工程力學(xué)24章 (2)課件

第24章壓桿穩(wěn)定學(xué)習(xí)要求：掌握細長壓桿臨界壓力的歐拉公式和壓桿的穩(wěn)定性計算；了解壓桿穩(wěn)定的概念，臨界應(yīng)力與歐拉公式的應(yīng)用范圍；了解提高壓桿穩(wěn)定性的措施。24.1

壓桿穩(wěn)定的概念穩(wěn)定平衡：軸向受壓細長桿，當壓力F小于某一數(shù)值時，在一個微小橫向力的作用下，壓桿偏離其原來的直線平衡位置而產(chǎn)生了微彎；當去掉該橫向力時，壓桿恢復(fù)到原來的直線平衡狀態(tài)，則稱這種壓桿原來的平衡為穩(wěn)定平衡。一、壓桿的穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡：軸向受壓細長桿，當壓力F超過某一數(shù)值后，壓桿仍保持直線平衡，但在一微小橫向力的作用下，壓桿偏離其原來直線平衡位置而產(chǎn)生微彎，去掉橫向力后壓桿不能恢復(fù)到原來的直線平衡，而是在彎曲狀態(tài)下達到新的彎曲平衡，則稱這種壓桿原來的平衡為不穩(wěn)定平衡。二、失穩(wěn)和臨界載荷的概念失穩(wěn)：壓桿由穩(wěn)定的直線平衡形式到不穩(wěn)定的直線平衡形式的轉(zhuǎn)變稱為失穩(wěn)。臨界載荷：壓桿處于穩(wěn)定的直線平衡與不穩(wěn)定的直線平衡的臨界狀態(tài)時的載荷稱為臨界載荷。24.2

細長壓桿臨界壓力歐拉公式1.兩端餃支細長壓桿的臨界壓力微彎方程通解由題意取n=1臨界壓力是使壓桿失穩(wěn)的最小壓力，故Fcr應(yīng)該取最小值兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力計算公式或稱為歐拉公式注意：在上述公式中，壓桿的橫截面慣性矩I應(yīng)取最小值即Imin。因為壓桿失穩(wěn)時總是在抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)發(fā)生彎曲。2.其他支承條件下細長壓桿的臨界壓力一端固定一端自由兩端餃支一端餃支一端固定兩端固定臨界壓力統(tǒng)一公式μ稱為壓桿的長度因數(shù)；μl稱為壓桿的相當長度2.歐拉公式的應(yīng)用范圍

歐拉公式是由彎曲變形的撓曲線近似微分方程推導(dǎo)出來的，而此微分方程是以胡克定律為基礎(chǔ)的，因此只有當材料的臨界應(yīng)力σcr不超過其比例極限σp

時，歐拉公式才可以使用，即臨界應(yīng)力應(yīng)滿足：λp是壓桿能否采用歐拉公式的最小柔度值柔度的壓桿稱為大柔度桿或細長桿。常見材料如Q235鋼、優(yōu)質(zhì)碳鋼:λp=100；鑄鐵:

λp=80。故，對于任何材料，細長桿的臨界應(yīng)力均采用歐拉公式進行計算。

當

時，臨界應(yīng)力，此時歐拉公式已不再適用。對于這類壓桿，常常采用以實驗結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗公式。常見的經(jīng)驗公式有直線公式和拋物線公式兩種。a、b是與材料力學(xué)性能有關(guān)的常數(shù),

MPa。常見材料的a、b值見表24-23.中小柔度桿的臨界應(yīng)力1）直線公式直線公式也有適用范圍：材料的臨界應(yīng)力σcr不超過其屈服極限σs或強度極限σb

，則有：λs是壓桿能否采用直線公式的最小柔度值由此可知，柔度可將壓桿分為3類：①的壓桿為細長桿，其臨界應(yīng)力

，臨界應(yīng)力可用歐拉公式來計算；②的壓桿為中長桿，其臨界應(yīng)力

,臨界應(yīng)力可用直線公式來計算；③

的壓桿為粗短桿，其臨界應(yīng)力

，臨界應(yīng)力可按強度問題來計算。將臨界應(yīng)力與柔度之間的關(guān)系用曲線繪制在λ—σcr坐標中得到的曲線圖稱為壓桿的臨界應(yīng)力總圖。拋物線公式的臨界應(yīng)力總圖直線公式的臨界應(yīng)力總圖注意：壓桿是按直線公式分類的，故一般使用直線公式計算壓桿的臨界應(yīng)力；而拋物線公式只在題目要求時才使用。例1：圖示兩端餃支壓桿，橫截面直徑d=50mm，材料為Q235鋼，其彈性模量E=200GPa，λp=100。試確定此壓桿的臨界應(yīng)力。解：計算柔度，確定臨界應(yīng)力計算公式。此壓桿屬于細長桿，采用歐拉公式計算臨界應(yīng)力

例2：圖示壓桿，直徑均為d=160mm，材料都是Q235鋼，E=206GPa，λc=123。試計算二桿的臨界壓力。解：計算柔度，確定臨界應(yīng)力計算公式。a圖是細長桿，可采用歐拉公式b圖是非細長桿，采用經(jīng)驗公式24.4

壓桿的穩(wěn)定性計算壓桿穩(wěn)定性計算主要有兩種方法：安全因數(shù)法和折減系數(shù)法。安全系數(shù)法多用于穩(wěn)定性校核和確定許可載荷，折減系數(shù)法多用于截面設(shè)計。一.安全因數(shù)法穩(wěn)定安全因數(shù)二.折減系數(shù)法?為穩(wěn)定系數(shù)或折減系數(shù)強度設(shè)計的許用應(yīng)力

對于鋼類材料，其穩(wěn)定系數(shù)?與柔度λ之間的關(guān)系可以查相關(guān)的表。對于木材的穩(wěn)定系數(shù)?值，按照樹種的強度等級有以下兩組計算公式：

安全因數(shù)法解題步驟：1）計算壓桿最大柔度；2）選擇對應(yīng)的臨界應(yīng)力公式計算σcr；3）計算臨界壓力Fcr；4）進行穩(wěn)定性計算。1）樹種等級為TC17（柏木、東北落葉等）；TC15（紅杉、云杉等）；TB20（櫟木、桐木等）時，有：2）樹種等級為TC13（紅松、馬尾松等）；TC11（西北云杉和冷杉等）；TB17（水曲柳等）；TB15（栲木和樺木等）時，有：AB桿為非細長桿，采用經(jīng)驗公式故斜桿AB

桿滿足穩(wěn)定性要求。

例2：如圖所示承載結(jié)構(gòu)，BD為正方形截面的東北落葉松木桿，已知l=2m，a=0.1m，許用應(yīng)力[σ]=10MPa。試從BD桿的穩(wěn)定性考慮，計算該結(jié)構(gòu)所能承受的最大載荷Fmax。解：列平衡方程求BD桿的軸力計算BD桿柔度2）減小壓桿的長度因數(shù)，可以增強支承的剛性3）合理選擇壓桿截面形狀，可以增大其慣性矩當壓桿的約束條件相同時，壓桿將在其剛度最小的平面內(nèi)彎曲。此時要提高壓桿的承載能力，最好的辦法是采用空心截面，不僅提高整個截面慣性矩，并使截面對各個方向軸的慣性矩均相同。因此，約束條件相同、橫截面面積一定的截面，正方形或圓形比矩形好，空心比實心好。4）合理選用材料以增大彈性模量E

在其他條件均相同的條件下，選用彈性模量大的材料，可以提高細長壓桿的承載能力。例如鋼桿臨界載荷大于銅、鑄鐵或鋁制壓桿的臨界載荷。但是，普通碳素鋼、合金鋼以及高強度鋼的彈性模量數(shù)值相差不大。因此，對于細長桿，若選用高強度鋼，對壓桿臨界載荷影響甚微，意義不大，反而造成材料的浪費。但對于粗短桿或中長桿，其臨界載荷與材料的比例極限或屈服強度有關(guān)，這時選用高強度鋼會使臨界載荷有所提高。例1：兩根細長壓桿的長度、

橫截面面積、

約束狀態(tài)及材料均相同，若其橫截面形狀分別為正方形和實心圓形，則二壓桿的臨界壓力Fcr正和Fcr圓的關(guān)系為（）。A.Fcr正=Fcr圓；B.Fcr正＜Fcr圓；C.Fcr正＞Fcr圓；D.不確定C例2：材料和柔度都相同的兩根壓桿（）。A.臨界應(yīng)力一定相等，臨界壓力不一定相等；B.臨界應(yīng)力不一定相等，臨界壓力一定相等；C.臨界應(yīng)力和壓力都一定相等；D.臨界應(yīng)力和壓力都不一定相等。A例3：圖示兩端鉸支壓桿，當其失穩(wěn)時（）。A.臨界壓力Fcr＝π2EIy

/L2，撓曲線位于xy面內(nèi)；B.臨界壓力Fcr＝π2EIy

/L2，撓曲線位于xz面內(nèi)；C.臨界壓力Fcr＝π2EIz

/L2，撓曲線位于xy面內(nèi)；D.臨界壓力Fcr＝π2EIz

/L2，撓曲線位于xz面內(nèi)。B例4：下列有關(guān)壓桿臨界應(yīng)力σcr

的結(jié)論中（

）是正確的。細長桿的σcr

值與桿的材料無關(guān)；中長桿的σcr

值與桿的柔度無關(guān)；中長桿的σcr

值與桿的材料無關(guān)；粗短桿的σcr

值與桿的柔度無關(guān)。D例5：將低碳鋼改為優(yōu)質(zhì)高強度鋼后，并不能提高（）壓桿的承壓能力。A.細長；B.中長；C.短粗；D.非短粗A例6：圖示各桿橫截面