高等數(shù)學(xué)課件：D9-8極值與最值

第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值二、最值應(yīng)用問題三、條件極值多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值定義:

若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內(nèi)有說明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點稱為駐點

.例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點不一定是極值點.有駐點(0,0),但在該點不取極值.且在該點取得極值,則有存在故時,具有極值定理2(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數(shù)P(x0,y0,z0)函數(shù)f在點處取得極大(小)值，等價于對不同的，函數(shù)在v=0處取得極大（?。┲?。P(x0,y0,z0)因為所以當(dāng)，且時,1)對不同的的符號不變，故函數(shù)取得極值。時,

2)存在使得故函數(shù)沒極值。3)時,不能確定,需另行討論.例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為二、最值應(yīng)用問題

最值可疑點駐點邊界上的最值點特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)例3.解:設(shè)水箱長,寬分別為x,y,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當(dāng)長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解:

設(shè)折起來的邊長為xcm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有一個駐點,故此點即為所求.三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設(shè)記例如,故故有引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點必滿足則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點.例如,

求函數(shù)下的極值.在條件例5.要設(shè)計一個容量為則問題為求x,y,令解方程組解:

設(shè)x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？的長方體開口水箱,試問得唯一駐點由題意可知合理的設(shè)計是存在的,長、寬為高的2倍時，所用材料最省.因此,當(dāng)高為思考:1)當(dāng)水箱封閉時,長、寬、高的尺寸如何?提示:

利用對稱性可知,2)當(dāng)開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時,欲使造價最省,應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)?長、寬、高尺寸如何?提示:長、寬、高尺寸相等.內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步利用充分條件判別駐點是否為極值點.2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問題在條件求駐點.

作業(yè)習(xí)題9-8

3,6已知平面上兩定點A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點C,使△ABC

面積S△最大.解答提示:設(shè)C

點坐標(biāo)為(x,y),思考與練習(xí)則設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應(yīng)面積而比較可知,點C與

E重合時,三角形面積最大.點擊圖中任意點動畫開始或暫停備用題

1.求半徑為R

的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者解:設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為x,y,z,則