廣東省廣州市環(huán)城中學2022年高三數學理月考試卷含解析

廣東省廣州市環(huán)城中學2022年高三數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.平面直角坐標系中，以軸的非負半軸為始邊作角，其終邊與單位圓交于點，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B2.已知等比數列滿足，則的值為（

）A．1

B．2

C.

D．參考答案：A3.某學生對函數f(x)＝x.cosx的性質進行研究，得出如下的結論：①函數y=f(x)在[－π，0]上單調遞增，在[0，π]上單調遞減；②點(，0)是函數y＝f(x)圖象的一個對稱中心；③函數y＝f(x)圖象關于直線x＝π對稱；④存在常數M>0，使｜f(x)｜≤M｜x｜對一切實數x均成立．其中正確命題的個數是（）A．1B．2C．3D．4參考答案：A①特值法。，，，故

遞增錯。②若關于中心對稱，則，，，，故②錯。③若函數y＝f(x)圖象關于直線x＝π對稱，則。，，，故③錯。④當時，.當時，恒成立，.所以④正確。4.如圖為某個幾何體的三視圖，則該幾何體的側面積為A. B.C. D.參考答案：D5.已知，，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是A．，∥

B．，∥C．∥∥，，共面

D．，，共點，，共面參考答案：A6.已知正實數，記m為和中較小者，則m的最大值為

__________。參考答案：略7.已知x、y滿足+y2=1，則u=|2x+y﹣4|+|3﹣x﹣2y|的取值范圍為（）A．[1，12] B．[0，6] C．[0，12] D．[1，13]參考答案：D【考點】絕對值三角不等式．【分析】由題意，令x=cosα，y=sinα，確定范圍，去掉絕對值符號，再求出u=|2x+y﹣4|+|3﹣x﹣2y|的取值范圍．【解答】解：由題意，令x=cosα，y=sinα，∴2x+y=2cosα+sinα=sin（α+θ）＜4，∴|2x+y﹣4|=4﹣2x﹣y，x+2y=cosα+2sinα=sin（α+β）＜3，∴|3﹣x﹣2y|=3﹣x﹣2y，u=|2x+y﹣4|+|3﹣x﹣2y|=4﹣2x﹣y+3﹣x﹣2y=7﹣3（x+y）=7﹣3（cosα+sinα）=7﹣6sin（α+60°），∴1≤u≤13，故選：D．8.在△中，角所對的邊分別為，若，則△的面積等于A．10

B．

C．20

D．參考答案：B9.已知集合，，則集合A∩B中元素的個數為（

）A.5 B.4 C.3 D.2參考答案：C【分析】直接求出兩集合的交集，找出交集的元素的個數即可．【詳解】，，，8，10，12，，，，則集合A∩B中的元素的個數為3，故選：C．【點睛】本題主要考查集合的交集運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知集合，，則A∩B=（

）A.(0,1]

B.[0,1]

C.

D.參考答案：C由解得，由解得，故，故選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知O是坐標原點，點M的坐標為（2，1），若點N為平面區(qū)域上的一個動點，則的最大值是_______.參考答案：

略12.數列{14－2n}的前n項和為Sn，數列{︱14－2n︱}的前n項和為Sn′，若Sn的最大值為Sm，則n≥m時，Sn′＝

參考答案：13.如圖，正方體ABCD—的棱長為1，M是的中點，則下列四個命題：

①直線與平面所成的角等于45°；

②四面體在正方體六個面內的攝影圖形面積的最小值為；

③點M到平面的距離是；④BM與所成的角為，其中真命題的序號是____________________。參考答案：答案:①②④解析:如圖，①知直線BC與面所成的角即為∠,故①正確。②易知四面體在四個側面的攝影圖形面積均最小，為正方形面積之半，故②正確③點M到平面的距離，即為點到平面的距離。其等于，故③不正確。④易知BM與所成的角，即為BM與所成的角，設∠∠易知，，即，故④正確。14.雙曲線(,)的漸近線與圓相切，則此雙曲線的離心率為

．參考答案：

15.已知向量，滿足，，且在方向上的投影是，則實數m=__________參考答案：±2【分析】利用向量投影的計算公式可得關于的方程，其解即為所求的的值.【詳解】在方向上的投影為，解得，故答案為：.【點睛】本題考查在方向上的投影，其計算公式為，本題屬于基礎題.16.已知平面向量a，b，c不共線，且兩兩之間的夾角都相等，若|a|＝2，|b|＝2，|c|＝1，則a＋b＋c與a的夾角是________．參考答案：60°略17.一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中同時取出2個，則其中含紅球個數的數學期望是_____

__.(用數字作答)參考答案：1.2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.選修4-5：不等式選講已知函數.（1）若不等式的解集為，求實數a的值；（2）在（1）的條件下，若存在實數使成立，求實數m的取值范圍.參考答案：解：（1），，即得，得.（2）∵，∴.∵，且存在實數使，∴.

19.浙江省某示范性高中為了推進新課程改革，滿足不同層次學生的需求，決定從高一年級開始，在每周的周一、周三、周五的課外活動期間同時開設數學、物理、化學、生物和信息技術輔導講座，每位有興趣的同學可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導講座，也可以放棄任何一門科目的輔導講座。（規(guī)定：各科達到預先設定的人數時稱為滿座，否則稱為不滿座）統計數據表明，各學科講座各天的滿座概率如下表：

信息技術生物化學物理數學周一周三周五（Ⅰ）求數學輔導講座在周一、周三、周五都不滿座的概率;（Ⅱ）設周三各輔導講座滿座的科目數為，求隨即變量的分布列和數學期望.

參考答案：解：（1）設數學輔導講座在周一、周三、周五都不滿座為事件A，則

--------3分（2）可能取值為0，1，2，3，4，5

-----------9分所以，隨即變量的分布列如下012345P=-----------14分

20.如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點，若CF∥AB，證明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．參考答案：【考點】相似三角形的判定．【專題】證明題．【分析】（1）根據D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，可得DE∥BC，證明四邊形ADCF是平行四邊形，即可得到結論；（2）證明兩組對應角相等，即可證得△BCD～△GBD．【解答】證明：（1）∵D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四邊形BDFC是平行四邊形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四邊形ADCF是平行四邊形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因為GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【點評】本題考查幾何證明選講，考查平行四邊形的證明，考查三角形的相似，屬于基礎題．21.（本題滿分12分）已知數列的前n項和（n為正整數）．（Ⅰ）令，求證數列是等差數列，并求數列的通項公式；（Ⅱ）令，，求．參考答案：解：（Ⅰ）在中，令，可得，即……………………1分當時，∴……2分∴，即∵，∴，即當時，又，∴數列是首項和公差均為1的等差數列…………4分于是，∴……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得……7分∴

①

②由①－②得……9分∴…………12分

22.已知點，Q（cosx，sinx），O為坐標原點，函數．（1）求函數f（x）的解析式及最小正周期；（2）若A為△ABC的內角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面積為，求△ABC的周長．參考答案：【考點】三角函數中的恒等變換應用；平面向量數量積的運算；正弦