高中數(shù)學 1.1.2 余弦定理1 新人教A必修5

1.1.2余弦定理.一、復習回顧：1.正弦定理：2.運用正弦定理解三角形的條件：①已知

，解三角形．②已知

，解三角形．兩角及任意一邊兩邊及其中一邊的對角.二、課題引入——實際情景：我校某研究性學習小組研究三角函數(shù)在實際生活中的應用，在其中一次實踐活動中，他們在烈士公園年嘉湖畔選定A、B、C三點，借助測量工具測得C點與A、B兩點的距離分別約為300米、500米，∠ACB

約為120o，他們將利用數(shù)學知識，求得兩點A、B

之間的距離.CB300500A120o.ΔABC中，AC=300，BC=500，∠ACB

=120o，求AB長.問題：在已知三角形ΔABC的兩邊a、b及其夾角C的條件下，能否利用已學的正弦定理解出三角形呢？二、課題引入——數(shù)學問題：CB300500A120o.1.2.1余弦定理AbaCBcΔABC中，已知a，b，及∠C，求c邊.三、定理探索及證明：.如圖，設=a2+b2－2abcosC

.那么∴c2=

a2+b2－2abcosC

.ABCAbaCBc.c2=

a2+b2－2abcosC，三、定理證明：余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即：在ΔABC中，a2=b2+c2－2bccosA，b2=

a2+c2－2accosB..余弦定理的推論：

，，.三、定理證明：.四、定理剖析：2.運用余弦定理解三角形的條件：

1.余弦定理與勾股定理的關系：勾股定理，指出了

直角

三角形中三邊平方之間的關系；余弦定理指出了

任意

三角形中三邊平方之間的關系．余弦定理是勾股定理的推廣.（1）已知兩邊及其夾角，求第三邊；（2）已知三邊，求任意內角（或其余弦）..五、余弦定理的運用：A300500CB120o【例1】我校某研究性學習小組研究三角函數(shù)在實際生活中的應用，在其中一次實踐活動中，他們在烈士公園年嘉湖畔選定A、B、C三點，借助測量工具測得C點與A、B兩點的距離分別約為300米、500米，∠ACB

約為120o，請利用余弦定理，求得點A、B

的距離..（1）；【例2】在△ABC中，a=3，b=4，c=求三角形的最大內角（2）解三角形.（解決的方法）（2）【方法一】余弦定理

角B(或A).cosA(或cosB)計算器A(或B).（1）；【例2】在△ABC中，a=3，b=4，c=求三角形的最大內角（2）解三角形.（解決的方法）（2）【方法二】正弦定理

角B(或A).sinA(或sinB)計算器A(或B).【練習】1．在△ABC中，下面說法不正確的是（）

A．若a2+b2=c2，則△ABC為直角三角形B．若a2+b2<c2，則△ABC為鈍角三角形C．若a2+b2>c2，則△ABC為銳角三角形D．若△ABC為銳角三角形，則a2+b2>c2C【總結】

在△ABC中，a2+b2=c2∠C為直角；a2+b2<c2∠C為鈍角；a2+b2>c2∠C為銳角..2.在△ABC中，若已知a2－b2－c2+bc=0，則∠A=

.60°.六、正弦定理、余弦定理的選用：【例3】在△ABC中，已知

a=2,

求b邊長.【變式】在△ABC中，已知

a=2，c=3，

求b邊長.ACBac.【方法總結】解三角形時如何選擇正弦定理、余弦定理：1.運用正弦定理的條件：

①已知兩角與一邊；

②已知兩邊及其中一邊的對角.2.運用余弦定理的條件：

①已知兩邊及夾角；

②已知三邊；③已知兩邊及其中一邊的對角（解方程）..

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，求角B的大小.【思路一】利用正弦定理邊化角；【思路二】利用余弦定理角化邊