教學(xué)課件《斷裂力學(xué)》

斷裂力學(xué)航天科學(xué)與力學(xué)系

緒論

1.斷裂力學(xué)的產(chǎn)生1.1二戰(zhàn)前的斷裂力學(xué)相關(guān)歷史信息按照以前制訂的許用應(yīng)力值設(shè)計的工程結(jié)構(gòu)，出現(xiàn)了不少事故。1912年4月14日，英國當(dāng)時最大、最豪華的46000t的英制郵輪“泰坦尼克”號，在首航中失事了，使1513人喪生。泰坦尼克號的失事就是由于輪船碰在冰山上，再加上材料的冷脆性而發(fā)生的，這一點在它失事后的30多年才搞清楚。類似的事故在壓力容器、輸油管、渦輪機(jī)等方面也都有慘痛的教訓(xùn)。從20世紀(jì)20年代開始，人們注意到金屬與其他材料，特別是對于例如玻璃一類脆性材料的理論強(qiáng)度與實際強(qiáng)度之間有很大差別.1921年，英國學(xué)者格里菲思(A．A．Griffith，1893-1963)首先分析了這個問題，他從分析帶有橢圓孔的無限人平板的應(yīng)力場著手，當(dāng)橢圓的短軸趨于零時，橢圓孔便趨于一條裂紋，這時裂紋尖端的應(yīng)力趨于無窮增大。Griffith計算出由于孔的存在，厚度為1的平板應(yīng)變能將減少量。他認(rèn)為裂紋開裂時表面張力增加的能量應(yīng)當(dāng)與裂紋存在彈性體減少的能量相抵，進(jìn)而得出裂紋長度與載荷的定量關(guān)系。Griffith還進(jìn)行了玻璃管的實驗，事先在玻璃管上用金剛鉆刻裂紋．實驗結(jié)果與理論吻合很好。1.2二戰(zhàn)以來的若干斷裂事故1943-1947年,美國近500艘全焊船1000多起脆性破壞，238艘報廢?？偸窃诤附尤毕莸葢?yīng)力集中區(qū)域，-3~4°C水1947年，蘇聯(lián)4500m3石油儲罐，-43°C，底部和下部殼連接處，大量裂紋。（低溫、脆性、焊點應(yīng)力集中、內(nèi)外溫差）五十年代，美國北極星導(dǎo)彈固體燃料發(fā)動機(jī)殼體試驗，發(fā)生爆炸。高強(qiáng)度合金，傳統(tǒng)強(qiáng)度和韌性指標(biāo)合格，爆炸時工作壓力遠(yuǎn)低于許用應(yīng)力。（裂紋）1963年，美國F-111飛機(jī)訓(xùn)練中，左翼脫落，飛機(jī)墜毀，而當(dāng)時飛行速度、負(fù)荷遠(yuǎn)低于設(shè)計指標(biāo)。（熱處理不當(dāng)、機(jī)翼樞軸出現(xiàn)缺陷，疲勞載荷，裂紋）單擊添加大標(biāo)題從20世紀(jì)20年代開始，人們注意到金屬與其他材料，特別是對于例如玻璃一類脆性材料的理論強(qiáng)度與實際強(qiáng)度之間有很大差別.1921年，英國學(xué)者格里菲思(A．A．Griffith，1893-1963)首先分析了這個問題，他從分析帶有橢圓孔的無限人平板的應(yīng)力場著手，當(dāng)橢圓的短軸趨于零時，橢圓孔便趨于一條裂紋，這時裂紋尖端的應(yīng)力趨于無窮增大。Griffith計算出由于孔的存在，厚度為1的平板應(yīng)變能將減少量。他認(rèn)為裂紋開裂時表面張力增加的能量應(yīng)當(dāng)與裂紋存在彈性體減少的能量相抵，進(jìn)而得出裂紋長度與載荷的定量關(guān)系。Griffith還進(jìn)行了玻璃管的實驗，事先在玻璃管上用金剛鉆刻裂紋．實驗結(jié)果與理論吻合很好。A380裂紋事故為了修理空客A380的機(jī)翼裂紋，空客公司不得不支付1億歐元的巨額賬單

圖片來源：《法蘭西晚報》空客項目副總裁湯姆?威廉斯在一份聲明中說，A380型客機(jī)機(jī)翼內(nèi)部大約4000個支架的鋁合金選材不當(dāng)以及設(shè)計缺陷致使支架所承壓力過大，顯現(xiàn)裂紋?？罩锌蛙嚬?5日證實，設(shè)計和制造缺陷導(dǎo)致一些處于運營狀態(tài)的A380型客機(jī)機(jī)翼部件出現(xiàn)裂紋。一些空客員工說，多數(shù)接受檢查的A380機(jī)翼部件可能出現(xiàn)一種類型的裂紋。

二戰(zhàn)前后一系列嚴(yán)重災(zāi)難，這些事故中毀壞的結(jié)構(gòu)是經(jīng)過傳統(tǒng)強(qiáng)度理論嚴(yán)格設(shè)計的，為什么不斷出現(xiàn)斷裂呢？（屈服），為屈服應(yīng)力，塑性材料（破壞），為強(qiáng)度極限，脆性材料

循環(huán)加載

這些結(jié)構(gòu)大多由高與超高強(qiáng)度材料制造，高強(qiáng)度剛屈服應(yīng)力，而普通鋼僅200MPa，且材料韌性也很好(材料可按延伸律分為脆性和韌性兩大類，5％為界限)1.2事故原因分析及斷裂力學(xué)研究目的上述典型事故中，脆性斷裂總是由宏觀裂紋引起的；這些裂紋要么由冶金夾雜物及加工和裝配引起，要么由疲勞載荷及工作環(huán)境引起；對于大多數(shù)結(jié)構(gòu)和零件來說，宏觀裂紋的存在是不可避免的；含裂紋材料的強(qiáng)度，取決于材料對裂紋擴(kuò)展的抗力，這種抗力由材料的內(nèi)部屬性決定。斷裂力學(xué)的目的：就是應(yīng)用彈塑性理論和新的實驗技術(shù)，研究裂紋尖端附近的應(yīng)力、應(yīng)變場和裂紋的擴(kuò)展規(guī)律。2.斷裂力學(xué)的研究對象2.1宏觀裂紋產(chǎn)生和發(fā)展的幾個研究階段：斷裂力學(xué)的理論基礎(chǔ)：彈性力學(xué)塑性力學(xué)粘彈性力學(xué)…斷裂力學(xué)是材料力學(xué)的發(fā)展和補(bǔ)充，但兩者的設(shè)計思想不同2.2斷裂力學(xué)和材料力學(xué)的差別

注意：由于斷裂力學(xué)考慮了裂紋，根據(jù)裂紋失穩(wěn)準(zhǔn)則得到的斷裂應(yīng)力與傳統(tǒng)強(qiáng)度條件得出的結(jié)果不一定相同。

1）靜載荷情況2）循環(huán)載荷情況傳統(tǒng)的疲勞設(shè)計，是用光滑試件作S－N曲線，求出下界限應(yīng)力疲勞極限。如果最大工作應(yīng)力滿足下式為循環(huán)載荷下的安全系數(shù)，并認(rèn)為凡是有缺陷的構(gòu)件都不能應(yīng)用。

斷裂力學(xué)認(rèn)為：含裂紋構(gòu)件，只有裂紋未達(dá)到臨界長度仍可使用；在循環(huán)載荷作用下，裂紋先緩慢擴(kuò)展，直至達(dá)到臨界長度，構(gòu)件才失穩(wěn)破壞。選用指標(biāo)：載荷每循環(huán)一周裂紋的擴(kuò)展量，代表材料抵抗裂紋擴(kuò)展的能力。

斷裂力學(xué)區(qū)分兩種壽命，材料的斷裂壽命為－裂紋發(fā)生壽命，－剩余壽命。若初始裂紋深度為，臨界裂紋深度為，裂紋擴(kuò)展速率剩余壽命：實驗得到：為循環(huán)載荷的最大與最小應(yīng)力強(qiáng)度因子的差，或應(yīng)力強(qiáng)度因子幅度

2）循環(huán)載荷情況3）腐蝕介質(zhì)下的情況總之：斷裂力學(xué)拋棄了物體的連續(xù)性假設(shè),而從物體中含有裂紋這一前提出發(fā),以彈性力學(xué)和塑性力學(xué)為理論工具,確定含裂紋體的應(yīng)力場、位移場分布,據(jù)此找出決定位移擴(kuò)展的物理量,同時,通過試驗測定出材料抵抗裂紋擴(kuò)展的純力,并建立二者之間的關(guān)系,即建立斷裂準(zhǔn)則2.3斷裂力學(xué)的研究對象3.斷裂的分類針對晶體材料分析:結(jié)晶體:由原子(或離子、分子)規(guī)則排列形成.

解理斷裂:金屬在一定條件下,當(dāng)應(yīng)力達(dá)到一定數(shù)值時,便以極快的速度沿一定的結(jié)晶學(xué)平面發(fā)生斷裂.斷裂面平滑而光亮.

解理斷裂是脆性斷裂.解理斷裂通常是由于解理面的正應(yīng)力的作用破壞了晶體原子間的合力而引起的.3.1斷裂的晶體學(xué)分類

——晶體學(xué)解理斷裂與滑移斷裂

滑移斷裂:受剪應(yīng)力作用破壞了晶體原子間的結(jié)合力而引起的斷裂.

特點:斷口黑暗,鵝毛裝或纖維狀,斷裂面與拉伸軸成一定角度,斷裂發(fā)生前,發(fā)生了明顯的塑性變形.3.2斷裂的工程學(xué)分類——脆性斷裂與韌性斷裂韌性材料:

脆性斷裂:平齊而光亮,且與正應(yīng)力垂直.斷口上呈現(xiàn)人字紋 或放射花樣,基本上沒有塑性變形.

韌性斷裂:斷裂前發(fā)生明顯的宏觀塑性變形,灰暗色,纖維狀.缺口試件在沖擊載荷下破斷試驗得到的缺口韌性值來衡量.脆性材料:脆性斷裂韌性斷裂判斷斷裂韌性的指標(biāo)裂紋擴(kuò)展前裂紋尖端無塑性區(qū),或塑性區(qū)尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于裂紋長度.K準(zhǔn)則和G準(zhǔn)則.發(fā)展成熟,理論簡單,基礎(chǔ)較牢固.4.斷裂力學(xué)的研究內(nèi)容4.1.線彈性斷裂力學(xué)4.3.斷裂動力學(xué)裂紋快速傳播過程中,必須考慮材料的慣性效應(yīng).4.2.彈塑性斷裂力學(xué)斷裂前斷裂尖端處的塑性區(qū)足夠大.COD(裂紋尖端張開位移)理論,J積分理論在工程上已應(yīng)用,但完善程度不夠.22第一章線彈性斷裂力學(xué)

23線彈性斷裂力學(xué)認(rèn)為，材料和構(gòu)件在斷裂以前基本上處于彈性范圍內(nèi)，可以把物體視為帶有裂紋的彈性體。研究裂紋擴(kuò)展有兩種觀點：1).能量平衡的觀點:認(rèn)為裂紋擴(kuò)展的動力是構(gòu)件在裂紋擴(kuò)展中所釋放出的彈性應(yīng)變能，它補(bǔ)償了產(chǎn)生新裂紋表面所消耗的能量，如Griffith理論；2).應(yīng)力場強(qiáng)度的觀點:認(rèn)為裂紋擴(kuò)展的臨界狀態(tài)是裂紋尖端的應(yīng)力場強(qiáng)度達(dá)到材料的臨界值，如Irwin理論。

§1.1能量平衡理論24

取一厚度為B的無限大玻璃板，將板拉長后固定兩端。板受均勻拉伸應(yīng)力作用，則板內(nèi)儲存的應(yīng)變能為1913年，Inglis,無限大板中含有一個穿透板厚的橢圓孔的問題1920年，Griffith研究玻璃與陶瓷材料脆性斷裂問題，利用Inglis解得到Griffith裂紋。1.能量釋放率與G準(zhǔn)則中心割開一個裂紋，那么由于裂紋表面應(yīng)力消失，放出部分應(yīng)變能。

§1.1能量平衡理論25對于平面應(yīng)力狀態(tài)釋放出的部分彈性應(yīng)變能為

（根據(jù)橢圓孔的解答算出）（由于有Inglis的解，上述計算是初等的，但Griffith接著提出了一個大膽的創(chuàng)新思想，即裂紋的出現(xiàn)使固體材料出現(xiàn)了一個新表面，此表面和液體表面一樣具有表面能，系統(tǒng)所釋放的能量U的一部分將轉(zhuǎn)化為表面能。）裂紋擴(kuò)展形成新的表面，需要吸收的能量為γ——形成單位面積表面所需要的表面能4aB——上下表面的面積和。1能量釋放率與G準(zhǔn)則26臨界狀態(tài)：應(yīng)變能釋放率=形成新表面所需要吸收的能量率稍有干擾，裂紋就自行擴(kuò)展，成為不穩(wěn)定。1能量釋放率與G準(zhǔn)則27應(yīng)變能釋放率能量吸收率I代表I型裂紋，那么裂紋的臨界條件為臨界狀態(tài)裂紋穩(wěn)定裂紋不穩(wěn)定

1能量釋放率與G準(zhǔn)則28對于平面應(yīng)力問題，臨界條件或臨界應(yīng)力：表示無限大平板在平面應(yīng)力狀態(tài)下，長為2a裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展時，拉應(yīng)力的臨界值——剩余強(qiáng)度。1能量釋放率與G準(zhǔn)則29臨界裂紋長度

對于平面應(yīng)變有Griffith判據(jù)如下：超過臨界應(yīng)力(2)當(dāng)裂紋尺寸超過臨界裂紋尺寸脆性物體斷裂1能量釋放率與G準(zhǔn)則(1)當(dāng)外加應(yīng)力30Orowan與Irwin對Griffith理論的解釋與發(fā)展

Orowan在1948年指出:金屬材料在裂紋的擴(kuò)展過程中，其尖端附近局部區(qū)域發(fā)生塑性變形。因此，裂紋擴(kuò)展時，金屬材料釋放的應(yīng)變能，不僅用于形成裂紋表面所吸收的表面能，同時用于克服裂紋擴(kuò)展所需要吸收的塑性變形能（也稱為塑性功）。金屬材料的裂紋擴(kuò)展單位面積所需要的塑性功為P剩余強(qiáng)度和臨界裂紋長度抵抗裂紋擴(kuò)展能力=表面能+塑性變形能1能量釋放率與G準(zhǔn)則31例如：設(shè)裂紋擴(kuò)展單位面積所需要的塑性變形能為P,則對金屬p比大幾個數(shù)量級，可以忽略不計相應(yīng)的剩余強(qiáng)度和臨界裂紋長度分別為對于含中心裂紋的無限大金屬板的臨界條件為1能量釋放率與G準(zhǔn)則32Irwin在1948年引入記號外力功釋放出的應(yīng)變能能量釋放率能量釋放率也稱為裂紋擴(kuò)展能力

準(zhǔn)則臨界值Irwin的理論適用于金屬材料的準(zhǔn)脆性破壞—破壞前裂紋尖端附近有相當(dāng)范圍的塑性變形.1能量釋放率與G準(zhǔn)則33前面僅是以固定邊情況為例。對于一般約束情況，具有更廣泛的物理意義。

取一厚度為B的板，中心有穿透裂紋長度為2a，載荷P，面積A=2aB。在裂紋長度不變的情況下，P與作用點位移Δ成正比將板拉長后固定兩端。下圖中直線的斜率為剛度系數(shù)，其倒數(shù)λ為柔度系數(shù)（柔度），等于單位載荷下的位移。當(dāng)裂紋面積增加時，彈性裂紋體剛度下降，柔度增加，即彈性曲線斜率減小。下面需要分析三種不同邊界條件的情況2G1的柔度公式341）固定位移情況在圖中體系應(yīng)變能減少，釋放出的應(yīng)變能作為裂紋擴(kuò)展所需的功。應(yīng)變能增加量=2G1的柔度公式35在圖中，體系應(yīng)變能增加，載荷作的功一半用于增加系統(tǒng)應(yīng)變能，一半作為剩余功用于裂紋擴(kuò)展。將上述兩種情況的統(tǒng)一寫成應(yīng)變能增加量=矩形(外力功)-2G1的柔度公式（固定邊取負(fù)固定力取正）用于裂紋擴(kuò)展的能量=2）固定載荷情況

36裂紋擴(kuò)展時，載荷對位移曲線從a變化到f，其斜率為3)彈性約束情況對于一般彈性條件，可看成彈性約束，簡化為裂紋體與彈簧串聯(lián)的力學(xué)模型。彈簧柔度系數(shù)2G1的柔度公式37上式稱為應(yīng)變能釋放率的柔度表達(dá)式。那么知道了載荷與柔度隨面積的變化率，可以計算出系統(tǒng)推動裂紋擴(kuò)展的有效能量為外力功與應(yīng)變能增加（或減少）之差（或和）對前兩種情況，則由2G1的柔度公式381.裂紋的類型a.按裂紋的幾何類型分類穿透裂紋:裂紋沿構(gòu)件整個厚度貫穿.表面裂紋:深度和長度皆處于構(gòu)件表面的裂紋,可簡化為半橢圓裂紋.深埋裂紋:完全處于構(gòu)件內(nèi)部的裂紋,片狀圓形或片狀橢圓裂紋.§1.2裂紋尖端附近的應(yīng)力場和位移值

39b.按裂紋的受力和斷裂特征分類張開型(Ⅰ型):拉應(yīng)力垂直于裂紋擴(kuò)展面,裂紋上、下表面沿作用力的方向張開滑開型(Ⅱ型):裂紋擴(kuò)展受切應(yīng)力控制,切應(yīng)力平行作用于裂紋面而且垂直于裂紋線,裂紋沿裂紋面平行滑開擴(kuò)展.1.裂紋的類型撕開型裂紋(Ⅲ型):在平行于裂紋面而與裂紋前沿線方向平行的剪應(yīng)力作用下,裂紋沿裂紋面撕開擴(kuò)展.引申……402.張開型（I型）裂紋尖端附近的應(yīng)力場.位移場

設(shè)無限大板含長2a的中心裂紋，受雙軸拉力，如圖:41

按彈性力學(xué)的平面問題求解，得出裂紋尖端附近的應(yīng)力場和位移場——剪切模量(1-16)(1-17)2.張開型（I型）裂紋尖端附近的應(yīng)力場.位移場42

各式中共有的系數(shù)，稱為裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，簡稱應(yīng)力強(qiáng)度因子。對于無限大板有中心裂紋受雙軸拉應(yīng)力的情況:公式(1-16)和(1-17)的推導(dǎo)如下:第一步：解I型Westergaard應(yīng)力函數(shù)

彈性力學(xué)平面問題（見書附錄），歸結(jié)為選取一個應(yīng)力函數(shù)使其滿足邊界條件和雙調(diào)和方程:微分算子2.張開型（I型）裂紋尖端附近的應(yīng)力場.位移場43

取一復(fù)變解析函數(shù),令其一次積分和二次積分的實部和虛部組合成應(yīng)力函數(shù),則:容易證明是一個雙調(diào)和函數(shù)。各應(yīng)力分量表達(dá)式：柯西黎曼條件2.張開型（I型）裂紋尖端附近的應(yīng)力場.位移場簡化44柯西黎曼條件補(bǔ)充復(fù)變函數(shù)知識45將上面兩式代入應(yīng)力表達(dá)式同理(自行推導(dǎo))可得：2.張開型（I型）裂紋尖端附近的應(yīng)力場.位移場46求出了應(yīng)力分量表達(dá)式，把其代入材料的本構(gòu)方程和幾何方程，可得到位移分量：

平面應(yīng)力

對平面應(yīng)變：

通過以上推導(dǎo)可知，求應(yīng)力和位移，不需找出應(yīng)力函數(shù)，只需選擇，并使其滿足邊界條件。2.張開型（I型）裂紋尖端附近的應(yīng)力場.位移場47在處第二步：選I型裂紋的邊界條件：在處選取如下：能夠滿足全部邊界條件2.張開型（I型）裂紋尖端附近的應(yīng)力場.位移場我們可以考察一下48在裂紋表面處虛數(shù)！注意：2.張開型（I型）裂紋尖端附近的應(yīng)力場.位移場無窮遠(yuǎn)處裂紋表面49將坐標(biāo)原點移到右裂尖，采用新坐標(biāo)當(dāng)趨于常數(shù),設(shè):，右裂尖附近,在很小范圍內(nèi)時2.張開型（I型）裂紋尖端附近的應(yīng)力場.位移場50第三步：用求I型裂尖附近的應(yīng)力場和位移場

應(yīng)力強(qiáng)度因子是在裂尖時存在極限，若考慮裂尖附近的一個微小區(qū)域，則有下面近似關(guān)系：以極坐標(biāo)表示復(fù)變量把上面兩式代入前面應(yīng)力表達(dá)式中，并利用就可得裂尖應(yīng)力和位移場得表達(dá)式(1-16)、(1-17)。2.張開型（I型）裂紋尖端附近的應(yīng)力場.位移場注意：51

按彈性力學(xué)的平面問題求解，得出裂紋尖端附近的應(yīng)力場和位移場——剪切模量(1-16)(1-17)2.張開型（I型）裂紋尖端附近的應(yīng)力場.位移場523滑開型（II型）裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移

設(shè)無限大板含長2a的中心裂紋，無窮遠(yuǎn)受剪應(yīng)力作用按彈性力學(xué)平面問題求解，可得出裂紋尖端附近應(yīng)力場和位移場.53公式(1-35)和(1-36)的推導(dǎo)如下(1-35)(1-36)3滑開型（II型）裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移對無限大平面問題54第一步：解II型Westergaard應(yīng)力函數(shù)求解方法與I型基本相同，1主要差別是無窮遠(yuǎn)處邊界上受力條件不同。選取應(yīng)力函數(shù)

進(jìn)而可得到位移分量平面應(yīng)變3滑開型（II型）裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移55第二步：選II型裂紋的邊界條件：，在處在處選取能夠滿足全部邊界條件。3滑開型（II型）裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移56在裂紋表面處虛數(shù)3滑開型（II型）裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移無窮遠(yuǎn)處57將坐標(biāo)原點移到右裂尖，采用新坐標(biāo)當(dāng)趨于常數(shù),設(shè):，右裂尖附近,在很小范圍內(nèi)時3滑開型（II型）裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移58第三步：用求II型裂尖附近的應(yīng)力場和位移場

應(yīng)力強(qiáng)度因子是在裂尖時存在極限，若考慮裂尖附近的一個微小區(qū)域，則有：若以極坐標(biāo)表示復(fù)變量把上面兩式代入前面應(yīng)力表達(dá)式中，應(yīng)力和位移場得表達(dá)式則可得到3滑開型（II型）裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移594撕開型（III型）裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移

只在無限遠(yuǎn)處有沿z軸的均勻剪應(yīng)力，即反平面問題或純剪變形問題60按彈性力學(xué)反平面問題求解，得出裂紋尖端附近應(yīng)力場和位移場公式(1-45)和(1-46)的推導(dǎo)如下(1-45)(1-46)4撕開型（III型）裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移61第一步：解III型Westergaard應(yīng)力函數(shù)對反平面問題，位移，本構(gòu)關(guān)系為

平衡方程為（拉普拉斯方程）

4撕開型（III型）裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移62選取解析函數(shù)，令

能夠滿足拉普拉斯方程。下面只需將所選函數(shù)能滿足邊界條件。利用本構(gòu)關(guān)系和柯西－黎曼條件4撕開型（III型）裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移63第二步：選III型裂紋的選取在裂紋表面處

=虛數(shù)4撕開型（III型）裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移參考64當(dāng)趨于常數(shù),設(shè):，右裂尖附近,在很小范圍內(nèi)時采用裂紋尖端坐標(biāo)系4撕開型（III型）裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移65第三步：用求III型裂尖附近的應(yīng)力場和位移場

應(yīng)力強(qiáng)度因子是在裂尖時存在極限，若考慮裂尖附近的一個微小區(qū)域，若以極坐標(biāo)表示復(fù)變量把上面兩式代入前面應(yīng)力表達(dá)式中，就可得裂尖應(yīng)力和位移場的表達(dá)式。4撕開型（III型）裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移66注意：以上三種類型求解方法，僅適用于1）無限大板2）貫穿裂紋3）載荷或位移對裂紋中點的坐標(biāo)軸對稱或反對稱675.應(yīng)力強(qiáng)度因子通過前面的推導(dǎo)，各種類型裂尖應(yīng)力和位移場可表示為

若上標(biāo)寫成II、III，代表II型或III型裂紋?？梢姂?yīng)力場有如下三個特點：處，應(yīng)力趨于無窮大，即在裂尖出現(xiàn)奇異點；1）2）應(yīng)力強(qiáng)度因子在裂尖為有限量；3）裂尖附近的應(yīng)力分布是和的函數(shù)。68由上述裂尖應(yīng)力場的特點，可認(rèn)為：1）用應(yīng)力為參量建立如傳統(tǒng)的強(qiáng)度條件失去意義2）應(yīng)力強(qiáng)度因子是有限量，它是代表應(yīng)力場強(qiáng)度的物理量，用其作為參量建立破壞條件是合適的。

——名義應(yīng)力，即裂紋位置上按無裂紋計算的應(yīng)力——裂紋尺寸，即裂紋長或深——形狀系數(shù)，與裂紋大小、位置有關(guān)應(yīng)力強(qiáng)度因子一般形式：應(yīng)力強(qiáng)度因子單位：

N.m-3/25.應(yīng)力強(qiáng)度因子69§1.3脆性斷裂的K準(zhǔn)則1.應(yīng)力強(qiáng)度因子與應(yīng)變能釋放率的關(guān)系

根據(jù)前面所述的應(yīng)變能釋放率公式與應(yīng)力強(qiáng)度因子可以發(fā)現(xiàn)它們之間應(yīng)有一定關(guān)系。這關(guān)系將進(jìn)一步揭示應(yīng)力強(qiáng)度因子的物理意義。

以張開型裂紋為例，由于應(yīng)變能釋放率代表裂紋擴(kuò)展單位面積所釋放的應(yīng)變能。那么逆向思維一下……70

右圖a所示裂紋原長為a，擴(kuò)展微小長度（圖b）后，釋放出的能量可用從圖b狀態(tài)閉合到圖c狀態(tài)所作的功來計算。閉合時作用在裂紋上表面上x位置的應(yīng)力由圖b中的0值，逐漸增加到圖a中的

利用上節(jié)的裂尖附近應(yīng)力和位移場，可以計算使裂紋閉合單位面積所作的功，顯然這部分功應(yīng)該等于裂紋擴(kuò)展單位面積所釋放的能量。71由I型裂紋的應(yīng)力表達(dá)式，當(dāng)，時由圖b看出，閉合時的位移最初為其中，注意：圖b與圖a的坐標(biāo)原點不同。由I型裂紋的位移表達(dá)式：閉合后，位移為0。閉合過程中，應(yīng)力在段所作的功為72閉合單位面積所作的功裂紋擴(kuò)展單位面積所釋放的能量=由于：可見，應(yīng)力強(qiáng)度因子與應(yīng)變能釋放率有對應(yīng)關(guān)系：不僅表示裂尖附近彈性應(yīng)力場的強(qiáng)度，也可確定裂紋擴(kuò)展釋放的能量率，故：對于線彈性斷裂問題，與等價1應(yīng)力強(qiáng)度因子與應(yīng)變能釋放率的關(guān)系73

同理，對于II型和III型裂紋同樣可得到類似關(guān)系

需要注意：對于I型和II型裂紋問題可分為平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題，而對于三型裂紋問題只是一種反平面問題。1應(yīng)力強(qiáng)度因子與應(yīng)變能釋放率的關(guān)系742脆性斷裂的K準(zhǔn)則

在1.1節(jié)我們已經(jīng)講了脆性材料裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展的臨界條件為：75

由本節(jié)1中，可以得到以應(yīng)力強(qiáng)度因子表示的裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展的臨界條件為：表示裂尖的應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到時，裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展。與都是材料常數(shù)，稱為材料的平面應(yīng)變斷裂韌度。在線彈性條件下強(qiáng)調(diào)：

與概念不同，脆性斷裂的K準(zhǔn)則2脆性斷裂的K準(zhǔn)則

—斷裂韌度，材料具有的一種機(jī)械性能，表示材料抵抗脆性斷裂的能力，由試驗測定。

—是表示裂尖應(yīng)力場強(qiáng)度的一個參量，可用彈性理論方法進(jìn)行計算，由載荷及裂紋體形狀和尺寸決定。76

根據(jù)實驗和理論分析，斷裂韌度隨試件厚度增加而下降，如下圖。需要注意：金屬在平面應(yīng)力條件下裂尖產(chǎn)生較大塑性變形，K準(zhǔn)則（建立在線彈性斷裂力學(xué)基礎(chǔ)上）不適用，而要采用第三章的彈塑性斷裂力學(xué)的斷裂準(zhǔn)則。但是當(dāng)裂尖塑性變形區(qū)較小時，通過下一節(jié)的修正后，仍可用K準(zhǔn)則。2脆性斷裂的K準(zhǔn)則1）薄板的裂尖處于平面應(yīng)力狀態(tài)，斷裂韌度較高，裂紋不易擴(kuò)展，用表示；2）隨板厚增加，裂尖處于平面應(yīng)變狀態(tài)的部分增加，裂紋較易擴(kuò)展，斷裂韌度降低，當(dāng)厚度降至一定值后，斷裂韌度降至最小，稱為平面應(yīng)變斷裂韌度，用表示。這是由于：77注意：對于線彈性斷裂問題，采用G準(zhǔn)則和K準(zhǔn)則所得的結(jié)果是一樣的。但是由于利用彈性理論可直接計算應(yīng)力強(qiáng)度因子，而且試驗測定比測定方便，故工程一般常用K準(zhǔn)則。

根據(jù)K準(zhǔn)則，可以計算剩余強(qiáng)度（臨界應(yīng)力）和臨界裂紋長度，進(jìn)行斷裂安全分析。例如：對具中心裂紋無限大板，受雙軸拉應(yīng)力對于其它結(jié)構(gòu)，表達(dá)式不同。2脆性斷裂的K準(zhǔn)則78§1.4線彈性斷裂力學(xué)在小范圍屈服時的推廣1裂紋尖端塑性區(qū)和等效模型的概念

線彈性斷裂力學(xué)只適用于純線彈性裂紋體。對絕大多數(shù)金屬，裂尖附近由于應(yīng)力集中，必形成塑性區(qū)。那么線彈性斷裂力學(xué)能否繼續(xù)使用呢？對于小范圍屈服情況，如塑性區(qū)尺寸比裂紋長度小一個數(shù)量級，工程中一般仍用線彈性理論計算應(yīng)力強(qiáng)度因子，不過要對應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行修正。最常用的修正方法是等效模型法。Irwin假設(shè)I型裂紋的彈性應(yīng)力場因塑性區(qū)的形成而發(fā)生平移。

裂紋平面內(nèi)的法向應(yīng)力，先不管塑性區(qū)的影響，當(dāng)時，按線彈性解79

稱為等效裂紋長度1裂紋尖端塑性區(qū)和等效模型的概念等效裂紋模型法指以代替原裂紋長，對應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行修正。這說明，塑性區(qū)的存在相當(dāng)裂紋長度增加，即裂紋體的柔度增加，因而裂紋的應(yīng)變能釋放率也增加。802塑性區(qū)的形狀和尺寸

對平面應(yīng)力情況，據(jù)材料力學(xué)公式，裂尖附近的主應(yīng)力為：把前面求得的應(yīng)力代入上式有利用VonMises屈服條件81利用上述兩式可求出矢徑與幅角的關(guān)系：據(jù)上式可以畫出曲線。這條閉合曲線表示裂尖附近塑性區(qū)的周邊形狀，曲線上各點的相當(dāng)應(yīng)力等于屈服極限，內(nèi)部各點超出屈服極限。未考慮應(yīng)力松弛效應(yīng)。當(dāng)時，即裂紋面上同理，對于平面應(yīng)變情況，主應(yīng)力還有2塑性區(qū)的形狀和尺寸82利用VonMises屈服條件取，塑性區(qū)周邊如下圖虛線所示當(dāng)時，即裂紋面上由圖可見，平面應(yīng)變的塑性區(qū)遠(yuǎn)比平面應(yīng)力的小，原因是：平面應(yīng)變狀態(tài)下，沿厚度方向約束所產(chǎn)生的是拉應(yīng)力，在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，材料不易屈服而變脆。2塑性區(qū)的形狀和尺寸83下面取一厚板舉例說明：厚板厚度中心部分受Z向約束大，處平面應(yīng)變狀態(tài)，接近表面，約束小，處平面應(yīng)力狀態(tài)2塑性區(qū)的形狀和尺寸843應(yīng)力松弛的修正

由于上述分析未考慮塑性區(qū)內(nèi)塑性變形引起的應(yīng)力松弛，結(jié)果使得到的塑性區(qū)偏小。若考慮，塑性區(qū)則要擴(kuò)大。下面粗略估計。85

應(yīng)力松弛發(fā)生前，應(yīng)力分布為彈性解FBD虛線，發(fā)生應(yīng)力松弛后，應(yīng)力分布由AC和CE兩段實線組成，CE為平移后的彈性解，AC為理想塑性屈服極限。據(jù)力平衡，發(fā)生應(yīng)力松弛前后，沿X軸合力應(yīng)該相等，即虛線下應(yīng)力的積分應(yīng)該與實線下的積分和相等。已假定CE與BD下應(yīng)力積分相等，只需FB下應(yīng)力積分等于AC下應(yīng)力積分，即3應(yīng)力松弛的修正86補(bǔ)充說明：如何而來？因為平面應(yīng)變下，沿板厚在第三向拉應(yīng)力,三向拉伸應(yīng)力作用下,材料不易屈服,即材料的有效屈服應(yīng)力比單向拉伸屈服應(yīng)力要高,而平面應(yīng)力條件下,有效屈服應(yīng)力證明：設(shè)是最大主應(yīng)力,,,代入mises準(zhǔn)則設(shè)塑性約束系數(shù)3應(yīng)力松弛的修正87對Ⅰ型裂紋平面應(yīng)變:在x軸上,若取,則,即對平面應(yīng)力3應(yīng)力松弛的修正88把塑性區(qū)中最大應(yīng)力叫做有效屈服應(yīng)力,用表示,表面平面應(yīng)變在的平面上,屈服區(qū)內(nèi)最大應(yīng)力是的三倍.實際一般試件表面是處于平面應(yīng)力,只有中心部分才是平面應(yīng)變,故平均約束系數(shù),實驗測定,用環(huán)形切口圓棒試件所做的拉伸試驗,在三向拉伸狀態(tài)下：一般取3應(yīng)力松弛的修正89

應(yīng)力松弛發(fā)生前，應(yīng)力分布為彈性解FBD虛線，發(fā)生應(yīng)力松弛后，應(yīng)力分布由AC和CE兩段實線組成，CE為平移后的彈性解，AC為理想塑性屈服極限。據(jù)力平衡，發(fā)生應(yīng)力松弛前后，沿X軸應(yīng)力的和應(yīng)該相等，即虛線下應(yīng)力的積分應(yīng)該與實線下的積分和相等。已假定CE與BD下應(yīng)力積分相等，只需FB下應(yīng)力積分等于AC下應(yīng)力積分，即3應(yīng)力松弛的修正90R－塑性區(qū)尺寸，－塑性區(qū)中y軸方向的應(yīng)力。對于平面應(yīng)力情況，當(dāng)跟據(jù)Mises條件，即單向拉伸時的屈服極限。把，代入上面的積分可見，應(yīng)力松弛使塑性區(qū)尺寸增加一倍。3應(yīng)力松弛的修正91對于平面應(yīng)變情況，當(dāng)據(jù)Mises條件，把代入上面的積分可見，平面應(yīng)變狀態(tài)下，若考慮塑性區(qū)應(yīng)力松弛影響，塑性區(qū)尺寸同樣增加一倍。上述結(jié)果，是偏安全的近似解。3應(yīng)力松弛的修正924等效裂紋長度與應(yīng)力強(qiáng)度因子應(yīng)力強(qiáng)度因子裂紋尖端應(yīng)力場強(qiáng)弱的標(biāo)志。

取等效裂紋長度，令等效裂尖附近應(yīng)力場的線彈性理論分布曲線在原裂紋塑性區(qū)邊界C1即在處的應(yīng)力等于又因為，所以有——應(yīng)力松弛后的應(yīng)力強(qiáng)度因子。93平面應(yīng)力下，有代入上式，并近似設(shè)平面應(yīng)變下，按4等效裂紋長度與應(yīng)力強(qiáng)度因子94另外，若按一般采用的公式則：繼而按等效裂紋長度計算等效應(yīng)力強(qiáng)度因子，一般工程應(yīng)用中，取，又因，用等效裂長代替，則有：對于平面應(yīng)變情況，代入相應(yīng)的，得4等效裂紋長度與應(yīng)力強(qiáng)度因子95同理可得平面應(yīng)變狀態(tài)下應(yīng)力強(qiáng)度因子

可見兩種狀態(tài)下應(yīng)力強(qiáng)度因子都擴(kuò)大。上述結(jié)論都是近似的，我們假設(shè)了，且未考慮等效裂長對形狀因子Y的影響。對于復(fù)雜問題要用逐次逼近法求，具體步驟見書。4等效裂紋長度與應(yīng)力強(qiáng)度因子96§1.5復(fù)合型最大準(zhǔn)則在復(fù)合型裂紋問題中，需要研究兩個問題：1裂紋沿什么方向開裂（開裂角）；2裂紋在什么條件開裂（斷裂準(zhǔn)則）。國內(nèi)外的復(fù)合型斷裂準(zhǔn)則，不外從三方面分析：1）以應(yīng)力為參數(shù)2）以位移為參數(shù)3）以能量為參數(shù)結(jié)果有一定差異，重點講幾種。971最大應(yīng)力準(zhǔn)則Erdogan和G.C.Sih（1963）根據(jù)具有中心斜裂紋承受均勻拉伸的樹脂玻璃板的實驗結(jié)果，提出最大周向應(yīng)力復(fù)合型斷裂準(zhǔn)則，簡稱最大應(yīng)力準(zhǔn)則。對于I－II復(fù)合型問題，裂尖附近應(yīng)力場由疊加而成按材料力學(xué)方法，可得到上式的極坐標(biāo)形式98（1-89）rθ裂尖場極坐標(biāo)系99最大應(yīng)力準(zhǔn)則的基本假定：1）裂紋沿最大周向應(yīng)力方向開裂2）當(dāng)此方向的周向應(yīng)力達(dá)臨界值時，裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展。由準(zhǔn)則的基本假定1）得到開裂角（開裂方向與裂紋面的夾角）?100

上式只是確定開裂角的必要條件，周向應(yīng)力達(dá)到最大值還要滿足對的二階導(dǎo)小于0.注意：根據(jù)假定2）確定開裂條件，設(shè)當(dāng)沿方向的周向應(yīng)力達(dá)到臨界值裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展(1-93)討論：其中一般由I型條件給出，見下頁對于純I型，，，故根號前必須取正，則已知和，由上式可得開裂角。101為了與I型的K準(zhǔn)則對應(yīng)，把上式左端看作相當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度因子，則上式變?yōu)橛谑菑?fù)合型裂紋問題形式上化為當(dāng)量I型裂紋問題。因為和與裂紋尺寸和外載有關(guān)，故按(1-94)可確定臨界裂紋尺寸和臨界載荷。

的確定把代入臨界失穩(wěn)條件

(1-94)1022幾種尖端情況1）純I型情況：說明復(fù)合型最大應(yīng)力準(zhǔn)則在純I型時即K準(zhǔn)則。2）純II型情況：即103若給定，確定后，可得：3）無限板中斜裂紋受拉力情況斜裂紋與鉛直線成角，長2a，受拉應(yīng)力σ把正應(yīng)力沿裂紋面分解為正應(yīng)力和剪應(yīng)力104最大周應(yīng)力準(zhǔn)則的優(yōu)缺點最大周應(yīng)力準(zhǔn)則的優(yōu)點：1）比較簡單2）當(dāng)復(fù)合型中的II型成份不大時與實驗結(jié)果很接近最大周應(yīng)力準(zhǔn)則的缺點：1）該準(zhǔn)則沒有綜合考慮其他應(yīng)力分量的作用2）該準(zhǔn)則不能把平面應(yīng)力和平面應(yīng)變兩類問題區(qū)分開3）當(dāng)II型成份比較大時，與實驗結(jié)果差別大1053復(fù)合型最大應(yīng)力準(zhǔn)則的修正準(zhǔn)則修正準(zhǔn)則2(王鐸和杜善義提出)：1）假定裂紋沿裂紋尖端塑性區(qū)邊界上最大周向應(yīng)力的方向開裂2）開裂條件：假定沿此方向的周向應(yīng)力達(dá)到某臨界值時開裂修正準(zhǔn)則1：1）假定裂紋沿裂尖附近等應(yīng)變能密度線上最大周向應(yīng)力的方向開裂2）開裂條件：假定沿此方向的周向應(yīng)力達(dá)到某臨界值時開裂106§1.6復(fù)合型的能量準(zhǔn)則1應(yīng)變能密度因子準(zhǔn)則由彈性力學(xué)理論知道，彈性體的應(yīng)變能密度為：其中系數(shù)都是材料常數(shù)和角度的函數(shù)。和K類似，S描述裂尖應(yīng)力、應(yīng)變場的應(yīng)變能強(qiáng)度，是有限量，而W有奇異性。107S準(zhǔn)則的基本假設(shè)是；1）裂紋沿S的極小值方向開裂，即開裂方向有2）當(dāng)達(dá)到臨界值，裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展。

與和一樣是材料常數(shù)，標(biāo)志材料抵抗裂紋擴(kuò)展的能力例題1：純I型情況下，確定與的關(guān)系例題2：純II型情況下，確定與的關(guān)系1應(yīng)變能密度因子準(zhǔn)則S可以看做一種裂縫開展的阻力，而裂縫則企圖尋找阻力最小的方向進(jìn)行擴(kuò)展。1082應(yīng)變能釋放率準(zhǔn)則1）裂紋沿G的最大值方向開裂，即開裂方向有2）在此方向上應(yīng)變能釋放率達(dá)到臨界值時，裂紋開始失穩(wěn)擴(kuò)展。，109§1.7求應(yīng)力強(qiáng)度因子的各種計算方法由應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)的脆性斷裂準(zhǔn)則為進(jìn)行斷裂安全分析時1）需要計算構(gòu)件的值——由構(gòu)件的尺寸、形狀和所受的載荷形式?jīng)Q定；2）測定材料的。用實驗測定材料的時，必須首先確定試件的標(biāo)定式。因此，計算各種構(gòu)件的應(yīng)力強(qiáng)度因子，是線彈性斷裂力學(xué)的一項重要任務(wù)。求應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法有：解析法數(shù)值解法實驗標(biāo)定方法等110

解析法只能計算簡單問題，大多數(shù)問題需要采用數(shù)值解法。工程中——廣泛采用有限元法，而且隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，能夠計算越來越復(fù)雜的問題。另外，還可通過光測彈性力學(xué)實驗方法或其它實驗方法測定。本章介紹幾種常用的應(yīng)力強(qiáng)度因子的計算方法，主要有：普遍形式的復(fù)變函數(shù)法；積分變換法；有限元法；

其它求應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法，及工程估算和實驗方法可查閱有關(guān)文獻(xiàn)?！?.7求應(yīng)力強(qiáng)度因子的各種計算方法1111普遍形式的復(fù)變函數(shù)法

前面用Westergard應(yīng)力函數(shù)法是用復(fù)變函數(shù)求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的特殊方法，更普遍的復(fù)變函數(shù)法是柯洛索夫-穆斯海里什維利（Kolosov-Muskhelishvili）應(yīng)力函數(shù)法。【詳細(xì)推導(dǎo)見《數(shù)學(xué)彈性力學(xué)的幾個基本問題》——Muskhelishvili，1958】課堂只介紹其結(jié)果在二維裂紋問題中的應(yīng)用。應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式為：其中，為復(fù)變解析函數(shù)；

為的共軛復(fù)變解析函數(shù)，表示為112平面應(yīng)變情況下的應(yīng)力和位移可表示為：以上是常用的柯洛索夫-穆斯海里什維利公式。

設(shè)有I型和II型混合型裂紋問題，取復(fù)變函數(shù)形式的應(yīng)力強(qiáng)度因子為：（a）（2-2）1普遍形式的復(fù)變函數(shù)法113由式(a)和(b)，得（b）（c）為裂紋右端的坐標(biāo)，實際上，將(c)式右端展開，實部就是（b）式右端。1普遍形式的復(fù)變函數(shù)法由第一章的公式知：114（d）(2-3)可見，要確定應(yīng)力強(qiáng)度因子，只需確定一個解析函數(shù)。對于構(gòu)件幾何形狀或載荷條件復(fù)雜的問題，常應(yīng)用復(fù)變函數(shù)保角映射原理，將平面內(nèi)的幾何圖形，通過映射到平面中，簡單的幾何圖形，從而使求解過程大為簡化。1普遍形式的復(fù)變函數(shù)法115例：無限大板內(nèi)長2a的穿透裂紋，集中力作用在右上表面，求應(yīng)力強(qiáng)度因子解：取映射函數(shù)……1普遍形式的復(fù)變函數(shù)法1162積分變換法1）積分變換:設(shè)在域定義的分段連續(xù)函數(shù)且是有限的，則積分稱為的富氏函數(shù)（Fouriertransform）稱為富氏函數(shù)的逆變換。117若為偶函數(shù)，則有若為奇函數(shù)，則有富氏積分有以下性質(zhì)：微分性質(zhì):2積分變換法1182）求應(yīng)力強(qiáng)度因子的積分變換法思路：

a、利用本構(gòu)關(guān)系，平衡方程，得到微分方程（組）

b、利用積分變換，求得未知函數(shù)，得到應(yīng)力場例：無限大板中，長為2a的穿透裂紋，Ⅲ型問題。二維反平面問題，應(yīng)力分量只有和，位移分量只有，其余應(yīng)力和位移分量為零。2積分變換法119xy.2a..平衡方程：幾何方程：物理方程：把幾何、物理方程代入平衡方程，得到調(diào)和方程：2積分變換法（*）120問題歸結(jié)為在給定邊界條件下解調(diào)和方程，因為問題對平面反對稱，可以僅討論的半無限體。該問題的邊界條件為：由邊界條件可知，問題對y軸對稱（即）可用Fourier余弦變換作用（*）式2積分變換法121特征方程為：其中為待定函數(shù)。2積分變換法122注意：當(dāng)時，應(yīng)力是有限值，所以（此時）：

將由邊界條件確定。當(dāng)時，邊界條件有：2積分變換法得一特解123選取如下位移方程能自動滿足調(diào)和方程，及時的邊界條件。由裂紋面上的邊界條件：對偶積分方程解：2積分變換法xy.2a..124平面斷裂問題的積分變換求解：其中:,特征方程：2積分變換法125位移應(yīng)力同理2積分變換法1263有限元法用有限元法求SIF，有限元法不止局限在線彈性問題。1）直接法求SIF（1）位移法根據(jù)Ⅰ型裂紋尖端附近的位移公式（1-17），有：（a）其中：127用有限元法求出位移（）后，代入（a）式，就可求得。一般用時的裂紋張開位移的值求，因為裂紋處張開位移比較顯著，可得到較準(zhǔn)確的近似值。把代入（a）式（b）（b）式只在裂紋尖端附近（）精準(zhǔn)，因只保留了r的奇異項，在離開裂紋尖端稍遠(yuǎn)，SIF不再是常數(shù)，因此，沿裂紋面取不同的r值算出位移代入（b），得到對應(yīng)的后，作曲線，在r很小范圍內(nèi)，曲線才近似為一條直線，此直線與縱坐標(biāo)軸的交點就是要求的值。3有限元法128例：緊湊拉伸試樣。PH=1.21.26wW采用網(wǎng)格尺寸越小，結(jié)果越精確。從結(jié)果圖中可以看到，接近裂尖（）時，曲線彎曲很大，說明有限元法產(chǎn)生了很大的誤差，這是因為式（1-17）中的v與成正比，而有限元法所設(shè)的位移場為多項式，不能滿足此規(guī)律，為了免去這一誤差，一般采用外推法，即將曲線延長，與縱坐標(biāo)相交，交點的縱坐標(biāo)值即是的值。3有限元法129（2）應(yīng)力法據(jù)Ⅰ型裂尖附近應(yīng)力公式（1-16）（c）其中：類似位移法，用有限元法求出應(yīng)力，代入（c）式，可求，一般認(rèn)為取處，即裂紋線上的應(yīng)力計算為好，此時:3有限元法130（d）類似位移法，求出不同r處的應(yīng)力，代入（d），得到相應(yīng)的，給出曲線，外推到縱坐標(biāo)軸上，可得所求的值。當(dāng)有限元法采用剛度法求應(yīng)力時，應(yīng)力場都要通過對位移場求偏導(dǎo)數(shù)，求得的應(yīng)力與位移法相比較，精度要差很多。一般采用有限元的剛度法時，最好用位移法。直接法的優(yōu)點：直接應(yīng)用應(yīng)力、位移公式，過程簡單。缺點：只在時適合，要畫很細(xì)的網(wǎng)格，尤其是采用應(yīng)力法，應(yīng)力梯度大，更需精細(xì)網(wǎng)格。3有限元法1312)間接法求應(yīng)力強(qiáng)度因子通過計算能量，再換算成值，可以避免裂尖附近用很細(xì)的網(wǎng)格，同樣得到很好的精度。利用，知道，即可求得。求的方法很多，具體介紹：彈性應(yīng)變能法（e）其中：——彈性應(yīng)變能，A——裂紋表面積，正號代表固定載荷，負(fù)號代表固定邊界情況。3有限元法132先用有限元法求出裂紋長度為a時的應(yīng)變能密度U，應(yīng)變能可以直接由各點的內(nèi)力和位移的乘積求和而得，即其中表示各節(jié)點的內(nèi)力，表示各節(jié)點的位移。同樣，求裂紋長為時的應(yīng)變能，將與的計算值代入（e）式，求得的值。或?qū)與a做成曲線，U—a曲線在各點的斜率，就是相應(yīng)裂紋長度的應(yīng)變能釋放率。求應(yīng)變能可直接用：

注意：采用普通單元，裂尖單元必須很密，單元尺寸約為才有足夠的精度，若采用奇異單元，優(yōu)點是裂紋處單元不必太細(xì)，不需插值可直接算出K值，缺點是兩種單元和單元之間存在位移不協(xié)調(diào)問題3有限元法133第二章彈塑性斷裂力學(xué)134線彈性斷裂力學(xué)把裂紋體看成理想的線彈性體，利用線彈性理論基礎(chǔ)和方法，使其理論和實驗技術(shù)迅速發(fā)展，已經(jīng)在脆性斷裂、疲勞等方面得到應(yīng)用。其仍有一定局限性。由于裂尖附近應(yīng)力集中，必出現(xiàn)塑性區(qū)，若塑性區(qū)比裂紋尺寸小得多，屬小范圍屈服情況，可認(rèn)為塑性區(qū)對彈性應(yīng)力場影響不大。那么應(yīng)力強(qiáng)度因子（或經(jīng)修正）可用于表征裂尖附近應(yīng)力場強(qiáng)度，并建立相應(yīng)裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展準(zhǔn)則。但對于很多金屬結(jié)構(gòu)，裂尖附近會發(fā)生大范圍屈服，塑性區(qū)與裂紋尺寸同數(shù)量級。此時線彈性斷裂力學(xué)無法解決這類問題，需要彈塑性斷裂力學(xué)來研究。彈塑性斷裂力學(xué)分為靜止裂紋和緩慢擴(kuò)展的裂紋兩個方面。重點介紹靜止裂紋問題。引言135§2.1塑性區(qū)條形簡化模型Dugdale(1960)根據(jù)含裂紋軟鋼薄壁構(gòu)件的實驗觀察結(jié)果提出條形塑性區(qū)簡化模型。塑性區(qū)太大無法算，把它壓成窄條狀，帶狀理想塑性體。

采用Muskhelishvili方法避開了復(fù)雜的彈塑性分析，得到彈塑性斷裂力學(xué)參數(shù)表達(dá)式。簡稱M-D模型。

與1962年Barenblatt的吸附力模型類似。Barenblatt認(rèn)為裂尖奇異性實際不存在。他假設(shè)裂尖小范圍內(nèi)為內(nèi)聚力區(qū)，裂紋上下之間受原子或分子的吸附力作用，該力與原子或分子間拉開距離有函數(shù)關(guān)系。M-D模型相當(dāng)于把吸附力取為均布屈服應(yīng)力。136裂尖應(yīng)力場化為三個應(yīng)力場的疊加：1)無裂紋的無限大板，2)具有2c=2（a+R）長裂紋的無限大板，遠(yuǎn)處無力，裂紋表面施加,3)2c=2（a+R），塑性區(qū)R上作用拉應(yīng)力137

三者疊加后，要求在2（a+R）長裂尖，消除奇異性，應(yīng)力應(yīng)是有限量，要求SIF=0，即：由c=a+R上式即為M-D模型求塑性區(qū)尺寸的一般公式。當(dāng)塑性區(qū)較小時，令是一小量138這一用Dugdale模型得到的塑性區(qū)范圍與歐文小塑性區(qū)修正結(jié)果（平面應(yīng)力）很接近。實際的塑性區(qū)成魚尾形，把M-D法把它壓縮成薄片，不符。下節(jié)M-D模型與COD結(jié)合起來，把COD法擴(kuò)大到大范圍的屈服問題。對于強(qiáng)化材料。工程中，一般用屈服極限與強(qiáng)度極限的平均值代替M-D模型中的。注意：139§2.2COD模型（1963，Wells，英國）1.COD--Crack-tipOpeningDisplacement

所謂裂尖張開位移，是指原裂紋尖端沿垂直裂紋方向產(chǎn)生的位移，以COD或表示。實際上，裂紋張開，裂尖出現(xiàn)鈍頭，但是裂尖處位移仍連續(xù)，實際張開位移并不存在。C點表示裂紋前沿彈性區(qū)與塑性區(qū)交界，有人提出將C點作為測量點，認(rèn)為對金屬，塑性變形是導(dǎo)致破壞的重要因素，C點可實驗確定，或有限元計算。ADFECB140注意：COD的物理概念似乎很簡單，但是確切的定義與標(biāo)定是未解決。利用M-D模型計算裂紋張開位移，由于在所設(shè)的塑性條帶中，用分布力代替塑性區(qū)內(nèi)上、下界面間的結(jié)合力，因此，在塑性區(qū)條帶中出現(xiàn)位移間斷。在裂尖位移間斷被認(rèn)為是由于塑性變形發(fā)展和伴隨裂尖銳化而產(chǎn)生的張開位移。利用M-D模型：xy2a2cδ1.COD--Crack-tipOpeningDisplacement1412COD準(zhǔn)則——臨界COD（材料常數(shù)）安全開裂，，當(dāng)是極小量，用近似公式對于含中心裂紋的無限大板，受拉伸作用，或這樣在線彈性斷裂中，裂紋也可用COD準(zhǔn)則。142COD準(zhǔn)則的優(yōu)缺點：工程適應(yīng)性強(qiáng)，且COD易測量，各國都有COD測量標(biāo)準(zhǔn)。COD定義不確切，且所用D－M模型與實際有差別。由于裂紋可以繼續(xù)擴(kuò)展后才開裂，COD準(zhǔn)則偏保守。的規(guī)定有困難。M-D模型僅適用于穿透裂紋，工程上遇到的很多表面裂紋，只能用工程方法近似。優(yōu)點缺點注意：是裂紋開裂的臨界值，而不是裂紋最后失穩(wěn)的臨界值。這是兩個不同的狀態(tài)。用表示開裂的COD的臨界值，以表示失穩(wěn)的COD臨界值，與可相差數(shù)倍。由于隨試件尺寸變化較大，不宜做材料常數(shù)，一般用，記為。2COD準(zhǔn)則1433全屈服COD時，用經(jīng)驗公式。

Dugdale模型及其詳細(xì)解答仍存在局限性，因其本質(zhì)上仍然是小范圍屈服條件下彈性-理想塑性解，如果在裂紋頂端附近出發(fā)大范圍甚至全屈服塑性變形，怎樣用CTOD方法？

Wells及burdekin提出經(jīng)驗公式，在英國焊接界被廣泛采用，國內(nèi)也很重視這方面工作。144§2.3J積分上世紀(jì)60年代末，1968年美國Rice從另外角度對材料非彈性（非線性）斷裂問題進(jìn)行了研究，幾乎同時，蘇聯(lián)工作者也進(jìn)行了類似的研究，取得了同樣的結(jié)果，其中一件就是J積分。1973年后許多實驗表明，J積分的臨界值是一個材料常數(shù)，并可以以此建立斷裂判據(jù)。它的建立比CTOD斷裂判據(jù)大概晚10年。圖1圖2145J積分定義如下：

（a）其中：為應(yīng)變能密度.

是作用在路程邊界上的力（作用在曲線的微弦ds上的外應(yīng)力矢量）

是路程邊界上的位移矢量（該處的位移矢量）ds是路程曲線的弦元素

是始于裂紋下表面，逆時針方向繞裂尖終止于裂紋上表面。

為弦元素法線的方向余弦1.J積分的守恒性的證明146利用，代入(a)式:（b）

為位移分量。由圖（1）(因

)（c）圖11.J積分的守恒性的證明147下面證明J積分與選擇的路徑無關(guān)做一封閉曲線，分為四段，如圖（2），故內(nèi)無奇異點。由Green公式：（P、Q及其一階導(dǎo)數(shù)要求在區(qū)域及邊界上連續(xù)）令Q=-P，右端=圖21.J積分的守恒性的證明148格林公式改寫成：利用1.J積分的守恒性的證明149利用或改寫為（后一項i,j互換）1.J積分的守恒性的證明150在上，dy=0，且（是自由表面無力）則得J積分與選擇的路徑無關(guān)。注意以上推導(dǎo)J積分守恒中，有幾個特點:(1)用到全量塑性理論,()實質(zhì)上等價于非線性彈性理論，唯一由確定，而與加載歷史無關(guān)，因此不許卸載發(fā)生。（因加載與卸載時，與的關(guān)系完全不同，與不存在一一對應(yīng)）這一限制使得J積分局限性很大。1.J積分的守恒性的證明151(2)用到小變形幾何方程，但在裂尖附近，變形未必很小。(3)用到，是指系統(tǒng)處于靜平衡，（相反，若處在運動狀態(tài)，必須補(bǔ)充其他項，如動能密度，J積分才有路徑守恒性）(4)用到，并不是必須的。擴(kuò)展論述：在Rice之前，1956年Eshelby已經(jīng)定義了比J積分更廣泛的積分，并且證明了守恒性。有關(guān)研究證明，J積分在一定條件下有卸載也成立。1.J積分的守恒性的證明(5)用到均勻材料屬性。1522.J積分與K、G的關(guān)系以裂紋尖端為圓心。r為半徑作圓，取該圓為J積分回路，取極坐標(biāo)形式，令因r為定值，W、、都是的函數(shù)，對平面應(yīng)變：平面應(yīng)力平面應(yīng)變153應(yīng)用第一章Ⅰ型裂尖附近的應(yīng)力式（1-16）代入上式把上式帶入J積分中，得第一項積分2.J積分與K、G的關(guān)系154又知積分路徑上的力：位移為2.J積分與K、G的關(guān)系155類似方法可證得平面應(yīng)力情況以上分析可見：線彈性情況下，J積分與應(yīng)變能釋放率相同2.J積分與K、G的關(guān)系1563J積分與能量及COD的關(guān)系1）J與能量的關(guān)系由第一章知，對于固定邊和固定載荷情況：（固定邊取負(fù)，固定力取正）以上僅對線彈性，擴(kuò)充到彈塑性情況，上述SERR的概念不合適，因為裂紋擴(kuò)展時，不可避免的要卸載，應(yīng)變能總要消失，這種變化不能忽略。因此，要比較兩邊界條件完全相同，但有不同裂紋長度的板的能量，通過能量比較來看J積分的物理意義。（為兩板勢能之差）1572）J積分與COD的關(guān)系根據(jù)M-D模型，做如下選擇：由裂紋下表面，緊貼著塑性區(qū)邊，直到裂紋上表面。在ABC上，近似認(rèn)為塑性區(qū)邊界與x軸平行，即dy=0，故3J積分與能量及COD的關(guān)系158又因為的分量，其他為0，的分量v(x)是x的函數(shù)（注意AB段、BC段上）3J積分與能量及COD的關(guān)系積分路徑：塑性區(qū)邊界ABC

AB上：平行于軸BC上：平行于軸159也可由對稱性：塑性區(qū)是窄尖劈形，B點位移，A點張開位移為,于是有或3J積分與能量及COD的關(guān)系160說明：J積分與COD有一定的關(guān)系，因M-D模型過于簡化，考慮理想塑性區(qū)斷面受常力，而實際上許多材料存在硬化現(xiàn)象，塑性區(qū)斷面受的力是x的函數(shù)，與硬化指數(shù)n有關(guān)，因此上式不能普遍適用，需要COD的降低系數(shù)k（1-3），Robinson指出，k隨著塑性區(qū)的增加而增加，Shih計算，k隨n增加而減小。3J積分與能量及COD的關(guān)系161J積分的重要特性（簡而列之）：

(1)J

積分的守恒性(回路無關(guān)性)；

(2)它代表作用于裂紋尖端的一個廣義力，一般簡稱為裂紋擴(kuò)展力或能量釋放率。對于線彈性固體，J

積分就是能量釋放率G; (3)同彈性裂紋體的應(yīng)力強(qiáng)度因子K一樣，J

積分是裂紋尖端非線性應(yīng)力應(yīng)變場強(qiáng)度的度量; (4)利用M-D模型能得出J積分與COD的定量關(guān)系?？梢园袹積分作為彈塑性裂紋體裂紋開裂的斷裂參數(shù)來建立判據(jù)：

4J積分準(zhǔn)則162優(yōu)點：

J積分理論嚴(yán)格，定義明確。4J積分準(zhǔn)則

比更省時省力，應(yīng)用廣泛。利用FEM可計算各種平面問題的J積分163缺點：

J積分建立在全量理論下，由于裂紋常通過亞臨界擴(kuò)展過程，相當(dāng)于卸載，這不符合全量理論一一對應(yīng)要求；J積分定義限于二維情況；與cod準(zhǔn)則一樣，Jc一般由開裂點確定，這樣數(shù)據(jù)較穩(wěn)定，適合做材料斷裂韌度指標(biāo)，但是裂紋還有承載能力，設(shè)計偏保守。（后來證明，J積分在亞臨界擴(kuò)展初期基本是守恒的，當(dāng)前對三維復(fù)雜裂紋也可以利用改造后的J積分，見，《彈塑性斷裂力學(xué)》，宮木博，日本）4J積分準(zhǔn)則164§2.3J積分上世紀(jì)60年代末，1968年美國Rice從另外角度對材料非彈性（非線性）斷裂問題進(jìn)行了研究，幾乎同時，蘇聯(lián)工作者也進(jìn)行了類似的研究，取得了同樣的結(jié)果，其中一件就是J積分。圖1圖2165J積分定義如下：

（a）其中：為應(yīng)變能密度.

是作用在路程邊界上的力（作用在曲線的微弦ds上的外應(yīng)力矢量）

是路程邊界上的位移矢量（該處的位移矢量）ds是路程曲線的弦元素

是始于裂紋下表面，逆時針方向繞裂尖終止于裂紋上表面。

為弦元素法線的方向余弦1.J積分的守恒性的證明166利用，代入(a)式:（b）

為位移分量。由圖（1）(因

)（c）圖11.J積分的守恒性的證明167下面證明J積分與選擇的路徑無關(guān)做一封閉曲線，分為四段，如圖（2），故內(nèi)無奇異點。由Green公式：（P、Q及其一階導(dǎo)數(shù)要求在區(qū)域及邊界上連續(xù)）令Q=-P，右端=圖21.J積分的守恒性的證明168格林公式改寫成：利用1.J積分的守恒性的證明169利用或改寫為（后一項i,j互換）1.J積分的守恒性的證明170在上，dy=0，且（是自由表面無力）則得J積分與選擇的路徑無關(guān)。注意以上推導(dǎo)J積分守恒中，有幾個特點:(1)用到全量塑性理論,()實質(zhì)上等價于非線性彈性理論，唯一由確定，而與加載歷史無關(guān)，因此不許卸載發(fā)生。（因加載與卸載時，與的關(guān)系完全不同，與不存在一一對應(yīng)）這一限制使得J積分局限性很大。1.J積分的守恒性的證明171(2)用到小變形幾何方程，但在裂尖附近，變形未必很小。(3)用到，是指系統(tǒng)處于靜平衡，（相反，若處在運動狀態(tài)，必須補(bǔ)充其他項，如動能密度，J積分才有路徑守恒性）(4)用到，并不是必須的。擴(kuò)展論述：在Rice之前，1956年Eshelby已經(jīng)定義了比J積分更廣泛的積分，并且證明了守恒性。有關(guān)研究證明，J積分在一定條件下有卸載也成立。1.J積分的守恒性的證明(5)用到均勻材料屬性。1722.J積分與K、G的關(guān)系以裂紋尖端為圓心。r為半徑作圓，取該圓為J積分回路，取極坐標(biāo)形式，令因r為定值，W、、都是的函數(shù)，對平面應(yīng)變：平面應(yīng)力平面應(yīng)變173應(yīng)用第一章Ⅰ型裂尖附近的應(yīng)力式（1-16）代入上式把上式帶入J積分中，得第一項積分2.J積分與K、G的關(guān)系174又知積分路徑上的力：位移為2.J積分與K、G的關(guān)系175類似方法可證得平面應(yīng)力情況以上分析可見：線彈性情況下，J積分與應(yīng)變能釋放率相同2.J積分與K、G的關(guān)系1763J積分與能量及COD的關(guān)系1）J與能量的關(guān)系由第一章知，對于固定邊和固定載荷情況：（固定邊取負(fù)，固定力取正）以上僅對線彈性，擴(kuò)充到彈塑性情況，上述SERR的概念不合適，因為裂紋擴(kuò)展時，不可避免的要卸載，應(yīng)變能總要消失，這種變化不能忽略。因此，要比較兩邊界條件完全相同，但有不同裂紋長度的板的能量，通過能量比較來看J積分的物理意義。（為兩板勢能之差）1772）J積分與COD的關(guān)系根據(jù)M-D模型，做如下選擇：由裂紋下表面，緊貼著塑性區(qū)邊，直到裂紋上表面。在ABC上，近似認(rèn)為塑性區(qū)邊界與x軸平行，即dy=0，故3J積分與能量及COD的關(guān)系178又因為的分量，其他為0，的分量v(x)是x的函數(shù)（注意AB段、BC段上）由對稱性：塑性區(qū)是窄尖劈形，B點位移，A點張開位移為,于是有或3J積分與能量及COD的關(guān)系179說明：J積分與COD有一定的關(guān)系，因M-D模型過于簡化，考慮理想塑性區(qū)斷面受常力，而實際上許多材料存在硬化現(xiàn)象，塑性區(qū)斷面受的力是x的函數(shù)，與硬化指數(shù)n有關(guān)，因此上式不能普遍適用，需要COD的降低系數(shù)k（1-3），Robinson指出，k隨著塑性區(qū)的增加而增加，Shih計算，k隨n增加而減小。3J積分與能量及COD的關(guān)系180J積分的重要特性（簡而列之）：

(1)J

積分的守恒性(回路無關(guān)性)；

(2)它代表作用于裂紋尖端的一個廣義力，一般簡稱為裂紋擴(kuò)展力或能量釋放率。對于線彈性固體，J

積分就是能量釋放率G; (3)同彈性裂紋體的應(yīng)力強(qiáng)度因子K一樣，J

積分是裂紋尖端非線性應(yīng)力應(yīng)變場強(qiáng)度的度量; (4)利用M-D模型能得出J積分與COD的定量關(guān)系?？梢园袹積分作為彈塑性裂紋體裂紋開裂的斷裂參數(shù)來建立判據(jù)：

4J積分準(zhǔn)則181優(yōu)點：

J積分理論嚴(yán)格，定義明確。4J積分準(zhǔn)則

比更省時省力，應(yīng)用廣泛。利用FEM可計算各種平面問題的J積分182缺點：

J積分建立在全量理論下，由于裂紋常通過亞臨界擴(kuò)展過程，相當(dāng)于卸載，這不符合全量理論一一對應(yīng)要求；J積分定義限于二維情況；與cod準(zhǔn)則一樣，Jc一般由開裂點確定，這樣數(shù)據(jù)較穩(wěn)定，適合做材料斷裂韌度指標(biāo)，但是裂紋還有承載能力，設(shè)計偏保守。（后來證明，J積分在亞臨界擴(kuò)展初期基本是守恒的，當(dāng)前對三維復(fù)雜裂紋也可以利用改造后的J積分，見，《彈塑性斷裂力學(xué)》，宮木博，日本）4J積分準(zhǔn)則1832.5裂紋尖端的彈塑性應(yīng)力分析1.HRR理論Ⅰ型裂紋問題的求解方法由Hutchinson,Rice和Rosergren提出，故稱HRR解或HRR奇異性，先用J積分守恒性及材料的硬化規(guī)律確定應(yīng)力和應(yīng)變的冪次，然后選擇滿足平衡方程的應(yīng)力函數(shù)，從而求得裂尖的應(yīng)力、應(yīng)變場，最后求出塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子。1）應(yīng)力和應(yīng)變的奇異性選以裂尖為圓心，r為半徑的圓為積分回路，代入J積分184

(a)由J積分的守恒性，當(dāng)時，等式左方有奇異性（即）故等式右方也應(yīng)有這種形式的奇異性，注意到：

是的齊次式，同時討論J的守恒性時，已證明所以也是的齊次式即（a）式右邊都是的齊次式，為保證有奇異性，應(yīng)有1.HRR理論185時，（b）（c）p+g=1.要確定p和g需補(bǔ)充一方程，設(shè)材料遵從Ramberg-Osgood關(guān)系（冪強(qiáng)化材料），一般應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：（d）其中：—簡單拉伸時的屈服應(yīng)力和應(yīng)變。

—分別為相當(dāng)（等效）應(yīng)力和應(yīng)力偏量。上式右端第一、第二項為線性應(yīng)變，第三項為塑性應(yīng)變。Rice等人分析時忽略了線彈性部分，把材料視為剛塑性，于是:1.HRR理論186（e）因為（e）式可寫成在單向拉伸時，把（c）式代入（f）（f）（g）（h）再由p+g=1.所以裂尖附近的應(yīng)力、應(yīng)變分布成以下形式：1.HRR理論187HRR解的強(qiáng)度（彈塑性裂尖應(yīng)力場強(qiáng)度）由J積分來度量。I－查表得到，－角函數(shù)，n＝1時，為線彈性問題注：實際，，由于裂尖r趨于0，很小，在J主導(dǎo)區(qū)內(nèi)，由J衡量。塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子1.HRR理論1882平面應(yīng)力R阻力曲線189在線彈性斷裂力學(xué)中，裂尖區(qū)域應(yīng)力場的漸進(jìn)解：上式是I型裂紋問題應(yīng)力全解略去第二項以后各項的主奇項，它只在裂尖很小的范圍內(nèi)適用。這個用K表征的范圍稱為K控制區(qū)或K主導(dǎo)區(qū)，用RK表示該區(qū)域的尺寸，可通過漸近解與精確解的比較，使其滿足工程應(yīng)用的需要而確定，對于無限大板，緊湊拉伸試樣和三點彎曲試樣，經(jīng)計算，一般當(dāng)RK＝0.02a時即可保證漸近解描述的精度在93%以上。3.K的主導(dǎo)條件190但是值得注意，上式在裂尖塑性區(qū)RP內(nèi)不適用，因為塑性區(qū)內(nèi)材料的本構(gòu)關(guān)系已不是線彈性。因此，為保證K主導(dǎo)區(qū)存在，必須要求：此即為K主導(dǎo)條件，該條件說明只有在小范圍屈服時，由于塑性區(qū)的塑性變形為周圍彈性K場所控制，才可近似地把KI視為裂紋尖端場的唯一量度。當(dāng)然，K主導(dǎo)條件是一個漸近條件，它隨載荷的增加而逐漸被破壞。3.K的主導(dǎo)條件1914J積分主導(dǎo)條件類似地，對冪硬化材料裂紋問題的非線性分析，已導(dǎo)出由J積分表征的HRR奇異場的漸進(jìn)解為：要使J作為裂紋尖端場的唯一量度（即單一參數(shù)），必須要求裂尖的斷裂過程區(qū)（材料實際發(fā)生分離的區(qū)域，已不能用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)來描述）和有限變形區(qū)（尖端鈍化區(qū)）RP,都應(yīng)包括在J主導(dǎo)區(qū)之內(nèi)，即要求192σ0為材料屈服應(yīng)力，dn為一個與σ0/E、n以及應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)的系數(shù)。對于輕度或中等硬化的材料，n=10,或N=0.1,則dn≈0.6，于是δk=0.6根據(jù)McMeeking的研究，對小范圍屈服I型平面應(yīng)變問題，有限變形的影響是小范圍的，僅限于裂尖附近（2～3）δt的范圍。在此范圍以外，按有限變形理論與按小變形理論計算的結(jié)果相差甚微。假定斷裂過程區(qū)也在這個范圍之內(nèi)，則I型平面應(yīng)變J主導(dǎo)條件可具體變?yōu)椋篠hih根據(jù)Rice定義的δt，曾導(dǎo)出J與δt的關(guān)系式4J積分主導(dǎo)條件193第三章斷裂力學(xué)實驗194

斷裂力學(xué)實驗是斷裂力學(xué)的重要組成部分，同時為斷裂力學(xué)的發(fā)展提供科學(xué)依據(jù)和驗證。斷裂力學(xué)實驗的三方面：1）材料性能的測試，即材料破壞與裂紋擴(kuò)展的內(nèi)在條件。如、、、疲勞裂紋擴(kuò)展速率、蠕變裂紋擴(kuò)展速率、動態(tài)斷裂韌度等；2）裂紋尖端能量