廣西壯族自治區(qū)百色市百蘭鄉(xiāng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

廣西壯族自治區(qū)百色市百蘭鄉(xiāng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)f（x）=若不等式f（x﹣1）+f（）＞0對(duì)任意x＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（，） B．（0，） C．（，+∞） D．（1，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃．【分析】由函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，把不等式f（x﹣1）+f（）＞0對(duì)任意x＞0恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x＞0恒成立，分離參數(shù)m后利用配方法求出函數(shù)最值得答案．【解答】解：由f（x）=，設(shè)x＞0，則﹣x＜0，則f（﹣x）=﹣2x﹣1=﹣（2x+1）=﹣f（x），設(shè)x＜0，則﹣x＞0，則f（﹣x）=﹣2x+1=﹣（2x﹣1）=﹣f（x），∴函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)．其圖象如圖：由圖可知，函數(shù)為定義域上的增函數(shù)，由f（x﹣1）+f（）＞0對(duì)任意x＞0恒成立，得f（）＞﹣f（x﹣1）=f（1﹣x）對(duì)任意x＞0恒成立，即對(duì)任意x＞0恒成立，∴m＞﹣x2+x對(duì)任意x＞0恒成立，∵（當(dāng)x=時(shí)取等號(hào)），∴m．故選：C．2.已知的圖象畫(huà)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（

）參考答案：D3.設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量x由1變到1.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率是(

)

(A)2.1

(B)0.21

(C)1.21

(D)12.1參考答案：A略4.設(shè)函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)自變量x由x0變化到x0＋Δx時(shí)，函數(shù)的改變量Δy為()A．f(x0＋Δx)

B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx

D．f(x0＋Δx)－f(x0)參考答案：D略5.把一枚硬幣擲三次，三次都出現(xiàn)正面的概率為（

）（Ａ）

（Ｂ）

（Ｃ）

（Ｄ）參考答案：A略6.

（

）（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：C略7.將函數(shù)的圖象向右移動(dòng)個(gè)單位，所得圖象剛好關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值為

（

）A．

B．

C．

D．.

參考答案：D略8.設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.設(shè)α，β，γ為平面，a，b為直線(xiàn)，給出下列條件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能使α∥β一定成立的條件是()A．①②B．②③C．②④D．③④參考答案：C略10.計(jì)算機(jī)執(zhí)行下面的程序段后，輸出的結(jié)果是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義：關(guān)于的兩個(gè)不等式和的解集分別為和，則稱(chēng)這兩個(gè)不等式為對(duì)偶不等式.如果不等式與不等式為對(duì)偶不等式，且，則

.參考答案：12.過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，點(diǎn)是原點(diǎn)，若,則的面積為

參考答案：略13.過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A且斜率為的直線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上的射影恰為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的值為

▲

.參考答案：略14.定義在上的函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足以下條件：①在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)；②是偶函數(shù)；③在x＝0處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y＝x＋2垂直。（Ⅰ）求函數(shù)＝的解析式；（Ⅱ）設(shè)g(x)＝，若存在實(shí)數(shù)x∈[1，e]，使<，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。參考答案：解:（Ⅰ）(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①……………1分由f′(x)是偶函數(shù)得：b＝0②……………2分又f(x)在x＝0處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③…………3分由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3.……………4分（Ⅱ）由已知得：存在實(shí)數(shù)x∈[1，e]，使lnx－<x2－1即存在x∈[1，e]，使m>xlnx－x3＋x

…………6分設(shè)M(x)＝xlnx－x3＋xx∈[1，e]，則M′(x)＝lnx－3x2＋2……………7分[來(lái)源:學(xué)#科#網(wǎng)Z#X#X#K]設(shè)H(x)＝lnx－3x2＋2，則H′(x)＝－6x＝

……………8分∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上遞減于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0

……………10分∴M(x)在[1，e]上遞減，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3……………12分于是有m>2e－e3為所求．略15.兩個(gè)平面將空間最多分成__________個(gè)部分.參考答案：4

略16.若,，且為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為

▲

．參考答案：略17.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.數(shù)列{an}滿(mǎn)足，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，是否存在t，使得對(duì)任意的n均有恒成立？若存在，求出最大的整數(shù)t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由參考答案：(1)證明：∵,∴, 2分化簡(jiǎn)得, 3分即 4分故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列. 5分(2)由(1)知,, 6分 7分∴, 8分 9分假設(shè)存在整數(shù)t滿(mǎn)足恒成立又 10分∴數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，∴是 的最小值 11分∴即，又適合條件t的最大值為8 12分19.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足，.（1）求，，的值；（2）歸納猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.參考答案：（1）（2）試題分析：(1)利用遞推關(guān)系可求得；(2)猜想，按照數(shù)學(xué)歸納法的過(guò)程證明猜想即可.試題解析：解:(1)計(jì)算得猜想證明如下：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立；②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N+）時(shí)猜想成立，即成立，則當(dāng)時(shí)，，即時(shí)猜想成立由①②得對(duì)任意，有20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線(xiàn)C2的方程為x2+（y﹣4）2=16．（Ⅰ）求曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若曲線(xiàn)θ=（ρ＞0）與曲線(xiàn)C1．C2交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；對(duì)應(yīng)思想；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（I）利用cos2α+sin2α=1可把曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程化為普通方程：x2+（y﹣2）2=4，把代入可得極坐標(biāo)方程．（II）把曲線(xiàn)C2的方程x2+（y﹣4）2=16化為極坐標(biāo)方程為：ρ=8sinθ，可得曲線(xiàn)θ=（ρ＞0）與曲線(xiàn)C1交于A：ρ1，與曲線(xiàn)C2交于B點(diǎn)：ρ2．利用|AB|=|ρ2﹣ρ1|即可得出．【解答】解：（I）曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），消去參數(shù)α化為普通方程：x2+（y﹣2）2=4，把代入可得極坐標(biāo)方程：ρ=4sinθ．（II）曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．把曲線(xiàn)C2的方程x2+（y﹣4）2=16化為極坐標(biāo)方程為：ρ=8sinθ，曲線(xiàn)θ=（ρ＞0）與曲線(xiàn)C1交于A：ρ1==2，與曲線(xiàn)C2交于B點(diǎn)：ρ2==4．∴|AB|=|ρ2﹣ρ1|=2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的相交問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.（12分）如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，M是BC的中點(diǎn)，且BM1⊥BC，平面B1C1CB⊥平面ABC．BC=CA=AA1．（1）求證：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）求二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）推導(dǎo)出B1M⊥平面AB，B1M⊥AC，BC⊥AC，由此能證明平面ACC1A1⊥平面B1C1CB．（2）法一：以M為原點(diǎn)，過(guò)M平行于CA的直線(xiàn)為x軸，BC所在直線(xiàn)為y軸，MB1所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值．法二：連接B1C，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AB1交AB1于點(diǎn)H，連接C1H，則∠BHC1是二面角B﹣AB1﹣C1的平面角，由此能求出二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值．【解答】證明：（1）∵B1M⊥BC，平面B1C1CB⊥平面ABC于BC，∴B1M⊥平面ABC．…（1分）∵AC?平面ABC，∴B1M⊥AC．…（2分）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．…∵B1M∩BC=M，∴AC⊥平面B1C1CB．…∵AC?平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB．…解：（2）解法一：由（1）知B1M⊥平面ABC，以M為原點(diǎn)，過(guò)M平行于CA的直線(xiàn)為x軸，BC所在直線(xiàn)為y軸，MB1所在直線(xiàn)為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)BC=CA=AA1=1，由題意可知，．設(shè)C1（x，y，z），由，得．設(shè)平面ABB1的法向量為=（x1，y1，1）．則，∴，∴=（，1）．設(shè)平面AB1C1的法向量為=（x2，y2，1）．則，∴，∴=（）．…（10分）∴==．…（11分）由圖知二面角B﹣AB1﹣C1的平面角為鈍角，∴二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值為．…（12分）（2）解法二：連接B1C，∵AC⊥平面B1C1CB，∴B1C是直線(xiàn)AB1在平面B1C1CB上的射影．∵BC=CC1，∴四邊形B1C1CB是菱形．∴B1C⊥BC1．∴AB1⊥BC1．…（6分）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AB1交AB1于點(diǎn)H，連接C1H．∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面BHC1．∴AB1⊥C1H．∴∠BHC1是二面角B﹣AB1﹣C1的平面角．…（7分）設(shè)BC=2，則BC=CA=AA1=2，∵B1M⊥BC，BM=MC，∴B1C=B1B=2．∴BB1=B1C=BC=2．∴∠B1BC=60°．∴∠BCC1=120°．∴．…（8分）∵AC⊥平面BC1，B1C?平面BC1，∴AC⊥B1C．∴．在△BB1A中，可求．…（9分）∵B1B=B1C1，B1H=B1H，∴Rt△BB1H≌Rt△C1B1H．∴．…（10分）∴．…（11分）∴二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值為．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．22.（12分）在雅安發(fā)生地震災(zāi)害之后，救災(zāi)指揮部決定建造一批簡(jiǎn)易房，供災(zāi)區(qū)群眾臨時(shí)居住，房形為長(zhǎng)方體，高2.5米，前后墻用2.5米高的彩色鋼板，兩側(cè)用2.5米高的復(fù)合鋼板，兩種鋼板的價(jià)格都用長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算（即鋼板的高均為