2015高考數(shù)學(xué)考前10天必看

目錄

一、考嗡顏側(cè)篇

【高考命題猜想1】與圓相關(guān)的最值...........................................

【高考命題猜想2】幾何體與球切、接的問(wèn)題....................................

【高考命題猜想3】數(shù)列中的最值問(wèn)題.........................................

二'力夸翡等篇

【高考指導(dǎo)篇11數(shù)學(xué)高考臨場(chǎng)解題策略...........................................

【高考指導(dǎo)篇2】高考心態(tài)調(diào)整及應(yīng)試策略.........................................

【高考指導(dǎo)篇3】數(shù)學(xué)答題的“偷分”技巧.........................................

【高考指導(dǎo)篇4】高考數(shù)學(xué)應(yīng)試答題技巧...........................................

【高考指導(dǎo)篇5】高考數(shù)學(xué)答題策略與答題技巧......................................

【高考指導(dǎo)篇6］高考數(shù)學(xué)的閱卷流程和填圖答題卡注意事項(xiàng)...........................

三、0由攵句閔讀篇

【高考自由復(fù)習(xí)閱讀1】活用構(gòu)造法巧解最值題....................................

【高考自由復(fù)習(xí)閱讀2】聚焦3的取值范圍問(wèn)題......................................

【高考自由復(fù)習(xí)閱讀3】柯西不等式“多”證及高考中的應(yīng)用...........................

【高考自由復(fù)習(xí)閱讀4】2015年廣東高考概率統(tǒng)計(jì)考前復(fù)習(xí)建議........................

【高考自由復(fù)習(xí)閱讀5】2015年江蘇高考數(shù)學(xué)試題特征、應(yīng)試心態(tài)及解題策略之總結(jié).........

與圓相關(guān)的最值問(wèn)題

縱觀近幾年高考對(duì)于圓的的考查，重點(diǎn)放在與圓相關(guān)的最值問(wèn)題上，主要考查與圓相關(guān)的參

數(shù)范圍問(wèn)題和圓相關(guān)的長(zhǎng)度或面枳的最值問(wèn)題.要求學(xué)生有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化與化

歸意識(shí)和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能順利解答.從實(shí)際教學(xué)來(lái)看，這部分知識(shí)是學(xué)生掌握最為模

糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題目的入手確實(shí)不易之外，主要是學(xué)生沒有形

成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.本文就高中階段出現(xiàn)這類問(wèn)

題加以類型的總結(jié)和方法的探討.

1.已知含參數(shù)直線與圓位置關(guān)系，求直線方程中參數(shù)取值范圍問(wèn)題

畫出圓圖像，利用直線過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合圖像即可確定直線方程中滿足的條件，利用直線與圓

的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公司，列出關(guān)于參數(shù)的不等式或方程，即可求出參數(shù)的范圍.

【例1】若直線y=x+b與曲線y=3—有公共點(diǎn),則b的取值范圍是（）

A.[1-272,3]B.[1-V2,3]

C.[—1）1+2^2]D.[1--2-^2,1+2^2]

【分析】由題知曲線丁=3—保二且表示圓心在（2,3）,半徑為2的圓的下半部分，y=x+b

表示斜率為1的平行線，其中b是直線在y軸上的截距，做出圖形，結(jié)合圖像即可確定

b滿足的條件.

【解析】由題可知，y=3—"7二P"得（X—2）2+3—3）2=4（14^43）,它表示圓心在

（2,3）,半徑為2的圓的下半部分，y=x+b表示斜率為1的平行線，其中b是直線在y

軸上的截距，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式可知，

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)己知直線。圓或可化為圓的曲線的位置關(guān)系求參數(shù)范圍問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合是尋找解

題思路的關(guān)鍵，要熟悉直線與圓的位置關(guān)系的判定，正確運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式.

2.已知點(diǎn)滿足與圓有關(guān)的某個(gè)條件，求圓中參數(shù)或點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍問(wèn)題

作出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想找出圓中相關(guān)量，如圓心坐標(biāo)、圓心到某點(diǎn)距離、圓

的半徑、圓的弦長(zhǎng)或圓的弦心距等滿足的條件，列出不等式或方程或函數(shù)關(guān)系，再利用相關(guān)

方法求出參數(shù)的范圍.

例2設(shè)點(diǎn)若在圓0:1+/=1上存在點(diǎn)N，使得NOMN=45。，則X。的取

值范圍是（）

(A)[-1,-1](B)——(C)^—\/2,5/2J(D)V2也

【分析】作出圖像，由圖知，圓心0到直線ON的距離小于等于1,從而得出|。河區(qū)0,

列出關(guān)于看的不等式，即可解出與的范圍.

【解析】依題意，M線MN與圓。有公共點(diǎn)即可，即圓心。到直線MN的距離小于等于1

即可，過(guò)。作CMJ.MN,垂足為A,在RtAOMA中，因?yàn)镹OMA=45°,故

匹____

2

=|。叫sin45°=^-\OM\<1,所以\OM\<O,則Jx0+l<^2,解得

—14X。41.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想，解決本問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)數(shù)

形結(jié)合找出點(diǎn)M滿足的條件.

3.與距離有關(guān)的最值問(wèn)題

在運(yùn)動(dòng)變化中，動(dòng)點(diǎn)到直線、圓的.距離會(huì)發(fā)生變化，在變化過(guò)程中，就會(huì)出現(xiàn)一些最

值問(wèn)題，如距離最小，最大等常常涉及圓上一點(diǎn)到直線的距離最值問(wèn)題、切線長(zhǎng)最值問(wèn)題、

圓上動(dòng)點(diǎn)與其他曲線兩動(dòng)點(diǎn)間的距離最值問(wèn)題、過(guò)定點(diǎn)的圓的弦長(zhǎng)最值問(wèn)題等.這些問(wèn)題常

常利用平面幾何知識(shí)或圓的參數(shù)方程或設(shè)圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，直接求出最值或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值

問(wèn)題，利用函數(shù)求最值的方法求解，與圓有關(guān)的長(zhǎng)度最值問(wèn)題有以下題型：

①圓外一點(diǎn)4到圓上距離最近為-人最遠(yuǎn)為H(?|+r；

②過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的弦最長(zhǎng)為圓的直徑，最短為該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦；

③直線與圓相離，則圓上點(diǎn)到直線的最短距離為圓心到直線的距離d+r,最近為d-r；

④過(guò)兩定點(diǎn)的所有圓中，面積最小的是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的面積.

⑤圓上動(dòng)點(diǎn)與其他曲線兩動(dòng)點(diǎn)間的距離最值問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為圓心與曲線上的動(dòng)點(diǎn)距離問(wèn)題，利

用兩點(diǎn)間距離公式轉(zhuǎn)化二元函數(shù)的最值問(wèn)題,利用消元法轉(zhuǎn)化?元函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值

問(wèn)題求解.

例3設(shè)P,0分別為f+（尸6）2=2和橢圓Q/=1上的點(diǎn)，則p,。兩點(diǎn)間的最大距離

是（）

A.5V2B.V46+V2C.7+V20.672

【分析】依題意尸,0兩點(diǎn)間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點(diǎn)的最大距離再加上圓

的半徑0,再利用兩點(diǎn)間距離公式和消元法轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，即可求出最值.

【解析】依題意P,0兩點(diǎn)間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點(diǎn)的最大距離再加上；

圓的半徑V2.設(shè)Q（x/）.圓心到橢圓的最大距離

d=+（k6）2=J-9、2-i2y+46=J—9（X+|）2+50K50.所以P,0兩點(diǎn)間的

最大距離是6J5.故選D.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于與圓有關(guān)的長(zhǎng)度最值問(wèn)題，要掌握相關(guān)題型與轉(zhuǎn)化方法，利用幾何法或函數(shù)法

求出最值.

4.與面積相關(guān)的最值問(wèn)題

與圓的面積的最值問(wèn)題，?般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者兒何圖形的關(guān)系,

借助函數(shù)求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有時(shí)可以通過(guò)轉(zhuǎn)化思想，利用

數(shù)形結(jié)合思想求解

例4動(dòng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（1,0）,并且與直線x=-l相切，若動(dòng)圓C與直線y=x+2亞+1總有

公共點(diǎn)，則圓C的面積（）

A.有最大值8乃B.有最小值2萬(wàn)C.有最小值3乃D.有最小值4乃

【分析】設(shè)出動(dòng)圓圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)條件找出半徑與圓心滿足的關(guān)系式，利用動(dòng)圓C

與直線y=x+2&+l總有公共點(diǎn)，列出某個(gè)量的不等式，求出其取值范圍，從而求出圓

的半徑的取值范圍,作出正確選擇..

【解析】設(shè)圓心為（。,6）,半徑為r,r=|CF|=|a+l|,即（a-lf+/=g+ip,即

...圓心為（!〃力），尸=工〃+i,圓心到直線丁=》+26+1的距離為

444

|——b+2V2+1112

d=-^----尸------4幺+1,.?.64一2（2血+3）或622,當(dāng)6=2時(shí)，

V24

1,

^in=-x4+l=2.：.Smin=7rr=4不，

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、轉(zhuǎn)化與化歸思想及運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸

思想是解題的關(guān)鍵.

5.圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足關(guān)系式的最值或取值范圍問(wèn)題

本類問(wèn)題有三種解題思路，思路1：充分利用所給式子的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想解

題；思路2：設(shè)所給式子等于z,代入圓的方程化為一元二次方程，利用判別式即可求出參

數(shù)的范圍；思路3：利用圓的參數(shù)方程或消元法化為函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)求最值的方法求最

值，注意留下變量的范圍.

例5實(shí)數(shù)x、y滿足3/+2/=6》，則GT齊的最大值為

【分析】ylx2+y2表示曲線3x2+2/=6x上點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離，故可用消元法化為關(guān)

于y的函數(shù)，再求最值.

【解析】由題：/=3X--X2>0,.-.0<X<2,因此

2

x2+y2-3x-—x2=（x-3）2+—,

222

所以當(dāng)x=2時(shí)，V+y2取得最大值4,故&+/=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了消元法及函數(shù)的最值的求法，要掌握本類試題中一些式子的兒何意義，

如（X—4）2+07—6）2發(fā)小|11|線匕點(diǎn)（XJ）與點(diǎn)（0/,）之間距離的平方；匕表小曲線I-.,',

x-a

（xj）V點(diǎn)（。力）連線的斜率；z=4x+劭注意將白線z=小+為在坐標(biāo)軸上的截距與

z聯(lián)系起來(lái)解題.

綜上所述，解決與圓相關(guān)的最值問(wèn)題的關(guān)鍵要善于利用數(shù)形結(jié)合思想，利用幾何知識(shí)求最

值，要善于利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解.

幾何體與球切、接的問(wèn)題

縱觀近幾年高考對(duì)于組合體的考查，與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)之一.

高考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才

能順利解答.從實(shí)際教學(xué)來(lái)看，這部分知識(shí)學(xué)生掌握較為薄弱、認(rèn)識(shí)較為模糊，看到就頭疼

的題目.分析原因，除了這類題目的入手確實(shí)不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和

套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.下面結(jié)合近幾年高考題對(duì)球與幾何體的切接

問(wèn)題作深入的探究，以便更好地把握高考命題的趨勢(shì)和高考的命題思路,力爭(zhēng)在這部分內(nèi)容

不失分.從近幾年全國(guó)高考命題來(lái)看，這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見.

首先明確定義1:若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的

內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。

定義2：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多

面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.

1球與柱體的切接

規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形

態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)

問(wèn)題.

1.1球與正方體

如圖所示，正方體設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,E,F,H,G為棱的中點(diǎn)、,O

為球的球心.常見組合方式有三類：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形EFG”和

其內(nèi)切圓，則二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形EFG"和其外

接圓，則|GO|=R=半。；三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長(zhǎng)方形/C4c和其外接

巧

圓，則|4。|=*=三。.通過(guò)這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問(wèn)題，常用工

具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過(guò)兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確

定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.

（1）正方體的內(nèi)切球，如圖1.位置關(guān)系：正方體的六個(gè)面都與一個(gè)球都相切，正方體中

心與球心重合；

數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為“，球的半徑為廠，這時(shí)有2r=a.

（2）正方體的外接球，如圖2.位置關(guān)系：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上；正方體中

心與球心重合；

數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，球的半徑為r,這時(shí)有2r=扃.

密2

(3)正方體的棱切球，如圖3.位置關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與

球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為廠，這時(shí)有=

例1棱長(zhǎng)為1的正方體N8CD-4AGA的8個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，E,尸分別是

棱。。的中點(diǎn)，則直線所被球。截得的線段長(zhǎng)為()

A.—B.1C.1+—D.V2

22

思路分析：由題意推出，球?yàn)檎襟w的外接球.平面截面所得圓面的半徑

R=吧=~,得知直線EF被球0截得的線段就是球的截面圓的直徑.

22

【解析】由題意可知，球?yàn)檎襟w的外接球.平面截面所得圓面的半徑

R=亨=￥，：EFu面.,?直線比'被球。截得的線段為球的截面圓的直徑

27?=V2.

點(diǎn)評(píng)：本題考查球與正方體“接”的問(wèn)題，利用球的截面性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成為求球的截面圓直徑.

1.2球與長(zhǎng)方體

例2自半徑為火的球面上一點(diǎn)四，引球的三條兩兩垂直的弦M3,MC,求

M42+MB2+同。2的值.

思路分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)引導(dǎo)

學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián).

【解析】以朋4M5,MC為從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐補(bǔ)成??個(gè)長(zhǎng)方

體，則另外四個(gè)頂點(diǎn)必在球面上，故長(zhǎng)方體是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是球的

直徑.

MA2+MB2+MC2=（2R）2=4R2.

點(diǎn)評(píng)：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體兒何中體積計(jì)算..

例3已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積為（）.

A.16兀B.20乃C.24%D.32乃

思路分析:正四棱柱也是長(zhǎng)方體.由長(zhǎng)方體的體積16及高4可以求出長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為2,

可得長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,4,長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，它的體對(duì)角線正好為球的直徑.

【解析】正四棱柱也是長(zhǎng)方體。由長(zhǎng)方體的體積16及高4可以求出長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為2,

因此，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,4,因?yàn)殚L(zhǎng)方體內(nèi)接于球，所以它的體對(duì)角線正好

為球的直徑.長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為2瓜,故球的表面積為247r.故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查球與長(zhǎng)方體“接”的問(wèn)題，利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成為求其體對(duì)角線.

2球與錐體的切接

規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些極錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和

內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或

者表面積等相關(guān)問(wèn)題.

2.1正四面體與球的切接問(wèn)題

（1）正四面體的內(nèi)切球，如圖4.位置關(guān)系：正四面體的四個(gè)面都與一個(gè)球相切，正四面

體的中心與球心重合；

數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,高為〃；球的半徑為R,這時(shí)有4火="=1。；（可

3

以利用體積橋證明）

（2）正四面體的外接球，如圖5.位置關(guān)系：正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，正四

面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為。，高為〃：球的半徑為及，這

時(shí)有4R=36=6；（可用正四面體高h(yuǎn)減去內(nèi)切球的半徑得到）

（3）正四面體的棱切球，如圖6.位置關(guān)系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的

中心與球心重合；

數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為。，高為〃；球的半徑為R,這時(shí)有

47?=A/3/Z=\[2a,h=a.

3

A

F>

I

?D

B/E

C

圖6

例4設(shè)正四面體中，第一個(gè)球是它的內(nèi)切球，第二個(gè)球是它的外接球，求這兩個(gè)球的表面

積之比及體積之比.

思路分析：此題求解的第一個(gè)關(guān)鍵是搞清兩個(gè)球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個(gè)關(guān)鍵是兩

個(gè)球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來(lái)解決的.

【解析】如圖，正四面體Z8CD的中心為。，ABC。的中心為J,則第一個(gè)球半徑為正

四面體的中心到各面的距離，第二個(gè)球的半徑為正四面體中心到頂點(diǎn)的距離.

設(shè)=正四面體的一個(gè)面的面積為S.

依題意得匕一BO=g義氏+尸），又匕-BCD=4%一88=4x.S

/.R+尸=4尸即R=3尸.

43

g,內(nèi)切球的表面積4"21內(nèi)切球的體積3m,1

所以----------------=------=----------------=-.....=---

外接球的表面積4成29■外接球的體積427-

—71K3

3

點(diǎn)評(píng)：正四面體與球的接切問(wèn)題，可通過(guò)線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合

的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即定有內(nèi)切球的半徑〃=｝力（人為正四面體的高），且外接

球的半徑火=3r.

2.2其它棱錐與球的切接問(wèn)題

球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球

面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如

正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑火.這

樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐

的體積和為正三棱錐的體積.

球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法等

進(jìn)行求解.例如，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，

巧定球心位置.

例5正三棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為2J&,正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切.求球的

表面積與體積.

思路分析：此題求解的關(guān)鍵是搞清球的半徑與正三棱錐的高及底面邊長(zhǎng)的關(guān)系，由等體積法

可得：VP_ABC=V0_PAB+VO_PAC+VO_PBC+VO_ABC,得到R==C—2?

【解析】如圖，球O是正三棱錐P-ABC的內(nèi)切球，O到正三棱錐四個(gè)面的距離都是球的

是正三棱錐的高，即P〃=l.是8c邊中點(diǎn)，H在AE上,

MBC的邊長(zhǎng)為2痛，：.HE=±-x2R=垃.:.PE=6

6

可以得到S,PAB=S&PAC=S"BC=；BC-PE=3叵.SMBC=*2府=6百

由等體積法，^P-ABC=^O-PAB+—O-PAC+^O-PBC+^O-ABC

iiio/a

.?.-X6GX1=_X3近xHx3+-x6百xE得：R==屜一2,

3332V3+3

...S球=4成2=4^（76-2）2=8（5-2峋4.二%=g成3=g兀函-2）3.

點(diǎn)評(píng)：球心是決定球的位置關(guān)鍵點(diǎn)，本題利用球心到正三棱錐四個(gè)面的距離相等且為球半徑

R來(lái)求出H,以球心的位置特點(diǎn)來(lái)抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問(wèn)題常用的方法.

例6若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為V3,則其外接球的表面積是.

思路分析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計(jì)算球

的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法.三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想

到長(zhǎng)方體的一個(gè)角，馬上構(gòu)造長(zhǎng)方體，由側(cè)棱長(zhǎng)均相等，所以可構(gòu)造正方體模型.

【解析】此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計(jì)算球的

半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快

聯(lián)想到長(zhǎng)方體的一個(gè)角，馬上構(gòu)造長(zhǎng)方體，且側(cè)棱長(zhǎng)均相等，所以可構(gòu)造正方體模型，如圖

1,則AC=BC=CD=JJ,那么三棱錐的外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線，故所求表

面積是9萬(wàn).（如圖1）

點(diǎn)評(píng)：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中計(jì)算問(wèn)題，這

是解決兒何體與球切接問(wèn)題常用的方法.

例7已知三棱錐S-Z8C的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，A/BC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,

SC是球。的直徑，且SC=2；則此棱銖的體積為（）

V2V3V2V2

A.-----B.----C.-----D.-----

6632

思路分析：△/BC的外接圓是球面的?個(gè)小圓，由已知可得其半徑，從而得到點(diǎn)。到面

ABC的距離.由SC為球0的直徑n點(diǎn)S到面ABC的距離即可求得棱錐的體積.

【解析】ZU8C的外接圓半徑為r=』3,點(diǎn)。到面/8C的距離d=J火2一產(chǎn)=在SC

33

為球。的直徑=＞點(diǎn)S到面Z8C的距離2d=此棱錐的體積為

3

_l,_1V3276_V2

r%z=Qx20d=^x7x-y-=不，選ZA.

點(diǎn)評(píng)：本題難度不大，主要是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將棱錐高應(yīng)用球的幾何性質(zhì)計(jì)算得到.

3球與球相切問(wèn)題

對(duì)于球與球的相切組合成復(fù)雜的幾何體問(wèn)題，要根據(jù)豐富的空間想象力，通過(guò)準(zhǔn)確確定各個(gè)

小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化平面問(wèn)題求解.

例8已知有半徑分別為2、3的球各兩個(gè)，且這四個(gè)球彼此相外切，現(xiàn)有一個(gè)球與此四個(gè)球都

相外切，則此球的半徑為.

思路分析：結(jié)合圖形，分析四個(gè)球的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5,AB=6,CD=4.

設(shè)AB中點(diǎn)為E、CD中點(diǎn)為F,連結(jié)EF.在aABF中可得BE=而,在aEBF中可得EF=273.

由于對(duì)稱性可得第五個(gè)球的球心。在EF匕連結(jié)0A,01).設(shè)第五個(gè)球的半徑為r,根據(jù)OE+OF=EF

建立廠的方程.

【解析】如圖:設(shè)四個(gè)球的球心分別為球B、C、D,則AD=AC=BD=BC=5,AB=6,CD=4.設(shè)AB

中點(diǎn)為E、CD中點(diǎn)為F,連結(jié)EF.在AABF中求得BF=0I,在AEBF中求得EF=21i.

由于對(duì)稱性可得第五個(gè)球的球心0在EF上，連結(jié)OA、0D.設(shè)第五個(gè)球的半徑為r,貝ij0A=r+3,

0D=r+2,于是OE=J(r+3)2-32=J)+6/,0F=^(r+2)2-22=Vr2+4r,：OE+OF=EF

Vr2+6r+Vr2+4r=2V3nJ/+6F=2JJ-J/+4》平方整理再平方得

11r+60尸一36=0解得r=9或—6(舍掉)，故答案為9.

1111

D

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)分析球心的位置，根據(jù)它們構(gòu)成的幾何體特征，轉(zhuǎn)化成平面幾何中三角形邊

角關(guān)系，利用方程思想得解.

例9把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四

個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離.

思路分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個(gè)球半徑相等，故四個(gè)球一定

組成正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)且正四面體的楂長(zhǎng)為兩球半徑之和2.

【解析】四球心組成棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，則正四面體的高

人"Q母)考.

而第四個(gè)球的最高點(diǎn)到第四個(gè)球的球心距離為求的半徑1,且三個(gè)球心到桌面的距離都為1,

2

故第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離為2+上.

3

點(diǎn)評(píng)：本題難度不大，主要是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將棱錐高應(yīng)用球的幾何性質(zhì)計(jì)算得到.

4球與幾何體的各條棱相切問(wèn)題

球與幾何體的各條棱相切問(wèn)題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為

H的，然后通過(guò)構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相

5

對(duì)棱的一半：r'=—a.

4

例10把一個(gè)皮球放入如圖10所示的山8根長(zhǎng)均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使

皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為()

A.10V3cmB.10cm

D.30cm

思路分析：根據(jù)題意球心O在圖中AP上，過(guò)O作BP的垂線ON垂足為N,ON=R,OM=R,

由各個(gè)棱都為20,得到AM=10,BP=20,BM=10,AB=10JI,設(shè)N8PZ=a,在用ABPM

中，由BP?=8加2+0加2,得尸加=10百在R/APAM中，由PM?=z〃2+/p2,得

=.在R/AABP中得，sma=—=^^=—,在R/AONP中得，

BP202

sina="=①，從而△="，。。=7^?.在7?/40人乂中，由。河？=力。2十人”2

OPOPOP2

建立方程火2=（10行一及R）2+100即可得解.

【解析】如圖所示，由題意球心在AP上，球心為O,過(guò)O作BP的

垂線ON垂足為N,ON=R,OM=R,因?yàn)楦鱾€(gè)棱都為20,所以

AM=10,BP=20,BM=10,AB=10VIZBPA=a,

在R/ABPM中，6P2=8v2+pM2,所以pA/=]oG.在R/△PAM中,

PA/?+/尸2,所以&=iog'.在RJAABP中，sina==12—?.=—,在

BP202

R/AONP中，$由。="=2-,所以￡="，所以O(shè)P=JI/?.在R/AOAM中,

OPOPOP2

。/2=4。2+4河2,所以，夫2=（1。底一后R）2+IO0,解得，R=］（）或30（舍），所以,

R=Wcm,故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，主要是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面兒何問(wèn)題，應(yīng)用三角

形中的邊角關(guān)系，建立R的方程.

5球與旋轉(zhuǎn)體切接問(wèn)題

首先畫出球及其它旋轉(zhuǎn)體的公共軸截面，然后尋找?guī)缀误w與兒何體幾何元素之間的關(guān)系.

例11求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比.

思路分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與

幾何體之間元素的關(guān)系.

【解析】如圖，等邊AS/8為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形GCQQi，截球面得球

的大圓圓

設(shè)球的半徑OQ=R,則它的外切圓柱的高為27?,底面半徑為H；

OB=O。cot30。=6R，SO=08.tan60。=cR忑=3R,

...喂=：成3,囁=成2.2火=2成3,%=；萬(wàn).(ViR)2.3R=3成3,

???匕求：％：/「=4：6：9?

點(diǎn)評(píng)：本題充分利用軸截面，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題，應(yīng)用三角形中的邊角關(guān)系，建立

與球半徑尺的聯(lián)系.

例12在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切.(1)求兩球半徑之和;

(2)球的半徑為多少時(shí)，兩球體積之和最小.

思路分析：此題的關(guān)鍵在于作截面，一個(gè)球在正方體內(nèi)，學(xué)生?般知道作對(duì)角面，而兩個(gè)球

的球心連線也應(yīng)在正方體的體對(duì)角線上，故仍需作正方體的對(duì)角面，得如圖的截面圖，在

圖中，觀察火與廠和棱長(zhǎng)間的關(guān)系即可.

【解析】如圖，球心Q和4在4c上，過(guò)分別作的垂線交于E,尸.

則由ZB=1,AC=K得NO】=島,CO]=y/3R.

百

f+H+V3(r+R)—V3<:.R+r=

73+1

(1)設(shè)兩球體積之和為廠,

44

則JZ=§乃+/)=§](/+R)(R2_Rr+/)

_43V3r、2.143V3P.373,2.,3A/3/

=[(火D+r)-3r7D?]=(—：-)一3HD(-^RD)

J乙J乙乙乙

&耳心生旦+(匕跖

3222

當(dāng)火=三回時(shí)，P有最小值..?.當(dāng)7?=尸=三8時(shí)，體積之和有最小值.

44

點(diǎn)評(píng)：本題充分利用軸截面，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題，應(yīng)用三角形中的邊角關(guān)系，建立

與球半徑尸,R的聯(lián)系，將球的體積之和用廠或R表示，應(yīng)用：次函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定其

最小值.本題綜合性較強(qiáng)，是函數(shù)與立體幾何相結(jié)合的典例.

綜合上面的五種類型，解決與球的外切問(wèn)題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要

找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決.如果外切的是多血體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的

對(duì)角面來(lái)作；把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的內(nèi)接問(wèn)題.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵

是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.發(fā)揮好空間想象力，借助

于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問(wèn)題即可得解.如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可

以借助結(jié)論直接求解，此時(shí)結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確.高考題往往與三視圖相結(jié)合，題目的難易不

一，在復(fù)習(xí)中切忌好高鷲遠(yuǎn)，應(yīng)重視各種題型的備考演練，重視高考信息的搜集，不斷充實(shí)

題目的類型，升華解題的境界.

數(shù)列中的最值問(wèn)題

縱觀近幾年高考對(duì)于數(shù)列的的考查，重點(diǎn)放在數(shù)列中的最值問(wèn)題上，主要考查等差數(shù)列

前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題、數(shù)列的最值問(wèn)題、數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題及與之相關(guān)的不等式證明

和取值范圍問(wèn)題.要求學(xué)生有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化與化歸意識(shí)和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能順利解答.從實(shí)

際教學(xué)來(lái)看，這部分知識(shí)是學(xué)生掌握最為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題

目的入手確實(shí)不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便

產(chǎn)生畏懼心理.本文就高中階段出現(xiàn)這類問(wèn)題加以類型的總結(jié)和方法的探討.

1.等差數(shù)列中的最值問(wèn)題

求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題的方法：

①二次函數(shù)法：將S“看成關(guān)于n的二次函數(shù)，運(yùn)用配方法，借助函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)形結(jié)合

思想，使問(wèn)題得到解決，注意項(xiàng)數(shù)n是正整數(shù)這一條件.

②通項(xiàng)公式法：求使?！芭c0（a“WO）成立的最大n值，即可求出S“的最大值（或最小值）.

③不等式法：借助邑取最大值時(shí)，有《"一解此不等式組確定n的范

圍，進(jìn)而確定n的值和對(duì)應(yīng)的值（即為的最值）.

例1已知等差數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，%+%+《0=9,凡一S3=77，則使S”取得最小

值時(shí)〃的值為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】先由題中條件求出首項(xiàng)與公差，寫出通項(xiàng)公式，求出為負(fù)值的項(xiàng)數(shù)，即可求出使S.

取得最小值時(shí)〃的值.

(q+3d)+(q+6d)+(q+9d)=9

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由題意得：,14x13(3x2、一

]4q~\---——d-13(7)4—-—dI—77

a——911

解方程組得：1-,所以勺令q,40得：n<—

d-22

即當(dāng)"45時(shí)，為<0,即當(dāng)〃26時(shí)，%>0,所以使S,取得最小值時(shí)〃的值為5.故選B.

【點(diǎn)評(píng)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，這類問(wèn)題求法有：二次函

數(shù)法、通項(xiàng)公式法、不等式法，要掌握之.

2.數(shù)列｛%｝的最值問(wèn)題

求數(shù)列｛2｝的最值，主要有兩種方法：①?gòu)暮瘮?shù)角度考慮，利用函數(shù)y=/(x)的性質(zhì)，求

數(shù)列4=/(〃)的最值；②利用數(shù)列離散的特點(diǎn)，考察為”“小或[《"4句，然后判斷

ak?ak-\

數(shù)列｛%｝的最值情況.

ssS

例2已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”且滿足517>0尚8<0,則」,二「一,上中最大

GIacit

的項(xiàng)為()

SS]ss

A.-6B.—.C.—8D.—v

?6tt148?9

【答案】D

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及已知條件判斷出該數(shù)列正負(fù)項(xiàng)轉(zhuǎn)換點(diǎn)，判斷出前n項(xiàng)和正負(fù)

變化情況，從而的出一?，…,一工中最大的項(xiàng).

【解析】???等差數(shù)列｛?。?517>0,518<0即S『17a9>0,Slg=9(a10+a9)<0

，aio+a9<O,a9>0,...aioVO,.?.等差數(shù)列｛am為遞減數(shù)列，

故可知a”a?，…，刖為正,3]o>a”…為負(fù)；SpS2，…,Sq為正,S?S19，…為負(fù)，

&<0,&<0,…之<0,

乂S]<S2<-??<S9,a]>a2>???>a9,-―^,…,一區(qū)中最大的項(xiàng)為——

a}a247

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)數(shù)列的最值問(wèn)題，因其是特殊函數(shù)，故可以用函數(shù)法求最值，要特別別注意定義

域?yàn)檎麛?shù)，也可以用不等式法求最值.

3.數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題

求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S”的最值，主要是兩種思路：①研究數(shù)列明=/（〃）的項(xiàng)的情

況，判斷S,,的最值；②直接研究5“的通項(xiàng)公式，利用函數(shù)求最值的方法求S“的最值.

例3已知數(shù)列｛%｝是公比不為1的等比數(shù)列，a,=1,且％,外,%成等差數(shù)列.

（I）求數(shù)列｛*｝的通項(xiàng)；

（H）若數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為s“,試求s?的最大值.

【答案】（I）4=（一］）”';（II）1.

【分析】（I）先由條件求出數(shù)列｛%｝的公比，即可寫出其通項(xiàng)公式；（II）寫出數(shù)列｛%｝的

前n項(xiàng)和公式再利用函數(shù)法求最大值.

【解析】（I）設(shè)｛q｝的公比為q,因?yàn)橥?%，%成等差數(shù)列，所以2%=4+生，

因?yàn)?=1,所以2/=l+q,因?yàn)閝Hl,所以

1八

q=---,...............................3分

2

當(dāng)〃奇數(shù)時(shí)，5“=[(1+*)<1,當(dāng)且僅當(dāng)“=1時(shí)等號(hào)成立。.........................13

分

綜上所述，S”的最大值為1.......................14分

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、函數(shù)與方程思想，對(duì)數(shù)列的最值

問(wèn)題可以因?yàn)閿?shù)列可以看成關(guān)于n的函數(shù)，故可以用函數(shù)法求最值.

4.數(shù)列與不等式結(jié)合

數(shù)列與不等式的結(jié)合問(wèn)題，有兩類問(wèn)題，?類是，對(duì)數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題，另一類是，

不等式成立問(wèn)題，這兩類問(wèn)題的求解方法主要有兩種方法：①通過(guò)參變分離法轉(zhuǎn)化為數(shù)列的

最值問(wèn)題求解；②通過(guò)分類討論，解決恒成立.

例4已知等比數(shù)列｛/｝滿足：4+%+%=28,且%+2是。2，%的等差中項(xiàng).

(I)求數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列｛aj是單調(diào)遞增的，令“=*log】an,S“=b\+b2++b?,求使

2

S“+〃-2*>50成立的正整數(shù)〃的最小值.

【答案】(I)勺=2"或?！?止；(II)5?

【分析】(I)用基本量法，即用外均表示12知條件，列出方程，解之即可；

(II)先根據(jù)數(shù)列單調(diào)性確定數(shù)列為%=2”,從而求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減

法求5?,列出不等式可求n的最小值.

【解析】(I)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為％,公比為/

依題意，有2(%+2)=%+4，代入。2+/+。4=28,可得生=8，2分

2

a}q=8,解之得：q=2,

/.%+。4=20,或，"2'4分

%q+%q320,

=32.

ct—2,n——

當(dāng)「時(shí)，4=2"；當(dāng)"2時(shí),1

4=2”一2"-6

11［弓=32.

二數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為%=2"或%=，二.6分

(II)?.?等比數(shù)列｛a,,)是單調(diào)遞增的，；.%=2",bn=2"log,T=-n-T,

2

5?=-(lx2+2x22+---+tt-2n)(3)8^

25?=-[lx22+2x23+---+(/7-l)-2n+?-2n+,]?由③一④，得

5,,=2+22+23+―+2"-小2"+|=2'川一2-〃-2用.10分

n+l

Sn+n-2>50即2"M-2>50,即2向>52.

易知：當(dāng)〃W4時(shí)，2""W25=32<52,當(dāng)〃25時(shí)，2旬?2$=64>52

故使S"+”-2"M>50成立的正整數(shù)〃的最小值為5.12分

【點(diǎn)評(píng)】本題考查「等比數(shù)列數(shù)列通項(xiàng)公式、等差中項(xiàng)的概念、錯(cuò)位相減法等數(shù)列知識(shí)，考

查不等式成立問(wèn)題的解法，是中檔試題.

數(shù)學(xué)高考臨場(chǎng)解題策略

高考的特點(diǎn)是以學(xué)生解題能力的高低為標(biāo)準(zhǔn)的一次性選拔，這就使得臨場(chǎng)發(fā)揮顯得尤為重

要，研究和總結(jié)臨場(chǎng)解題策略，進(jìn)行應(yīng)試訓(xùn)練和心理輔導(dǎo)，已成為高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，

正確運(yùn)用數(shù)學(xué)高考臨場(chǎng)解題策略，不僅可以預(yù)防各種心理障礙造成的不合理丟分和計(jì)算失誤

及筆誤，而且能運(yùn)用科學(xué)的檢索方法，建立神經(jīng)聯(lián)系，挖掘思維和知識(shí)的潛能，考出最佳成

績(jī)。

一、調(diào)理大腦思緒，提前進(jìn)入數(shù)學(xué)情境

考前要摒棄雜念，排除干擾思緒，使大腦處于''空白”狀態(tài)，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，進(jìn)而醞釀

數(shù)學(xué)思維，提前進(jìn)入“角色”，通過(guò)清點(diǎn)用具、暗示重要知識(shí)和方法、提醒常見解題誤區(qū)和

自己易出現(xiàn)的錯(cuò)誤等，進(jìn)行針對(duì)性的自我安慰，從而減輕壓力，輕裝上陣，穩(wěn)定情緒、增強(qiáng)

信心，使思維單一化、數(shù)學(xué)化、以平穩(wěn)自信、積極主動(dòng)的心態(tài)準(zhǔn)備應(yīng)考。

二、“內(nèi)緊外松”，集中注意，消除焦慮怯場(chǎng)

集中注意力是考試成功的保證，一定的神經(jīng)亢奮和緊張，能加速神經(jīng)聯(lián)系，有益于積極

思維，要使注意力高度集中，思維異常積極，這叫內(nèi)緊，但緊張程度過(guò)重，則會(huì)走向反面,

形成怯場(chǎng)，產(chǎn)生焦慮，抑制思維，所以又要清醒愉快，放得開，這叫外松。

三、沉著應(yīng)戰(zhàn)，確保旗開得勝，以利振奮精神

良好的開端是成功的一半，從考試的心理角度來(lái)說(shuō)，這確實(shí)是很有道理的，拿到試題后，

不要急于求成、立即下手解題，而應(yīng)通覽遍整套試題，摸透題情，然后穩(wěn)操一兩個(gè)易題熟

題，讓自己產(chǎn)生“旗開得勝”的快意，從而有一個(gè)良好的開端，以振奮精神，鼓舞信心，很

快進(jìn)入最佳思維狀態(tài)，即發(fā)揮心理學(xué)所謂的“門坎效應(yīng)”，之后做一題得一題，不斷產(chǎn)生正

激勵(lì)，穩(wěn)拿中低，見機(jī)攀高。

四、“六先六后”，因人因卷制宜

在通覽全卷，將簡(jiǎn)單題順手完成的情況下，情緒趨于穩(wěn)定，情境趨于單一大腦趨于亢

奮，思維趨于積極，之后便是發(fā)揮臨場(chǎng)解題能力的黃金季節(jié)了。這時(shí)，考生可依自己的解題

習(xí)慣和基本功，結(jié)合整套試題結(jié)構(gòu)，選擇執(zhí)行“六先六后”的戰(zhàn)術(shù)原則。

1.先易后難。就是先做簡(jiǎn)單題，再做綜合題。應(yīng)根據(jù)自己的實(shí)際，果斷跳過(guò)啃不動(dòng)的題

目，從易到難，也要注意認(rèn)真對(duì)待每?道題，力求有效，不能走馬觀花，有難就退，傷害解

題情緒。

2.先熟后生。通覽全卷，可以得到許多有利的積極因素，也會(huì)看到一些不利之處。對(duì)后

者，不要驚慌失措。應(yīng)想到試題偏難對(duì)所有考生也難。通過(guò)這種暗示，確保情緒穩(wěn)定。對(duì)全

卷整體把握之后，就可實(shí)施先熟后生的策略，即先做那些內(nèi)容掌握比較到家、題型結(jié)構(gòu)比較

熟悉、解題思路比較清晰的題目。這樣，在拿下熟題的同時(shí)，可以使思維流暢、超常發(fā)揮，

達(dá)到拿下中高檔題目的目的。

3.先同后異，就是說(shuō)，先做同科同類型的題目，思考比較集中，知識(shí)和方法的溝通比較

容易，有利于提高單位時(shí)間的效益。高考題一般要求較快地進(jìn)行“興奮灶”的轉(zhuǎn)移，而“先

同后異”，可以避免“興奮灶”過(guò)急、過(guò)頻的跳躍，從而減輕大腦負(fù)擔(dān)，保持有效精力。

4.先小后大。小題一般是信息量少、運(yùn)算量小，易于把握，不要輕易放過(guò)，應(yīng)爭(zhēng)取在大

題之前盡快解決，從而為解決大題贏得時(shí)間，創(chuàng)造一個(gè)寬松的心理基礎(chǔ)。

5.先點(diǎn)后面，近年的高考數(shù)學(xué)解答題多呈現(xiàn)為多問(wèn)漸難式的“梯度題”，解答時(shí)不必一

氣審到底,應(yīng)走一步解決一步,而前面問(wèn)題的解決又為后面問(wèn)題準(zhǔn)備了思維基礎(chǔ)和解題條件,

所以要步步為營(yíng)，由點(diǎn)到面。

6.先高后低。即在考試的后半段時(shí)間，要注重時(shí)間效益，如估計(jì)兩題都會(huì)做，則先做高

分題;估計(jì)兩題都不易，則先就高分題實(shí)施“分段得分”，以增加在時(shí)間不足前提下的得分。

五、一“慢”一“快”，相得益彰

有些考生只知道考場(chǎng)匕一味地要快，結(jié)果題意未清，條件未全，便急于解答，豈不知欲

速則不達(dá)，結(jié)果是思維受阻或進(jìn)入死胡同，導(dǎo)致失敗。應(yīng)該說(shuō)，審題要慢，解答要快。審題

是整個(gè)解題過(guò)程的“基礎(chǔ)工程”，題目本身是“怎樣解題”的信息源，必須充分搞清題意，

綜合所有條件，提煉全部線索，形成整體認(rèn)識(shí)，為形成解題思路提供全面可靠的依據(jù)。而思

路一旦形成，則可盡量快速完成。

六、確保運(yùn)算準(zhǔn)確，立足一次成功

數(shù)學(xué)高考題的容量在120分鐘時(shí)間內(nèi)完成大小22個(gè)題，時(shí)間很緊張，不允許做大量細(xì)

致的解后檢驗(yàn)，所以要盡量準(zhǔn)確運(yùn)算（關(guān)鍵步驟，力求準(zhǔn)確，寧慢勿快），立足一次成功。解

題速度是建立在解題準(zhǔn)確度基礎(chǔ)上，更何況數(shù)學(xué)題的中間數(shù)據(jù)常常不但從“數(shù)量”上，而且

從“性質(zhì)”上影響著后繼各步的解答。所以，在以快為上的前提下，要穩(wěn)扎穩(wěn)打，層層有據(jù)，

步步準(zhǔn)確，不能為追求速度而丟掉準(zhǔn)確度，甚至丟掉重要的得分步驟。假如速度與準(zhǔn)確不可

兼得的說(shuō)，就只好舍快求對(duì)了，因?yàn)榻獯鸩粚?duì)，再快也無(wú)意義。

七、講求規(guī)范書寫，力爭(zhēng)既對(duì)又全

考試的又一個(gè)特點(diǎn)是以卷面為唯一依據(jù)。這就要求不但會(huì)而且要對(duì)、對(duì)且全，全而規(guī)范。

會(huì)而不對(duì)，令人惋惜;對(duì)而不全，得分不高;表述不規(guī)范、字跡不工整又是造成高考數(shù)學(xué)試卷

非智力因素失分的一大方面。因?yàn)樽舟E潦草，會(huì)使閱卷老師的第一印象不良，進(jìn)而使閱卷老

師認(rèn)為考生學(xué)習(xí)不認(rèn)真、基本功不過(guò)硬、“感情分”也就相應(yīng)低了，此所謂心理學(xué)上的“光

環(huán)效應(yīng)”?！皶鴮懸ふ?，卷面能得分”講的也正是這個(gè)道理。

八、面對(duì)難題，講究策略，爭(zhēng)取得分

會(huì)做的題目當(dāng)然要力求做對(duì)、做全、得滿分，而更多的問(wèn)題是對(duì)不能全面完成的題目如

何分段得分。下面有兩種常用方法。

1.缺步解答。對(duì)一個(gè)疑難問(wèn)題，確實(shí)啃不動(dòng)時(shí)，一個(gè)明智的解題策略是：將它劃分為一

個(gè)個(gè)子問(wèn)題或?系列的步驟，先解決問(wèn)題的?部分，即能解決到什么程度就解決到什么程度,

能演算幾步就寫幾步，每進(jìn)行一步就可得到這一步的分?jǐn)?shù)。如從最初的把文字語(yǔ)言譯成符號(hào)

語(yǔ)言，把條件和目標(biāo)譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式，設(shè)應(yīng)用題的未知數(shù)，設(shè)軌跡題的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，依題意正

確畫出圖形等，都能得分。還有象完成數(shù)學(xué)歸納法的第一步，分類討論，反證法的簡(jiǎn)單情形

等，都能得分。而且可望在上述處理中，從感性到理性，從特殊到一般，從局部到整體，產(chǎn)

生頓悟，形成思路，獲得解題成功。

2.跳步解答。解題過(guò)程卡在一中間環(huán)節(jié)上時(shí)，可以承認(rèn)中間結(jié)論，往下推，看能否得到

正確結(jié)論，如得不出，說(shuō)明此途徑不對(duì)，立即否得到正確結(jié)論，如得不出，說(shuō)明此途徑不對(duì),

立即改變方向，尋找它途;如能得到預(yù)期結(jié)論，就再回頭集中力量攻克這一過(guò)渡環(huán)節(jié)。若因

時(shí)間限制，中間結(jié)論來(lái)不及得到證實(shí)，就只好跳過(guò)這一步，寫出后繼各步，一直做到底;另

外，若題目有兩問(wèn)，第一問(wèn)做不上，可以第一問(wèn)為“已知”，完成第二問(wèn)，這都叫跳步解答。

也許后來(lái)由于解題的正遷移對(duì)中間步驟想起來(lái)了，或在時(shí)間允許的情況下，經(jīng)努力而攻下了

中間難點(diǎn)，可在相應(yīng)題尾補(bǔ)上。

九、以退求進(jìn)，立足特殊，發(fā)散一般

對(duì)于一個(gè)較..般的問(wèn)題，若一時(shí)不能取得一般思路，可以采取化一般為特殊（如用特殊

法解選擇題），化抽象為具體，化整體為局部，化參量為常量，化較弱條件為較強(qiáng)條件，等

等?？傊说揭粋€(gè)你能夠解決的程度上，通過(guò)對(duì)“特殊”的思考與解決，啟發(fā)思維，達(dá)到

對(duì)“一般”的解決。

十、執(zhí)果索因，逆向思考，正難則反

對(duì)一個(gè)問(wèn)題正面思考發(fā)生思維受阻時(shí)，用逆向思維的方法去探求新的解題途徑，往往能

得到突破性的進(jìn)展。順向推有困難就逆推，直接證有困難就反證。如用分析法，從肯定結(jié)論

或中間步驟入手，找充分條件;用反證法，從否定結(jié)論入手找必要條件。

十一、回避結(jié)論的肯定與否定，解決探索性問(wèn)題

對(duì)探索性問(wèn)題，不必追求結(jié)論的“是”與“否”、“有”與“無(wú)”，可以一開始，就綜合

所有條件，進(jìn)行嚴(yán)格的推理與討論，則步驟所至，結(jié)論自明。

十二、應(yīng)用性問(wèn)題思路：面一點(diǎn)一線

解決應(yīng)