離散傅里葉變換

第3章離散傅里葉變換3.1傅里葉變換的幾種形式3.2離散傅里葉級數(shù)3.3離散傅里葉變換3.4頻域采樣理論3.5DFT的應(yīng)用傅里葉生平1768年生于法國1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”1829年狄里赫利第一個給出收斂條件拉格朗日反對發(fā)表1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中傅里葉的兩個最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”——傅里葉的第一個主要論點(diǎn)“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個主要論點(diǎn)傅里葉變換是在傅里葉正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，傅里葉變換建立了以時間t為自變量的“信號”與以頻率f為自變量的“頻率函數(shù)”（頻譜）之間的某種變換關(guān)系，可以將信號從時域映射到頻域。由于采用頻域分析方法較之經(jīng)典的時域方法有許多突出的優(yōu)點(diǎn)，傅里葉分析方法已經(jīng)成為信號分析與系統(tǒng)設(shè)計不可缺少的重要工具?？紤]到信號時域和頻域都有連續(xù)和離散兩種情況，因此存在四種形式的傅里葉變換對。到目前為止，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三種形式的傅里葉變換：（1）周期連續(xù)信號的傅里葉級數(shù)，這個周期連續(xù)信號的頻譜系數(shù)在頻域上是離散的、非周期的。（2）非周期連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換，這個傅里葉變換的結(jié)果在變換域的頻譜是連續(xù)的、非周期的。（3）非周期離散序列的離散時間傅里葉變換，這種傅里葉變換的頻譜是連續(xù)的、周期的。其中，第一種和第二種變換都是針對連續(xù)時間信號的，而第三種變換是針對離散時間信號的。回想這三種傅里葉變換，我們不難驗(yàn)證，通過傅里葉變換或傅里葉逆變換后，時域中的一個周期函數(shù)對應(yīng)頻域中的一個離散序列，時域中的一個非周期函數(shù)對應(yīng)頻域中的一個連續(xù)函數(shù)，反過來也是一樣，即周期離散非周期連續(xù)以上三種傅里葉變換，盡管在理論上有重要意義，但在實(shí)際中往往難于實(shí)現(xiàn)，尤其在數(shù)字計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)是困難的，因?yàn)樗鼈兛傆幸粋€域是連續(xù)的。為此我們需要一種時域和頻域上都是離散的傅里葉變換對，這就是離散傅里葉變換，簡稱DFT。離散傅里葉變換的導(dǎo)出可以有各種方法，比較方便、同時物理意義也比較清楚的是從離散傅里葉級數(shù)著手。由于時域和頻域都是離散的，因而這種傅里葉變換對有其特殊的性質(zhì)，這些性質(zhì)使離散傅里葉變換在實(shí)際應(yīng)用中會存在一些特殊問題，因此有必要對它們進(jìn)行仔細(xì)的了解。離散傅里葉變換由于有快速計算方法，因而不僅有理論意義，也有實(shí)際意義，在數(shù)字信號處理實(shí)現(xiàn)中起著重要的作用。為了對各種形式的傅里葉變換有個總體認(rèn)識，我們在這一章的開始首先回顧各種傅里葉變換，這樣也就明確了DFT在傅里葉變換中所占的地位和研究DFT的目的。然后，我們再了解DFT是怎樣導(dǎo)出的，為此我們先講述離散傅里葉級數(shù)，在得到DFS之后，DFT也就隨之得到了。接下來，我們要研究DFT的性質(zhì)和應(yīng)用，最后還要講述DFT解決具體問題時所遇到的一系列技術(shù)性問題，這是這一部分的難點(diǎn)。3.1傅里葉變換的幾種形式3.1.1連續(xù)時間、周期信號的傅里葉級數(shù)3.1.2連續(xù)時間、非周期信號的傅里葉變換3.1.3離散時間、非周期信號的傅里葉變換3.1.4離散時間、周期信號的離散傅里葉級數(shù)在深入討論離散傅里葉變換DFT之前，先概述四種不同形式的傅里葉變換對。一、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)直流分量基波分量n=1

諧波分量n>13.1.1連續(xù)時間、周期信號的傅里葉級數(shù)直流系數(shù)余弦分量系數(shù)正弦分量系數(shù)周期信號的頻譜Fn為展開式中各頻率分量的幅度，一般是復(fù)函數(shù)二、復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)周期信號頻譜的數(shù)學(xué)表達(dá)式信號的頻譜:振幅譜,相位譜.f(t)tT解:(n為奇數(shù))(n為偶數(shù)為0)例1：計算下圖傅里葉級數(shù)和頻譜(n為奇數(shù))(n為偶數(shù)時為0)單邊譜和雙邊譜三、三角函數(shù)級數(shù)與復(fù)指數(shù)級數(shù)的關(guān)系由前知由歐拉公式其中引入了負(fù)頻率指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系積分區(qū)間不一樣，[0,T];[-T,0]雙邊傅里葉級數(shù)單邊傅里葉級數(shù)3.1.1連續(xù)時間、周期信號的傅里葉級數(shù)傅立葉系數(shù)Fk表示組成周期信號f(t)的各個復(fù)指數(shù)分量之復(fù)數(shù)幅度傅立葉系數(shù)Fk表示組成周期信號f(t)的各個復(fù)指數(shù)分量之復(fù)數(shù)幅度傅立葉系數(shù)Fn表示組成周期信號x(t)的各個復(fù)指數(shù)分量之復(fù)數(shù)幅度周期信號的幅度譜只會出現(xiàn)在離散頻率點(diǎn)上，這種譜稱為離散譜，它是周期信號頻譜的主要特點(diǎn)。圖3-1連續(xù)時間信號傅里葉變換對示意圖可以看出，對于一個以T為周期的周期矩形脈沖信號，可以利用傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式方便地分析出其離散頻譜?；l越低（即周期T越長）其頻譜的譜線越密。對于一個周期信號，一般可以分解成直流分量、基波和無窮多個高次諧波分量的疊加。各次諧波的頻率是基頻的整數(shù)倍；各次諧波的振幅一般也不同，通常高次諧波分量的幅值較小。3.1.2連續(xù)時間、非周期信號的傅里葉變換此外需要指出的是，從頻譜圖可以看出，非周期信號的頻率成分遍布整個頻率軸，但信號的能量主要集中在頻譜函數(shù)的第一個零點(diǎn)以內(nèi)的頻率范圍上?？茖W(xué)界通常規(guī)定這個頻率范圍為信號的頻帶寬度，簡稱帶寬，記為其中τ為脈沖寬度，也就是信號的持續(xù)時間。很明顯，信號的持續(xù)時間與其頻帶寬度成反比。這就是為什么如果我們?yōu)榱颂岣咝盘杺鬏斔俾?，即壓縮信號的持續(xù)時間，就必須拓寬傳輸線路的帶寬?？梢?，非周期信號（如單個矩形脈沖）的頻譜是連續(xù)曲線。與相應(yīng)的周期函數(shù)（如周期矩形脈沖）的離散頻譜的包絡(luò)變化一致。再一次顯示周期函數(shù)與非周期函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。3.1.3離散時間、非周期信號的傅里葉變換表3-1 三種傅里葉變換形式的歸納

時

域頻

域FS連續(xù)，周期離散，非周期FT連續(xù)，非周期連續(xù)，非周期DTFT離散，非周期連續(xù)，周期將以上三種傅里葉變換時域和頻域?qū)?yīng)關(guān)系歸納為表3-1。3.1.4離散時間、周期信號的離散傅里葉級數(shù)前面討論的三種傅里葉變換對，都不適用在計算機(jī)上運(yùn)算。我們感興趣的是時域及頻域都是離散的情況，這就是離散傅里葉級數(shù)（變換）（DFS）。根據(jù)以上討論，時域離散信號其頻譜具有周期性，同時為使頻域離散，則信號時域必須具有周期性。因此，DFS必是一種時域、頻域均為離散和周期的一種傅里葉變換。3.2離散傅里葉級數(shù)3.2.1離散傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)3.2.2離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)3.2.1離散傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)

正如連續(xù)時間周期信號可以用傅里葉級數(shù)表示一樣，離散周期序列也可以用離散傅里葉級數(shù)表示，也就是用周期為N的復(fù)指數(shù)序列來表示。

表3-2表示了連續(xù)周期信號與離散周期序列的復(fù)指數(shù)對比。表3-2

連續(xù)周期信號與離散周期序列的復(fù)指數(shù)對比連續(xù)周期函數(shù)FS（3-1）離散周期序列DFS（3-7）科學(xué)上定義為離散時間周期序列的離散傅立葉級數(shù)系數(shù)（DFS），記為其逆變換即上述兩式構(gòu)成一個離散周期信號的離散傅立葉級數(shù)對。它們都是以N為周期的離散周期序列。注意：離散傅立葉級數(shù)（DFS）由于是有限項(xiàng)求和，所以總是收斂的時域、頻域都具有離散、周期特性。圖3-2的幅度特性可見，離散時間周期序列的頻譜也是頻域的離散周期序列。離散傅立葉級數(shù)（DFS）對周期序列實(shí)現(xiàn)了時域離散和頻域離散的對應(yīng)關(guān)系。3.2.2離散傅里葉級數(shù)系數(shù)的性質(zhì)1．線性2．移位特性3．周期卷積3.3

離散傅里葉變換（DFT）--有限長序列的離散頻域表示3.3.1從離散傅里葉級數(shù)到離散傅里葉變換3.3.2DFT和Z變換、DTFT之間的關(guān)系3.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)3.3.1從離散傅里葉級數(shù)到離散傅里葉變換由上一節(jié)的討論可知，周期序列實(shí)際上只有有限個序列值有意義，因而它和有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。本節(jié)將根據(jù)周期序列和有限長序列之間的關(guān)系，由周期序列的離散傅里葉級數(shù)表示式推導(dǎo)得到有限長序列的離散頻域表示即離散傅里葉變換（DFT）。

一.預(yù)備知識

1.余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式如果，

m為整數(shù)；則有：此運(yùn)算符表示n被N除，商為m，余數(shù)。

例如：

(1)(2)先取模值，后進(jìn)行函數(shù)運(yùn)算;而 視作將周期延拓。2.二.有限長序列x(n)和周期序列的關(guān)系

=,0nN-10,其他n周期序列是有限長序列x(n)的周期延拓。有限長序列x(n)是周期序列的主值序列。圖3-4有限長序列及其周期延拓定義從n=0到（N-1）的第一個周期為主值序列或區(qū)間。三.周期序列與有限長序列X(k)的關(guān)系同樣，周期序列是有限長序列X(k)的周期延拓。而有限長序列X(k)是周期序列的主值序列。四.從DFS到DFT從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行。因此可得到新的定義，即有限序列的離散傅氏變換(DFT)的定義:,0kN-1,0nN-1或者：注意：DFT適應(yīng)于有限長序列，長度為N的有限長序列x(n)，離散傅里葉變換X(k)仍然是長度為N的有限長序列。例3-23.3.2DFT和Z變換、DTFT之間的關(guān)系圖3-5DFT與Z變換和序列傅里葉變換的關(guān)系圖3-6幾種幅度特性曲線3.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)本節(jié)討論DFT的一些性質(zhì)，它們本質(zhì)上和周期序列的DFS概念有關(guān)，而且是由有限長序列及其DFT表示式隱含的周期性得出的。以下討論的序列都是N點(diǎn)有限長序列，用DFT［·］表示N點(diǎn)DFT，且設(shè)1．線性（3-24）式中，a，b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。若兩個序列長度不等，取長度最大者，將短的序列通過補(bǔ)零加長，注意此時DFT與未補(bǔ)零的DFT不相等。2．圓周移位（1）圓周移位定義。圖3-7圓周移位過程示意圖（N=6）（2)時域圓周移位定理（2)時域圓周移位定理3．圓周卷積圖3-8圓周卷積示意圖(N=7)4．共軛對稱性（1）圓周共軛對稱和圓周共軛反對稱（2）實(shí)序列DFT的對稱性（3）任意序列DFT的對稱性3.4頻域采樣理論3.4.1頻域采樣3.4.2內(nèi)插恢復(fù)離散傅里葉變換相當(dāng)于信號傅里葉變換的等間隔采樣，也就是說離散傅里葉變換實(shí)現(xiàn)了頻域的采樣，便于計算機(jī)計算。那么是否任一序列都能用頻域采樣的方法去逼近呢？能否由頻域采樣值來恢復(fù)原來的信號（或頻率函數(shù)），其限制條件是什么，內(nèi)插公式又是什么？這是我們這一節(jié)要討論的問題。3.4.1頻域采樣圖3-10頻域采樣點(diǎn)數(shù)N<M時頻域恢復(fù)情況示意圖3.4.2內(nèi)插恢復(fù)圖3-11內(nèi)插函數(shù)的零極點(diǎn)圖3-12內(nèi)插函數(shù)幅度特性與相位特性(N=5)內(nèi)插函數(shù)的另一重要特點(diǎn)是具有分段線性相位特性。圖3-13由內(nèi)插函數(shù)求頻率響應(yīng)的示意圖3.5DFT的應(yīng)用3.5.1用DFT計算線性卷積3.5.2用DFT進(jìn)行頻譜分析3.5.1用DFT計算線性卷積1．用圓周卷積計算線性卷積的條件（1）線性卷積（2）圓周卷積圖3-14有限長序列的線性卷積與圓周卷積2．實(shí)現(xiàn)框圖圖3-15圓周卷積代替線性卷積的實(shí)現(xiàn)框圖3.5.2用DFT進(jìn)行頻譜分析

DFT實(shí)現(xiàn)了頻域采樣，同時DFT存在快速算法，所以在實(shí)際應(yīng)用中，可以利用計算機(jī)，用DFT來逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換，進(jìn)而分析連續(xù)時間信號的頻譜。時域連續(xù)信號DFT分析的基本步驟如圖3-16所示。圖3-16時域連續(xù)信號DFT分析的基本步驟所謂信號的譜分析就是計算信號的傅里葉變換。連續(xù)信號與系統(tǒng)的傅里葉分析顯然不便于直接用計算機(jī)進(jìn)行計算，這使其應(yīng)用受到限制；而DFT是一種時域和頻域均離散化的變換，適合數(shù)值運(yùn)算，成為分析離散信號和系統(tǒng)的有力工具。1．用DFT對連續(xù)非周期信號進(jìn)行譜分析圖3-17用DFT方法分析連續(xù)信號頻譜的原理示意圖用DFT逼近連續(xù)非周期信號的傅里葉變換過程中，除了對幅度的線性加權(quán)外，還用到了抽樣與截斷的方法，因此也會帶來一些可能產(chǎn)生的問題，使譜分析產(chǎn)生誤差。如混疊效應(yīng)、截斷效應(yīng)、柵欄效應(yīng)等。2．用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問題（1）混疊效應(yīng)利用DFT逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換，為避免混疊失真，要求滿足抽樣定理，即奈奎斯特準(zhǔn)則fs≥2fc（3-67）其中fs為抽樣頻率，fc為信號最高頻率（即譜分析范圍）。解決混疊問題的唯一方法是保證采樣頻率足夠高，這意味著通常需要知道原始信號的頻譜范圍，以確定采樣頻率。但很多情況下可能無法預(yù)計信號頻率，為確保無混疊現(xiàn)象，可以在采樣前利用一模擬低通濾波器將原始信號的上限頻率限制在采樣頻率fs的一半，這種濾波器被稱為抗混疊濾波器。（2）截斷效應(yīng)在實(shí)際中，要把觀測的信號x(n)限制在一定的時間間隔之內(nèi)，即采取截斷數(shù)據(jù)的過程。圖3-18矩形窗函數(shù)的幅度譜圖3-20柵欄效應(yīng)用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析時，一般要考慮兩方面的問題：第一，頻譜分析范圍；第二，頻率分辨率。頻譜分析范圍由采樣頻率fs決定。前面已經(jīng)敘述，為減小混疊失真，通常要求。采樣頻率fs越高，頻譜分析范圍越寬，但在單位時間內(nèi)采樣點(diǎn)增多，要儲存的數(shù)據(jù)量加大，計算量也越大。