山西省呂梁市莊上中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

山西省呂梁市莊上中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在ABC中，AB=AC=2，B=30o，P為BC邊中線上的任意一點(diǎn)，則的值為(A)-12

(B)-6

(C)6

(D)12參考答案：B2.設(shè)，則“”是“”的

(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A3.已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x＜} D．{x|0≤x＜}參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】先求出集合A，B，由此利用交集性質(zhì)能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2x﹣1＜0}={x|x＜}，B={x|0≤x≤1}，∴A∩B={0}．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運(yùn)用．4.已知雙曲線，其右焦點(diǎn)為，為其上一點(diǎn)，點(diǎn)滿足=1，，則的最小值為 （

）A

3

B

C

2 D

參考答案：B5.如果是二次函數(shù),且的圖象開(kāi)口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,）,那么曲線上任一點(diǎn)的切線的傾斜角的取值范圍是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A6.已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為A．

B．

C．

D．參考答案：D7.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用(萬(wàn)元)4235銷售額(萬(wàn)元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為萬(wàn)元時(shí)銷售額為(

)(A)萬(wàn)元

(B)萬(wàn)元

(C)萬(wàn)元

(D)萬(wàn)元參考答案：8.定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）

A．B．

C．D．參考答案：D由題意可知，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且周期為2，故可畫(huà)出它的大致圖象，如圖所示：∵且,而函數(shù)在是減函數(shù)，∴，選D.

9.向量，滿足=（1，），||=1，|+2|=2，則向量與的夾角為（）A．45° B．60° C．90° D．120°參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)向量模長(zhǎng)和向量數(shù)量積的關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵=（1，），∴||==2，∵|+2|=2，∴平方得||2+4||2+4?=12，即4+4+4?=12，則4?=4，?=1，則cos＜，＞==，則＜，＞=60°，故選：B10.已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，若，則t＝_______．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算【試題解析】由題知：若，則

故答案為：12.已知數(shù)列是無(wú)窮等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和是，若，，

則的值為

.參考答案：由，，得，所以。13.已知直三棱柱中，，側(cè)面的面積為，則直三棱柱外接球表面積的最小值為

．參考答案：試題分析：根據(jù)題意，設(shè)，則有，從而有其外接球的半徑為，所以其比表面積的最小值為.考點(diǎn)：幾何體的外接球，基本不等式.14.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______.參考答案：415.已知函數(shù)，則

.參考答案：考點(diǎn)：分段函數(shù)的有關(guān)知識(shí)及綜合運(yùn)用．16.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)中，過(guò)點(diǎn)（3，0）且與極軸垂直的直線的極坐標(biāo)方程為_(kāi)_________.參考答案：

17.在正三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB、側(cè)面SAC、側(cè)面SBC兩兩垂直，且側(cè)棱，則正三棱錐外接球的表面積為_(kāi)___________.參考答案：因?yàn)閭?cè)面SAB、側(cè)面SAC、側(cè)面SBC兩兩垂直，所以把正三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，則正方體的體對(duì)角線等于外接球的直徑，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知某山區(qū)小學(xué)有100名四年級(jí)學(xué)生，將全體四年級(jí)學(xué)生隨機(jī)按00～99編號(hào)，并且按編號(hào)順序平均分成10組．現(xiàn)要從中抽取10名學(xué)生，各組內(nèi)抽取的編號(hào)按依次增加10進(jìn)行系統(tǒng)抽樣.（1）若抽出的一個(gè)號(hào)碼為22，則此號(hào)碼所在的組數(shù)是多少？據(jù)此寫(xiě)出所有被抽出學(xué)生的號(hào)碼；（2）分別統(tǒng)計(jì)這10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，獲得成績(jī)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖4所示，求該樣本的方差；（3）在（2）的條件下，從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名成績(jī)不低于73分的學(xué)生，求被抽取到的兩名學(xué)生的成績(jī)之和不小于154分的概率．參考答案：

試題解析：（1）由題意，得抽出號(hào)碼為22的組數(shù)為3.

（2分）因?yàn)?＋10×(3－1)＝22，所以第1組抽出的號(hào)碼應(yīng)該為02，抽出的10名學(xué)生的號(hào)碼依次分別為：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.

（4分）（2）這10名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)椋骸?81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，

（6分）故樣本方差為：（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52.（8分）19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求證：AD⊥PB；（Ⅱ）在線段PA上是否存在一點(diǎn)M，使二面角M﹣BC﹣D的大小為，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（I）過(guò)B作BO∥CD，交AD于O，連接OP，則AD⊥OB，由勾股定理得出AD⊥OP，故而AD⊥平面OPB，于是AD⊥PB；（II）以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)M（m，0，n），求出平面BCM的平面ABCD的法向量，令|cos＜＞|=cos解出n，從而得出的值．【解答】證明：（I）過(guò)B作BO∥CD，交AD于O，連接OP．∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB，∴四邊形OBCD是矩形，∴OB⊥AD．OD=BC=2，∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP==2．∴OP2+OD2=PD2，∴OP⊥OD．又OP?平面OPB，OB?平面OPB，OP∩OB=O，∴AD⊥平面OPB，∵PB?平面OPB，∴AD⊥PB．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OA⊥AD，∴OP⊥平面ABCD．以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則B（0，，0），C（﹣2，，0），假設(shè)存在點(diǎn)M（m，0，n）使得二面角M﹣BC﹣D的大小為，則=（﹣m，，﹣n），=（﹣2，0，0）．設(shè)平面BCM的法向量為=（x，y，z），則．∴，令y=1得=（0，1，）．∵OP⊥平面ABCD，∴=（0，0，1）為平面ABCD的一個(gè)法向量．∴cos＜＞===．解得n=1．∴==．20.如圖，四棱臺(tái)中，底面，平面平面為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若，且，求點(diǎn)到平面的距離.參考答案：（1）證明：連接，∵為四棱臺(tái)，四邊形四邊形，∴，由得，，又∵底面，∴四邊形為直角梯形，可求得，又為的中點(diǎn)，所以，又∵平面平面，平面平面，∴平面平面，∴；（2）解：在中，，利用余弦定理可求得，或，由于，所以，從而，知，又∵底面，則平面底面為交線，∴平面，所以，由（1）知，∴平面（連接），∴平面平面，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則平面，在中可求得，所以，所以，點(diǎn)到平面的距離為.21.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(Ⅰ)若A∩B＝[0,3]，求實(shí)數(shù)m的值；(Ⅱ)若A??RB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：解由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，

B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[0,3]，∴∴m＝2.

…………6分(2)?RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}，∵A??RB，

∴m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.

…………12分22.在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2asinθ（a＞0）．以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的普通方程；（Ⅱ）若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且．求實(shí)數(shù)a的取值范圍？參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，消去參數(shù)即可求直線l的普通方程；（Ⅱ）利用直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ=2asinθ（a＞