山西省忻州市五寨縣梁家坪鄉(xiāng)聯(lián)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

山西省忻州市五寨縣梁家坪鄉(xiāng)聯(lián)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知的最小正周期是，將圖象向左平移個(gè)單位長度后所得的函數(shù)圖象過點(diǎn)，則（

）（A）在區(qū)間上單調(diào)遞減

（B）在區(qū)間上單調(diào)遞增（C）在區(qū)間上單調(diào)遞減

（D）在區(qū)間上單調(diào)遞增參考答案：B,平移得到的函數(shù)是，其圖象過（0，1），∴，因?yàn)椋?，，故選B．2.為了慶祝元旦節(jié),某食品廠制作了3種不同的精美卡片，每袋食品隨;齊3種卡片可獲獎(jiǎng)，現(xiàn)購買該種食品5袋,能獲獎(jiǎng)的概率為(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D3.（5分）某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5，40]中，其頻率分布直方圖如圖所示．從抽樣的100根棉花纖維中任意抽取一根，則其棉花纖維的長度小于20mm的概率是（）A．B．C．D．參考答案：A【考點(diǎn)】：頻率分布直方圖．【專題】：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】：根據(jù)頻率分布直方圖每一個(gè)小矩形的面積等于該組的概率，易得到答案．解：由圖可知，棉花纖維的長度小于20mm段的概率為（0.01+0.01+0.04）×5=0.3故答案為：A．【點(diǎn)評】：本題考查了頻率分布直方圖的相關(guān)知識，直方圖中的各個(gè)矩形的面積代表了頻率．4.定義在上的函數(shù)滿足，對任意給定的不相等的實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，若兩個(gè)正數(shù)，滿足，則的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C因?yàn)槿我饨o定的不相等的實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，所以在實(shí)數(shù)上單調(diào)遞增；因?yàn)?，由可得，由題意可得，畫出、的可行域，則可看作區(qū)域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)的斜率；直線與橫軸交于點(diǎn)，與縱軸交于點(diǎn)，又因?yàn)?，，所以，選C．5.已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S-ABC的體積為()A．3

B．2

C.

D．1參考答案：C略6.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=g（x）的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線y=x對稱．而函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，若f（m）=﹣1，則m的值是（）A．﹣e B． C．e D．參考答案：B【分析】由函數(shù)y=g（x）的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則y=g（x）的圖象與y=ex互為反函數(shù)，易得y=g（x）的解析式，再由函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，進(jìn)而可以得到函數(shù)y=f（x）的解析式，由函數(shù)y=f（x）的解析式構(gòu)造方程f（m）=﹣1，解方程即可求得m的值．【解答】解：∵函數(shù)y=g（x）的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線y=x對稱∴函數(shù)y=g（x）與y=ex互為反函數(shù)則g（x）=lnx，又由y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱∴f（x）=ln（﹣x），又∵f（m）=﹣1∴l(xiāng)n（﹣m）=﹣1，故選B．【點(diǎn)評】互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于線y=x對稱，有f（x）的圖象上有（a，b）點(diǎn)，則（b，a）點(diǎn)一定在其反函數(shù)的圖象上；如果兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于X軸對稱，有f（x）的圖象上有（a，b）點(diǎn)，則（a，﹣b）點(diǎn)一定在函數(shù)g（x）的圖象上；如果兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于Y軸對稱，有f（x）的圖象上有（a，b）點(diǎn)，則（﹣a，b）點(diǎn)一定在函數(shù)g（x）的圖象上；如果兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，有f（x）的圖象上有（a，b）點(diǎn)，則（﹣a，﹣b）點(diǎn)一定在函數(shù)g（x）的圖象上．7.設(shè)全集U=R，集合A={1，2，3，4}，B={x|x≤2}，則A∩（?UB）=（）A．{1，2} B．{3，4} C．{1} D．{1，2，3，4}參考答案：B【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】根據(jù)補(bǔ)集與交集的定義，寫出A∩（?UB）即可．【解答】解：全集U=R，集合A={1，2，3，4}，B={x|x≤2}，∴?UB={x|x＞2}，∴A∩（?UB）={3，4}．故選：B．8.明朝數(shù)學(xué)家程大位將“孫子定理”（也稱“中國剩余定理”）編成易于上口的《孫子歌訣》：三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知．已知正整數(shù)n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此歌訣得算法如圖，則輸出n的結(jié)果為（）A．53 B．54 C．158 D．263參考答案：A【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】【方法一】根據(jù)正整數(shù)n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求出n的最小值．【方法二】按此歌訣得算法的程序框圖，按程序框圖知n的初值，代入循環(huán)結(jié)構(gòu)求得n的值．【解答】解：【方法一】正整數(shù)n被3除余2，得n=3k+2，k∈N；被5除余3，得n=5l+3，l∈N；被7除余4，得n=7m+4，m∈N；求得n的最小值是53．【方法二】按此歌訣得算法如圖，則輸出n的結(jié)果為按程序框圖知n的初值為263，代入循環(huán)結(jié)構(gòu)得n=263﹣105﹣105=53，即輸出n值為53．故選：A．9.函數(shù)的零點(diǎn)有 （

） A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)參考答案：B略10.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.A1【答案解析】B解析：解：由集合A中的不等式x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，∴A=（﹣1，2），由集合B中的函數(shù)y=ln（1﹣|x|），得到1﹣|x|＞0，即|x|＜1，解得：﹣1＜x＜1，∴B=（﹣1，1），又全集R，∴CRB=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），則A∩（CRB）=[1，2）．故選B【思路點(diǎn)撥】求出集合A中不等式的解集，確定出集合A，求出集合B中函數(shù)的定義域，確定出集合B，找出R中不屬于B的部分，求出B的補(bǔ)集，找出A與B補(bǔ)集的公共部分即可二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.求值：____

．參考答案：-112.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長度單位后，所得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值是

參考答案：函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長度單位后變?yōu)?，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值，最小值為13.若，α是第二象限的角，則=．參考答案：考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．專題：計(jì)算題．分析：由題意可求得cosα，利用兩角差的余弦即可求得答案．解答：解：∵sinα=，α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，∴cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=﹣×+×=．故答案為：﹣．點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)，求得cosα是關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．14.對于不等式組的解(x，y)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， z=ax+y取得最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

▲

_．參考答案：15.已知直線l：12x﹣5y=3與x2+y2﹣6x﹣8y+16=0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=

．參考答案：4

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑r，根據(jù)題意畫出圖形，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離d，由求出的d與半徑r，根據(jù)垂徑定理與勾股定理求出|AB|的一半，即可得到|AB|的長．【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，∴圓心坐標(biāo)為（3，4），半徑r=3，∴圓心到直線12x﹣5y=3的距離d==1，則|AB|=2=4故答案為：416.在直角坐標(biāo)系中，橢圓的參數(shù)方程為。在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，直線與圓的極坐標(biāo)方程分別為與。若直線經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，且與圓相切，則橢圓的離心率為

。參考答案：直線的方程是，作出圖形借助直線的斜率可得，所以，【相關(guān)知識點(diǎn)】極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓

17.已知?jiǎng)t的夾角大小為

．參考答案：60°三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（30分）如圖4，△ABC的內(nèi)心為I，過點(diǎn)A作直線BI的垂線，垂足為H,設(shè)D、E分別為內(nèi)切圓I與邊BC、CA的切點(diǎn)，求證：D、H、E三點(diǎn)共線參考答案：

19.

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)A（-2,0）與點(diǎn)B（2,0）的斜率之積為，點(diǎn)P的軌跡為曲線C。(Ⅰ)求曲線C的方程；(Ⅱ)若點(diǎn)Q為曲線C上的一點(diǎn)，直線AQ，BQ與直線x=4分別交于M、N兩點(diǎn)，直線BM與橢圓的交點(diǎn)為D。求線段MN長度的最小值。

參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)，由題意知

，即化簡得曲線C方程為：（Ⅱ）思路一滿足題意的直線的斜率顯然存在且不為零，設(shè)其方程為，由（Ⅰ）知，所以，設(shè)直線方程為，當(dāng)時(shí)得點(diǎn)坐標(biāo)為，易求點(diǎn)坐標(biāo)為所以=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，線段MN的長度有最小值.思路二：滿足題意的直線的斜率顯然存在且不為零，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程：消元得，設(shè)，，由韋達(dá)定理得：，所以，代入直線方程得，所以，又所以直線BQ的斜率為以下同思路一思路三：設(shè)，則直線AQ的方程為直線BQ的方程為當(dāng)，得，即當(dāng)，得，即則又所以利用導(dǎo)數(shù)，或變形為二次函數(shù)求其最小值。

略20.已知五邊形ABCDE由直角梯形ABCD與直角△ADE構(gòu)成，如圖1所示，AE⊥DE，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=CD=2DE=3AB，將梯形ABCD沿著AD折起，形成如圖2所示的幾何體，且使平面ABCD⊥平面ADE．（Ⅰ）在線段CE上存在點(diǎn)M，且=，證明BM∥平面ADE；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的平面角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）過點(diǎn)M作MF∥DC，交ED于點(diǎn)F，推導(dǎo)出四邊形ABMF是平行四邊形，由此能證明BM∥平面ADE．（Ⅱ）以點(diǎn)E為原點(diǎn)，ED為x軸，EA為y軸，過E作平面ADE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B﹣CE﹣D的平面角的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）過點(diǎn)M作MF∥DC，交ED于點(diǎn)F，∵=，∴，由題意知=，AB∥CD，∴ABMF，∴四邊形ABMF是平行四邊形，∴BM∥AF，又BM?平面ADE，AF?平面ADE，∴BM∥平面ADE．解：（Ⅱ）∵AE⊥DE，∴以點(diǎn)E為原點(diǎn)，ED為x軸，EA為y軸，過E作平面ADE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，則AD=CD=3，DE=，由AD=2DE，AE⊥DE，知∠DAE=30°，∴AE=AD，∴C（），B（0，，1），設(shè)=（x，y，z）是平面BCE的一個(gè)法向量，則，取x=2，得=（2，，﹣1），平面DCE的一個(gè)法向量=（0，1，0），cos＜＞==，由圖形得二面角B﹣CE﹣D的平面角是鈍角，∴二面角B﹣CE﹣D的平面角的余弦值為﹣．【點(diǎn)評】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．21.張老師上班，有路線①與路線②兩條路線可供選擇．路線①：沿途有A，B兩處獨(dú)立運(yùn)行的交通信號燈，且兩處遇到綠燈的概率依次為，若A處遇到紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時(shí)間2分鐘；若B處遇到紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時(shí)間3分鐘；若兩處都遇到綠燈，則全程所花時(shí)間為20分鐘．路線②：沿途有a，b兩處獨(dú)立運(yùn)行的交通信號燈，且兩處遇到綠燈的概率依次為，若a處遇到紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時(shí)間8分鐘；若b處遇到紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時(shí)間5分鐘；若兩處都遇綠燈，則全程所化時(shí)間為15分鐘．（1）若張老師選擇路線①，求他20分鐘能到校的概率；（2）為使張老師日常上班途中所花時(shí)間較少，你建議張老師選擇哪條路線？說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】（1）走路線①20分鐘到校，意味著張老師在A、B處均遇到綠燈，由此能求出張老師選擇路線①，他20分鐘能到校的概率．（2）設(shè)選擇khxg①延誤時(shí)間為隨機(jī)變量ξ，則ξ的所有可能取值為0，2，3，5，分別求出相應(yīng)的概率，從而求出Eξ=2；設(shè)選擇路線②延誤時(shí)間為隨機(jī)變量η，則η的可能取值為0，8，5，13，分別求出相應(yīng)的概率，從而求出Eη=5．由此求出為使張老師日常上班途中所花時(shí)間較少，建議張老師選擇路線②．【解答】解：（1）走路線①20分鐘到校，意味著張老師在A、B處均遇到綠燈，∴張老師選擇路線①，他20分鐘能到校的概率p==．（2）設(shè)選擇khxg①延誤時(shí)間為隨機(jī)變量ξ，則ξ的所有可能取值為0，2，3，5，則P（ξ=0）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，Eξ=．設(shè)選擇路線②延誤時(shí)間