高等代數(shù)期中考試試題

高等代數(shù)期中考試試題一.填空題（每小題4分，共40分）。i.設(shè)。是耳封」上的線性變換，吶（分《月工卜則晶凡4的基1天H下的矩陣為M伍—ATOC\o"1-5"\h\z2 1 a= |2.設(shè)G正線的線性變換，㈤["*"其中R是實(shí)數(shù)域，則。像集合Imtr二 戰(zhàn)的集合Err。二 ? ?3,已知臚中線性變換5在基％=（-嗔>功!=gT）跖=（QJ』下的010P1 10r矩陣為I121則5在基、=映"*他"1g=電岫下的矩陣為「12方><=2124.已知矩陣I221A則A的特征位為4=-1，%=5對(duì)應(yīng)4-為的特征向量分別為,，;.5.已知矩陣可對(duì)角化，則5.已知矩陣6.已知三級(jí)矩陣A的三個(gè)特征值為1,2,3,則d，■劉的行列式31 ，a+u3i.已知矩陣A的特征矩陣2后一人與矩陣〔 昊一葉等價(jià)，則比―/的標(biāo)準(zhǔn)形及A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形分別為 ,.2.已知矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為［1刃，則A的有理標(biāo)準(zhǔn)形為.設(shè)的特征多項(xiàng)式為，所。-爐（臭-為，寫出a的所有可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。.設(shè)矩陣a的特征多項(xiàng)式為,則a可逆，G的特征多項(xiàng)式為0.（10分）設(shè)V是數(shù)域P上的4維線性空間，*是V上的線性變換，5在基「12000100A-1310片遇*與,立下的矩陣 口42 試求5含片的最小不變子空間..（10分）設(shè)仃是n維線性空間V上的線性變換，證明：維⑻+維h3、即，◎的秩+”的零度=n

「-1—26、>1=-103.（15分）求矩陣 -'"J的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及A的最小多項(xiàng)式。.（15分）設(shè)3維線性空間V上線性變換叮在基4々*右下的矩陣2乂=1 丈記L（V）為V上線性變換全體，C◎二防軻二匹神卬3）.1）證明：1c㈤是L（V）的子空間；2）求°”）的-組基和維數(shù)..（10分）設(shè)A,B為n級(jí)實(shí)矩陣，證明：若A,B在復(fù)數(shù)域上相似，則A,B在實(shí)數(shù)域上也相似。參考答案一.填空題（每小題4分，共40分）。1.設(shè)B是耳4上的線性變換，"切='（h+D-3垃**,?1r002則旌紂耳3的基1，工丁下的矩陣為1°°口」37 0=尸］2.設(shè)?的線性變換，電1 其中R是實(shí)數(shù)域，則of象集合bttb=用的集合Kero-{0} , ?3,已知無3中線性變換b在基%=（一皿防=gT）兩=（°網(wǎng)下的

rl0f1 10r下的矩陣為矩陣為U工U則5在基\=改”*他1e0=8加下的矩陣為11-2220302q21>A=212.已知矩陣 82，、則A的特征值為4=-1,/=5對(duì)應(yīng)的特征向量分別為、(一116K-1°D,%，占不同時(shí)為零且5DQ1方4#04eP ' 5 > :「2-5rd=1-41.已知矩陣I"°”可對(duì)角化，則k=1.已知三級(jí)矩陣A的三個(gè)特征值為1,2,3,則d)?名的行列式100rA-la+u27.已知矩陣7.已知矩陣A的特征矩陣猛一金與矩陣"引等價(jià)，則題T的標(biāo)準(zhǔn)形及A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形分別為Cl+^(2-I)C2-2)

8.已知矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為〔1刃，則A的有理標(biāo)準(zhǔn)形為。 410T.設(shè)d的特征多項(xiàng)式為，所-3，寫出A的所有可能的Jordan標(biāo),1'11,1準(zhǔn)形〔叭刃。.設(shè)矩陣A的特征多項(xiàng)式為，⑷U-W6,則人可逆，》的特征多項(xiàng)式為66。二.(10分)設(shè)V是數(shù)域P上的4維線性空間，”是V上的線性變換，修在基20010100片通下的矩陣 242 ,試求0含G的最小不變子空間<1200?0100解：由題意可知 v ,設(shè)仃含片的最小不變子空間.為W,則因?yàn)閃是B-不變子空間，則服JwJF由63—可知'=82-。即。E了所以8G)w所由g)=.十%,可知物即q/,而“g=與所以。

“A。再由用的最小性可知獷u4金Q9）,因此獷二無色瑪Q,證畢。.（10分）設(shè)0■是n維線性空間V上的線性變換，證明：維W）+維btro，即，0的秩+”的零度=n證明：見書中定理。7-2。4二-103.（15分）求矩陣【T-1”的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及A的最小多項(xiàng)式「2+12-6「2+12-6、? ▲ -3T的 ,11工一七解 ， ,勺2 -3 、T0 1-1 2一1也2-^1+1）F+3GI+D,「1 0 <f0 2一1 （「1 2-3、11-4\o"CurrentDocument"-6H0 0、T0 2一1 A-1[o(%+以2-D豆一3」\1co0\ ->0衛(wèi)一10@北且一D30一9一（且■為0-DJk。0（2—00—工一冷）「10 。'f02-1 0Joa-Dl所以A的不變因子為2—1,（’0。A的初等因子為N-1,（ND。所以矢g陣A的Jordan「100、010*1標(biāo)準(zhǔn)形為ILA的最小多項(xiàng)式是A的最后一個(gè)不變因子，所以既"1=。-@是A的最小多項(xiàng)式。.（15分）設(shè)3維線性空間V上線性變換5在基、/工產(chǎn)學(xué)下的矩陣

到，記L(V)為V上線性變換全體，。◎二防中二匹神卬9).1)證明：1c㈤是L(V)的子空間；2)求的-組基和維數(shù).證明：1)0EC⑷v外科WC(0即％二輯"啰=咿0山，6加十皿=時(shí)3味=W?密二%47鳴R二蚓電wCfrr)所以C(G的子空間。3)設(shè)中毛以6在入馬兩下的矩陣為B,則AB=BA。C⑺的維數(shù)是3C⑺的維數(shù)是3.(10分)設(shè)A,B為n級(jí)實(shí)矩陣