高數(shù)上-2012年11月8日條子題

195頁思考題B1p180-4(3)B1p181-

用達布定理證明柯西中值定 相減等價代換 書上181頁1、請問第5題可否直接求出其導29題（1）可否用一下方法明a

x,

sinb

x,

cossin

cosb,ab2b1p181-

2Pxx2顯

1x2

4P2

P1

P1

P2根據(jù)Rolle定理

2,1,x21,1,x312, 使Px1

0,Px2

0,Px3

Px

是三次方程多三個根

Px

的三個根b1p181-(1

fx x 則fx x0,1.又fx

在 連續(xù),所fxf0(2fx x x又fx所

在

連續(xù)fx

f0

即arctan

arcsin

x,,11x2輔助函則

gx

ex

x,ga

gb

根據(jù)Rolle

ab, g

又因gx所

ex

x

fx,g

0

f

f

這意味著

fx

fx a,b

內(nèi)至少有一個實B1p180-4(3)設

b a

lna

a

x

ln

fx在間ba上連續(xù),在區(qū)間ba內(nèi)可baln即

lnb

1(ab)1(ab)lnalnb1(ab) 即a

lna

a B1p181- sinAsinBsinCsinx2sinA2A,sinB2B,sinC2

A

BC195頁思考limn

1

e, ,tn解 tn

n

limn

1

e

1tt 1tt又因為ln1tt,et1

t,

所11

1tte

e

ln1ttt2

ee1ln1t1

e

1ln1t 從此U等式式串的兩端11

1tte

e

ln1ttt2232再用洛必達法232

ln1ttt2

2t

聯(lián)合(1),(2),(3)即limn

1

1 b1pP187-22lime

令t

1,2x2

0

t

lim t

1 tt 50 50tt t

t

b1pP187-11別對兩個分式求極回答通分,直接相減 屬于不確定能計lim

1

y1 ln令xy 則lim

1

limx1

ln

limxx1lnx1

xlnx1limxx1lnx1

lnx1

如果在x

fx,gxhx

都是無窮小量,并且

x

f1x

gx

g1xfx

gx

fxgx

f1xg1xx

hx

x

hx

gx

g1xx0f

x

f1x所以

fxgxx

hx

fxgx

f1xg1xx

f1xg1x

hx解

fx1gx

f1x

xfxfx1

fx1g1x

fx

lim1gx

lim flim

xxfxf

f1x

lim1g1x

x

f1x因limgx

g1xx0

fx

x0

f1x gx

x

gx

gx

x0g1x

lim x0

fx

fx

fx

x0

f1x x0f1x從此U等式串的兩端即limgx

g1xx0故

fx

x0

f1xxfxlim1xfx

1limg lim1g1x

x0fx11x0fx1x

f1x

x0f1x又limfx

于x0

f1x

fx1gx

f1x

x

f1x

xfxfxf11

fx1g1x

x0

hxb1pP188-lim1x2ex2

lim1x2ex2ux2

xsin3

lim1ue

limeu 2u212b1p187-limxlnx

lnx

xx00

x

x00

b1p187-第一步用 抬起

tanx2x

lime2xlntanx2 x x2 第二步準2u2原

lime2ulncotu第三步指數(shù)部分的極limucotulim

,u所以cotu 1,ulimulncotulimuln limulnu第四步指數(shù)部分的極限抬起2x2

tanx2x

lime2ulncotuu00

b1p187-令x

則ylimyarcsinylimyarcsin

sin3

y3limsinxxlim

3x2

6 63x2

b1p181-證法分兩步一步于任意給的

fa

fb, 假定fa fb的特殊

a,b使得f

事實上因

fxfa

faxa0

x所以x

與 充分接時，

fx

fa

；同理fb知x 且 與 充接近時

fx

fb

fx在端點ab處不取最小值．fx

連續(xù)，它在閉區(qū)間[a上有最小值．所

a,b使得

axb

x

據(jù)值必要

f

第二步一般情 fa

fb.令Fx

fx

則FxFaFb

fxfafb

對Fx 用已經(jīng)證明的特殊況結(jié)果a,b即

使得F

f

0f

證法二考慮存在一段弦的斜率此、構(gòu)造各弦的斜率并用作函fxfa

,,x(a,,Fx..

xafa,xfbfx

,x[a,Gx

bxfb,x由條件

FxGx 均[a 上連續(xù)由連續(xù)函數(shù)的中值定理

Fx

可以取Fa 也就

Fb

之間的一切值,Fx

可以取

fa fbfaba

之間的一切Gx

可以取fbfaba

到fb

之間的分兩種情fa

fbf

fxfa xfbfaba

fb

fxfaxa再用微分中值定

a,b,使得f

fxfaxa

引申用定理證明柯西中值定fbfagbga

fg.反證.

xa,b,fxgx

fbfagbga記fbfagbga記

Fx

fx

gx.則fxgx則

Fx

fx

gx

0,xa,b.根據(jù)定理

Fx a,b

內(nèi)不變

Fx [a 上嚴格增加或嚴格下是FbFafb

gb

f

a

gafb.

a

gb

ga

.故a,b, 使.fbfagbga

fgb1p216-設fx

ab

上連續(xù)a,b

上二階可

f

x

xab, fa

fb

證明

x

xa,b.證因為f

x

fxab

上不變號fx

嚴格單調(diào)增加或嚴格單下降都.b1p216-xxxx1 x

fa

fbxxxxxx22

1

4x

xx2xx2

2,

11

x. xx2xx2

404xx2xx2

11xx2 xx2xxxx2

x0

4lim4xxx2x

x

lim b1p216-設fx

ab

上連續(xù)a,b

上二階可xx1xx1 x

fb

cab,

使得

c

求證

ab, 使f

x0圖所

ac, 使f

fc

c,b,

ca使f

fc

對fx

cb應用拉格朗日

12, 使f

x0

f2f12

引申

fx ,

上二階可導lim

x

lim

x

又

使得

c

使得f

x0

x2 ，使

c

，且滿fx1

fc,

fx2fc又fx 在,存在二階導數(shù)，

fx

分別x1,c, c,x2日中值定理得

上應用拉格

x1c, 使f

fc

c,x2,

使f

fc

對fx

x2應用拉格朗日

12, 使f

x0

f2f12

b1p216-8證明：若函

fx于有限ab

內(nèi)可微，但則其導函

fx

也命題是否成立請證明或舉反例用反證法

fx

ab內(nèi)有界

M 使fx

xa,b.由拉格朗日中值定x0x之間存在 fx

x0

f

x

Mba從fx

fx0

fx

x0

Mba故fx

fx0

Mba.此與已

fx

相．fx 逆命題不一定正確．例fx

sin

0

內(nèi)有界,x2但其導,x2fx卻

1cos2xx2xfx

lnx

在1, 內(nèi)界，但其導函

fx在區(qū)間1

內(nèi)卻是xxb1p216-設fx 在, 內(nèi)lim

x

limx

x求fc

c , 使證法一Alim

x

limx

x.如果

x

結(jié)論顯然成否則x0

使得

x0A.則不妨則

fx0

(如圖所記

fx0A,A,

fx0因為lim1x1

x

所

x

使得

x

, 據(jù)連續(xù)函數(shù)中間值定 fxfx xxx, 使得fx

同理,因

lim2x2

x

所

x

使得

x

.根據(jù)連續(xù)函數(shù)中間值定 fxfx xxx,

x2

在閉區(qū)間x1x2

Rolle值定cx1,x2,

使得fc

證法二變量替換

tant,

,

, 輔助函def

A,

2gt2

ftant,t

, 2 A,t2gt

,

,

可導， gg gt

,

Rolle值定知, 使 g

g

ftansec2

0ftan

于是取ctan, 即fc

評注題稱為無窮區(qū)間上的羅爾b1p216-設fx

x0

h,

hh0

內(nèi)可導,證明: 0 使fx0

h

x0

hx0

fx0

證法一0

t

在0h慮輔助函Ft

fx0

t

x0

t顯然Ft

在0h

0h

內(nèi)可導，F(xiàn)t

fx0

t

fx0

t.Ft

在0h

上,應用分中值

0h, 使Fh

F0

F fx0

h

x0

hx0

fx0

h令h

,則

故fx0

h

x0

hx0

h

fx0

證法 f

hfx

h

x0

tx0

ftdt

x0

x0

t

ftdt

x0

x0

ttx0 ftdt

udu00hxh 00hh h0fx0udu0tx0x0 00 ftdt 00

x0

udthfx0h

h

x0

h h h

x0

udu

f

x0

udt hfxufxudu0 x0

fx0

0b1P217-當

fx

在[a, 上續(xù)時

fx

也在[a, 連續(xù)

fx

在[a, 有最大值此最大值為M則對x1

[a,fx2

fx1

f

x1,其中 介

之間fx2

f

x2Mx2x1以上說

fx

在[a, 滿足茨條件不一定.例

fxfx2

故fx

在任一個閉區(qū)間上 茨條件,特別在上滿足茨條件,

fx

上不可導,所

fx[a續(xù)

上不存在,更談不上

fx

在 上連x2x2 fxfx2x2 因為當x10,x2 故不存

L 使 即fx

[a

上不b1P217-先不妨

a

如圖所示Px

函數(shù)值為負的駐點,ap ,ap并AmaxPa1,Pa2, ,Pap,,

Px

函數(shù)值為正的駐并

BminPb1,Pb2, ,Pbq顯然Ak

BPx

k全是單事實上,否則x0 使Px0k,Px0這時

k

則一方面因

Px

函數(shù)值為正的駐點,Px0另一方面

Px0k 同理

k

則一方面因

Px

函數(shù)值為負的駐點,Px0另一方面

Px0k 今已

Px

全是單Ab又0

b

Ac 故Px

全是單根即Px

全是單根再考慮

a

時 PxPx這Pb

Pab

Pxba

Px 全a

b0

ca

b根據(jù)特殊情況的證明結(jié)Px

c

全是單根Px

全是單求

axbxcx31

x11lnaxbxcx1x0因

abc 3

lime x0axbxcx

1

axbxcx

1,

axbxcx

所ln

axbxcx3 ln1

axbxcx

1

axbxcx

lim

ln1

axbxcx

2x0 2lim

axbxcx

x0 進一步

ex1x,x 所ax1

exln

1

xlnx同bx1

xln

xcx1

xlnc,

x故lim1axbx

1lnx0

lim1ax1

bx1

cx1

lim1xln

xln

xlncx0

x0

從此U等式串的兩端即lim

axbxcx

1

13x0 3聯(lián)立(1)，(2),(3

1lnx0

a