北師大選修空間向量運算的坐標(biāo)表示張

會計學(xué)1北師大選修空間向量運算的坐標(biāo)表示張第1頁/共30頁一二三思考辨析一、向量加減法和數(shù)乘的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2),即空間兩個向量和的坐標(biāo)等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的和.(2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2),即空間兩個向量差的坐標(biāo)等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的差.(3)λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R),即實數(shù)與空間向量數(shù)乘的坐標(biāo)等于實數(shù)與向量對應(yīng)坐標(biāo)的乘積.(4)若b≠0,則a∥b?a=λb?x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).(5)設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則

=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),空間向量的坐標(biāo)等于終點與起點對應(yīng)坐標(biāo)的差.第2頁/共30頁一二三思考辨析名師點撥1.空間向量的坐標(biāo)運算類似于平面向量的坐標(biāo)運算,只是由二維變成了三維,所以空間向量的坐標(biāo)運算與平面向量的坐標(biāo)運算類似.2.理解共線向量定理的條件和結(jié)論,在用坐標(biāo)表示時,要注意等價變形.3.已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若b1,b2,b3都不為0,則a∥b?第3頁/共30頁一二三思考辨析【做一做1】

已知向量a=(3,2,-1),b=(2,1,5),則a+b=

,a-b=

,2a-3b=

.

解析:a+b=(3,2,-1)+(2,1,5)=(5,3,4),a-b=(3,2,-1)-(2,1,5)=(1,1,-6),2a-3b=2(3,2,-1)-3(2,1,5)=(6,4,-2)-(6,3,15)=(0,1,-17).答案:(5,3,4)

(1,1,-6)

(0,1,-17)【做一做2】

已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),則使(ka+b)∥(a-3b)成立的k的值為

.

解析:ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),a-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5)=(7,-4,-16).∵(ka+b)∥(a-3b),第4頁/共30頁一二三思考辨析二、數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則a·b=x1x2+y1y2+z1z2,空間兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和.【做一做3】

已知a=(-2,5,3),b=(-4,2,x),且a·b=0,則x=(

)A.-4 B.-6C.-8 D.6解析:a·b=-2×(-4)+5×2+3x=0?x=-6.答案:B第5頁/共30頁一二三思考辨析三、空間向量長度與夾角的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則(3)a⊥b?x1x2+y1y2+z1z2=0.第6頁/共30頁一二三思考辨析【做一做4】

若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a與b的夾角的余弦值為,則λ等于(

)解析:因為a·b=1×2+λ×(-1)+2×2=6-λ,答案:C第7頁/共30頁一二三思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(3)空間向量a=(1,1,1)是一個單位向量.(

)(4)若a,b為空間向量,則(a+b)·(a-b)=a2-b2.(

)×××√第8頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析向量運算的坐標(biāo)表示【例1】

已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,3a+2b,a·b.解:因為a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),所以a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1+(-1),-2+4)=(2,-2,2);a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1-(-1),-2-4)=(2,0,-6);3a+2b=3(2,-1,-2)+2(0,-1,4)=(3×2,3×(-1),3×(-2))+(2×0,2×(-1),2×4)=(6,-3,-6)+(0,-2,8)=(6,-5,2);a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=0+1-8=-7.第9頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析反思感悟空間向量的坐標(biāo)運算方法1.在運算中注意相關(guān)公式的靈活運用,如(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,(a+b)·(a+b)=(a+b)2等;2.進(jìn)行向量坐標(biāo)運算時,可以先代入坐標(biāo)再運算,也可先進(jìn)行向量式的化簡再代入坐標(biāo)運算,如計算(2a)·(-b),既可以利用運算律把它化成-2(a·b),也可以先求出2a,-b后,再求數(shù)量積.計算(a+b)·(a-b),既可以先求出a+b,a-b后,再求數(shù)量積,也可以把(a+b)·(a-b)寫成a2-b2后計算.第10頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練1已知在空間直角坐標(biāo)系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).解:(1)因為A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),第11頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析第12頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析空間向量的平行與垂直【例2】設(shè)向量a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求滿足下列條件時,實數(shù)x的值.(1)a∥b;(2)a⊥b.解:(1)①當(dāng)x=0時,a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b,滿足a∥b.②當(dāng)x=1時,a=(1,1,0),b=(0,-3,2),不滿足a∥b,∴x≠1.③當(dāng)x≠0,且x≠1時,綜上所述,當(dāng)x=0或x=2時,a∥b.第13頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析(2)a⊥b?a·b=0,∴(1,x,1-x)·(1-x2,-3x,x+1)=0?1-x2-3x2+1-x2=0,反思感悟要熟練掌握向量平行和垂直的條件,借助此條件可將立體幾何中的平行垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運算.在應(yīng)用坐標(biāo)形式下的平行條件時,一定注意結(jié)論成立的前提條件,在條件不明確時要分類討論.第14頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練2已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,求x,y的值.解:∵a∥b,∴a=λb.第15頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析空間向量長度與夾角的坐標(biāo)表示【例3】

在長方體OABC-O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,E是BC的中點,建立空間直角坐標(biāo)系,用向量方法解決下列問題:(1)求直線AO1與B1E所成角的余弦值;(2)作O1D⊥AC于點D,求點O1到點D的距離.解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.第16頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析(1)由題意得A(2,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0).第17頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析反思感悟當(dāng)題中的幾何體為正方體、長方體、直三棱柱等時,常選擇建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運算來解決有關(guān)長度、夾角、平行或垂直等問題;有時也可以不建系,利用基底來求解,但比較麻煩.第18頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練3在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是D1D,BD的中點,G在棱CD上,且CG=CD,H為C1G的中點,求解下列問題:(1)求證:EF⊥B1C;(3)求FH的長.解:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,D為坐標(biāo)原點,第19頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練3在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是D1D,BD的中點,G在棱CD上,且CG=CD,H為C1G的中點,求解下列問題:(1)求證:EF⊥B1C;(3)求FH的長.解:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,D為坐標(biāo)原點,第20頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析第21頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析忽視兩個向量夾角為銳角(鈍角)的條件致誤【典例】

已知a=(5,3,-1),b=,若a與b的夾角為銳角,求實數(shù)t的取值范圍.易錯分析:由a與b的夾角為銳角,得到a·b>0,但當(dāng)a·b>0時,a與b的夾角不一定為銳角,還可能是共線同向,夾角為0°,解題時容易忽視這個條件,導(dǎo)致擴(kuò)大了參數(shù)的范圍.第22頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析糾錯心得空間向量a,b夾角為銳角的充要條件是“a·b>0,且a,b不同向”;a,b夾角為鈍角的充要條件是“a·b<0,且a,b不反向”.如果在求解過程中,忽視兩個向量共線的情況,就有可能擴(kuò)大參數(shù)的取值范圍,導(dǎo)致錯誤.第23頁/共30頁探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a與b的夾角為鈍角,則x的取值范圍是

.

解析:∵a與b的夾角為鈍角,∴a·b<0,∴3×(-1)+(-2)×(x-1)+(-3)×1<0.第24頁/共30頁12341.已知a=(1,0,-1),b=(1,-2,2),c=(-2,3,-1),那么向量a-b+2c=(

)A.(0,1,2) B.(4,-5,5)C.(-4,8,-5) D.(2,-5,4)解析:a-b+2c=(1,0,-1)-(1,-2,2)+2(-2,3,-1)=(-4,8,-5).答案:C第25頁/共30頁12342.已知a=(λ+1,0,