線段延長（或反向延長）到原來的3倍，就得到所求作圖形的各個頂點練一練

1．如圖，已知△ABC和點O.以O(shè)為位似中心，求作△ABC的位似圖形，并把△ABC的邊長縮小到原來的一半.今天你學會了什么？位似圖形的定義，位似圖形的性質(zhì).小結(jié)第23章圖形的相似23.6圖形與坐標夏令營舉行野外拉練活動，老師交給大家一張地圖，如圖，地圖上畫了一個直角坐標系，作為定向標記，給出了四座農(nóng)舍的坐標分別是（1，1），（－3，5），（4，5），（0，2）．

目的地位于連接第一座與第三座農(nóng)舍的直線和連接第二座與第四座農(nóng)舍的直線的交點．利用平面直角坐標系，同學們很快就到達了目的地．請你在圖中畫出目的地的位置．四座農(nóng)舍的坐標是

（1，1）（-3，5）（4，5）（0，2）

農(nóng)舍1農(nóng)舍4農(nóng)舍2農(nóng)舍3·····A點A為目的地的位置．描述圖形上點的坐標，可以建立不同的坐標系嗎？自學課本的內(nèi)容，想一想：1、課本所給的不同方法各有什么優(yōu)點？2、你還有其他方法嗎？與同學一起交流，談一談各自的想法．下圖是某鄉(xiāng)鎮(zhèn)的示意圖．試建立直角坐標系，用坐標表示各地的位置：試建立直角坐標系，用坐標表示各地的位置：有了平面直角坐標系，我們可以毫不費力地在平面上確定一個點的位置．現(xiàn)實生活中我們能看到許多這種方法的應(yīng)用：

1、如用經(jīng)度和緯度來表示一個地點在地球上的位置。

2、電影院的座位用幾排幾座來表示。

3、國際象棋中豎條用字母表示，橫條用數(shù)字表示等．

下圖是國際象棋的棋盤，E2在什么位置?又如何描述A，B，C的位置?E2在什么位置?又如何描述A，B，C的位置?

我們還可以用其他方式來表示物體的位置．

例如，小明去某地考察環(huán)境污染問題，并且他事先知道下面的信息：“悠悠日用化工品廠”在他現(xiàn)在所在地的北偏東30度的方向，距離此處3千米的地方；“明天調(diào)味品廠”在他現(xiàn)在所在地的北偏西45度的方向，距離此處2.4千米的地方；“321號水庫”在他現(xiàn)在所在地的南偏東27度的方向，距離此處1.1千米的地方．

看來，用一個角度和距離也可以表示一個點的位置．這種方式在軍事和地理中較為常用．

根據(jù)這些信息可以畫出表示各處位置的一張簡圖：東南西北

悠悠日用化工品廠··明天調(diào)味品廠·321號水庫下圖是小明所在學校的平面示意圖，小明可以如何描述他所住的宿舍的位置呢？1、小燕在某市公園的門口看到這個公園的平面示意圖（如下圖），試借助刻度尺、量角器解決如下問題：求出a的值.已知點M與點N①點M關(guān)于x軸對稱；向右平移3個單位長度后落在y軸上；點M②在第三象限的角平分線上；③請根據(jù)下列條件分別若點M是第三象限的整點。④談一談這節(jié)課你有何收獲？1、根據(jù)圖形特點、實際需要建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?、建立坐標系常用的方法有：（1）以圖形上的某已知點或線段的中點為原點；（2）以圖形上某線段所在的直線為x

軸（或y軸）