電動力學(xué)第23節(jié)課件

拉普拉斯方程分離變量法

電場是帶電導(dǎo)體所決定的。自由電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上。因此，在沒有電荷分布的區(qū)域里,Poisson'sequation

就轉(zhuǎn)化為Laplace'sequation，即對于具有一定對稱性的靜電問題，可以試探求解。唯一性定理保證解的正確性和唯一性。如果靜電問題多式多樣，而且如果稍微復(fù)雜，則試探解法不適用了，因此我們有必要多開辟一些求解方法。Laplace'sequation,methodofseparatevariation產(chǎn)生這個電場的電荷都是分布于區(qū)域V的邊界上，它們的作用通過邊界條件反映出來：①給定②給定或?qū)w總電量所以，討論的問題歸結(jié)為：①怎樣求解（通解）Laplace'sequation.②怎樣利用邊界條件及邊值關(guān)系求出積分常數(shù)。Laplace'sequation可以用分離變量法求通解，其求解條件是：①方程是齊次的。②邊界應(yīng)該是簡單的幾何面。（能用分離變量法條件：求區(qū)無電荷，邊界規(guī)則）2、在柱坐標(biāo)系中設(shè)該方程的通解為其中，Jm為m階第一類貝塞爾函數(shù)，Nm為m階第二類貝塞爾函數(shù)?！袢绻紤]與z軸無關(guān)（k=0）情況，并討論的區(qū)域是，故通解為這里A，B，C，D為待定系數(shù)。3、在球坐標(biāo)系中設(shè)其通解為這里為締合勒讓德（Legendre)函數(shù)。二、利用邊界條件定解

說明兩點(diǎn)：第一，如果考慮問題中有i個區(qū)域（均勻分布），必須有i個相應(yīng)的Laplace‘sequation。第二，在每個區(qū)域的交界面上，應(yīng)該滿足邊值關(guān)系邊界條件：及導(dǎo)體的總電荷三、舉例說明定特解的方法[例1]一個內(nèi)徑和外徑分別為R2和R3的導(dǎo)體球殼，帶電荷為Q。同心地包圍著一個半徑為R1的導(dǎo)體球（R1<R2)，使半徑R1的導(dǎo)體球接地，求空間各點(diǎn)的電勢和這個導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷。QR1R2R3[解]：第一步：分析題意，找出定解條件

根據(jù)題意，具有球?qū)ΨQ性，電勢不依賴于極角和方位角，只與半徑r有關(guān)。即故定解條件為：邊界條件：(i)因?yàn)閷?dǎo)體球接地，有(ii)因整個導(dǎo)體球殼為等勢體，有(iii)球殼帶電量為Q，根據(jù)Gausstheorem得到第二步，根據(jù)定解條件確定通解和待定常數(shù)由方程式(1)、(2)可看出，電勢不依賴于φ，取n=0；不依賴于θ，取,由(5)式得即將(13)式代入(12)式，即得令因此得到：將A、B、C、D系數(shù)代入到(6)、(7)式，即得電勢的解：導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷為總結(jié)解題思路，好好理解解題步驟，特別注意邊界條件。如果通解中的常數(shù)不能完全確定，一般可能是邊界條件沒有全部挖掘出來。[例2]介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)球，半徑為R，被置于均勻外場中，球外為真空。求電勢分布。[解]：第一步：根據(jù)題意，找出定解條件Rz由于這個問題具有軸對稱性，取極軸z沿外電場方向，介質(zhì)球的存在使空間分為兩個均勻區(qū)域——球內(nèi)、球外，兩區(qū)域內(nèi)都沒有自由電荷。因此電勢滿足Laplace’sequation。以代表球外區(qū)域的電勢，代表球內(nèi)區(qū)域的電勢，故外電場將使介質(zhì)球極化，假定介質(zhì)球的尺度遠(yuǎn)小于產(chǎn)生原外場的電荷分布線度，則球內(nèi)和球外空間的總電場,均是原外場與介質(zhì)球極化電荷產(chǎn)生的電場疊加的結(jié)果。簡單媒質(zhì)中的極化強(qiáng)度與外場方向相同。第二步：根據(jù)定解條件確定通解和待定常數(shù)由于問題具有軸對稱性，即與無關(guān)，故由(2)式得比較兩邊系數(shù)，得由(6)式得從中可見故有：再由(3)、(4)式或者(7)、(8)式得到：比較的系數(shù)，得由(13)、(14)式給出由(15)、(16)式給出其中第二項(xiàng)和第三項(xiàng)之和實(shí)際上是一個等效的放在原點(diǎn)的偶極子在球外產(chǎn)生的電場，其電偶極矩為因此，球外區(qū)域的電場為：而同理得到由此可見，球內(nèi)的場是一個與球外場平行的恒定場。而且球內(nèi)電場比原則外場為弱，這是極化電荷造成的?！谇騼?nèi)總電場作用下，介質(zhì)球的極化強(qiáng)度的▲介質(zhì)球的總電偶極矩為該題的求解思路是非常明朗的！1、坐標(biāo)原點(diǎn)：介質(zhì)球心，Z軸正向?yàn)殡妶龇较颍O軸）2、分析問題的性質(zhì)：球內(nèi)、球外區(qū)域滿足拉普拉斯方程；分析通解的形式（為什么是(3.3)而不是(3.2)也不是的形式？）3、最重要的一步！根據(jù)邊界條件求待定常數(shù)。邊界條件如何挖掘？(1)注意在特殊點(diǎn)的值——比如無窮遠(yuǎn)處、坐標(biāo)原點(diǎn)等；(2)注意在界面的上數(shù)值關(guān)系——電勢連續(xù)，界面兩側(cè)電位移關(guān)系在整個解題過程中，我們要將R理解為變量（建議同學(xué)們用表示）4、對結(jié)果的討論（加深理解）2)球外區(qū)域的電勢＝勻強(qiáng)電場電勢＋極化電荷(電偶極矩)產(chǎn)生的電勢。1)介質(zhì)球內(nèi)的電場(小于)，道理！極化電荷電偶極矩.因此解變成(2)由，分析出：有了這些結(jié)論，結(jié)果就出來了。[例4]導(dǎo)體尖劈帶電勢V，分析它的尖角附近的電場。[解]：用柱坐標(biāo)系，取z軸沿尖邊⊙⊙電場存在于的空間，假設(shè)電場沿z軸具有平移對稱性，則取垂直于z軸的平面如圖所示。據(jù)數(shù)學(xué)物理方法，有方程：與z無關(guān)下，方程的通解為：據(jù)題意已選定參考點(diǎn)解題步驟1、選擇坐標(biāo)系和電勢參考點(diǎn)：坐標(biāo)系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀；參考點(diǎn)主要根據(jù)電荷分布是有限還是無限。2、分析對稱性，分區(qū)寫出拉普拉斯方程在所選坐標(biāo)系中的通解。3、根據(jù)具體條件確定常數(shù)。兩種邊界條件：1）外邊界條件：電荷分布在有限區(qū)域?qū)w邊界可視為外邊界：＝常量（接地），或給定總電荷Q，或給定。2）內(nèi)邊界條件――界面邊值關(guān)系：介質(zhì)分界面上表面無自由電荷時：[習(xí)題1]半徑為R的帶電球面，面電荷密度為（為常量，為極角），球外充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)（如下圖），求球內(nèi)外的電勢和電場強(qiáng)度。[解]：

如題圖所示，設(shè)球內(nèi)外的電勢分別為，因球內(nèi)外電荷密度均為零，所以電勢滿足的方程為拉普拉斯方程：由對稱性及邊界條件，方程的解可以寫為：邊界條件有：邊值關(guān)系為：應(yīng)用前面的第一個邊界條件：可以得到：代入邊值關(guān)系中可以得到：解得：所以根據(jù)電場與電勢的關(guān)系可以求出球內(nèi)外的電場分布為：前式為球內(nèi)區(qū)域的場強(qiáng)分布式，后者為球外區(qū)域的場強(qiáng)分布式。[解]：

[習(xí)題4]均勻介質(zhì)球（介電常數(shù)為）的中心置一自由電偶極子，球外充滿另一種介質(zhì)（介電常數(shù)為），求空間各點(diǎn)電勢和束縛電荷分布。（1）與的邊界為球面，故選球坐標(biāo)系，電荷分布在有限區(qū)，選（2）設(shè)球內(nèi)為，球外為。球外無自由電荷分布，，但球內(nèi)有自由偶極子，不滿足拉普拉斯方程，但滿足泊松方程，考慮偶極子使介質(zhì)極化，極化電荷分布在偶極子附近和球面上。自由偶極子在介質(zhì)中產(chǎn)生電勢所以滿足還可設(shè)滿足考慮軸對稱：（3）確定常數(shù)①R→0，有限，R→∞②邊值關(guān)系并注意到比較的系數(shù)，得（4）電勢解為（5）球面上束縛（極化）電荷分布[習(xí)題6]在均勻外電場中置入一自由電荷體密度為的絕緣介質(zhì)球（電容率），求空間各點(diǎn)的電勢。[解]：

設(shè)球內(nèi)、外區(qū)域的電勢為，在兩區(qū)域的電勢滿足泊松方程的拉普拉斯方程，(1)邊界條件：(2)R0為介質(zhì)球的半徑，且設(shè)介質(zhì)球沒有放入時球心的電勢為零。很明顯，球內(nèi)區(qū)域?yàn)樽杂呻姾纱嬖诘膮^(qū)域，滿足拉普拉斯方程，怎么解呢？微分方程理論告訴我們，如果能夠找到非齊次微分方程的一個特解，那么：“非齊次微分方程的通解”＝“非齊次微分方程的特解”＋“對應(yīng)齊次微分方程的通解”令，是泊松方程的一個特解，即；仍然滿足方程。

則我們原則上可以找到求解泊松方程的方法：

(1)尋找泊松方程的特解——試探法找特解(猜、蒙……)(2)求出對應(yīng)的齊次方程——拉普拉斯方程的通解

(3)泊松方程的通解為，再利用具體問題的邊界條件定出待定常數(shù)，得到滿足邊界條件的泊松方程的解。

下面我們再加過頭來解上面的問題：可以驗(yàn)證是滿足的一個特解。令且，得到如下方程：問題具有軸對稱性，解與角度無關(guān)，解的形式如下：所以方程（1）的解為把邊界條件（2）代入，可以得到：所以：再利用邊值關(guān)系（2）的后兩個式子，有：(3)(4)由（3）（4）得當(dāng)n=0時當(dāng)n=1時當(dāng)n=2時由此我們求出本問題的最終結(jié)果是：（1）當(dāng)時，（2）當(dāng)時