八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培優(yōu)專題及答案 10 坐標(biāo)平面上的直線

專題10坐標(biāo)平面上的直線閱讀與思考我們知道，任意一個(gè)一次函數(shù)的圖象都是平面上的一條直線，那么，是不是平面上的任意一條直線都是某個(gè)一次函數(shù)的圖象呢？請(qǐng)讀者思考.一次函數(shù)、二元一次方程、直線三者有著緊密的聯(lián)系，我們既可以用函數(shù)的方法來(lái)處理方程的問題，也可以從方程的觀點(diǎn)來(lái)討論函數(shù)；既可以用坐標(biāo)平面上的直線來(lái)表示一次函數(shù)與二元一次方程，也可以用方程和函數(shù)的思想來(lái)研究直線的性質(zhì)，以及直線與直線之間的關(guān)系.數(shù)形結(jié)合是解函數(shù)問題的重要思想方法，它包括兩方面內(nèi)容：（1）由數(shù)定形即通過(guò)函數(shù)解析式的系數(shù)符號(hào)，確定圖象的大致位置.（2）由形導(dǎo)數(shù)即從給定的函數(shù)圖象上獲得解的信息，如圖象的大致位置；確定解析式中系數(shù)符號(hào)；圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)等.一次函數(shù)的圖象是一條直線，對(duì)于實(shí)際問題，由于自變量的取值范圍受實(shí)際意義的限制，因此，作出的函數(shù)圖象是常見直線的一部分，相應(yīng)函數(shù)值就有最大值或最小值.一次函數(shù)是表示日常生活中勻速變化的兩個(gè)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是最基本的函數(shù)，有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值.運(yùn)用一次函數(shù)解題時(shí)應(yīng)注意：1.一次函數(shù)的圖象是一條直線.2.函數(shù)解析式中的系數(shù)符號(hào)，確定圖象的大致位置及y隨x變化的性質(zhì).3.確定一次函數(shù)解析式，通常需要兩個(gè)獨(dú)立的條件.4.一次函數(shù)與二元一次方程有著密切的聯(lián)系，任意一個(gè)一次函數(shù)都可以看做是一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程；反過(guò)來(lái)，任意一個(gè)二元一次方程，當(dāng)時(shí)，可化為形如的函數(shù)形式.例題與求解【例1】（1）如圖，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與y軸交于點(diǎn)B，連接AB，，則.（蘇州市中考試題）（2）一次函數(shù)的圖象l1關(guān)于直線軸對(duì)稱的圖象l2的函數(shù)解析式是.（太原市競(jìng)賽試題）解題思路：對(duì)于（1），先求出相應(yīng)函數(shù)解析式；對(duì)于（2），l1與x軸、y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，求出A，B兩點(diǎn)分別關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，這是解題的關(guān)鍵.【例2】已知，并且，則直線一定通過(guò)（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D(zhuǎn).第一、四象限（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）解題思路：求出p的值，大致畫出函數(shù)圖象位置，從而作出判斷.【例3】如圖，△AOB為正三角形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)C作直線l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面積相等，求直線l的函數(shù)解析式.（太原市競(jìng)賽試題）解題思路：由得，設(shè)法求出E點(diǎn)的坐標(biāo).【例4】某科技公司在甲地、乙地分別生產(chǎn)了17臺(tái)、15臺(tái)同一種型號(hào)的檢測(cè)設(shè)備，全部運(yùn)往大運(yùn)會(huì)賽場(chǎng)A，B兩館，其中運(yùn)往A館18臺(tái)、運(yùn)往B館14臺(tái).運(yùn)往A，B兩館的運(yùn)費(fèi)如下表：出發(fā)地目的地甲地乙地A館800元/臺(tái)700元/臺(tái)B館500元/臺(tái)600元/臺(tái)（1）設(shè)甲地運(yùn)往的設(shè)備有x臺(tái)，請(qǐng)?zhí)顚懴卤?，并求出總運(yùn)費(fèi)y（元）與x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；出發(fā)地目的地甲地乙地A館x（臺(tái)）（臺(tái)）B館（臺(tái)）（臺(tái)）（2）要使總運(yùn)費(fèi)不高于20200元，請(qǐng)你幫助該公司設(shè)計(jì)調(diào)配方案，并寫出有哪幾種方案；（3）當(dāng)x為多少時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最小，最小值是多少？（深圳市中考試題）解題思路：將設(shè)計(jì)方案轉(zhuǎn)化為求不等式組的整數(shù)解，為此需求出自變量的取值范圍.當(dāng)一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸有交點(diǎn)時(shí)，就與直角三角形聯(lián)系在一起.求兩交點(diǎn)坐標(biāo)并能發(fā)掘隱含條件是解相關(guān)綜合題的基礎(chǔ).當(dāng)自變量受限制時(shí)，一次函數(shù)圖象可能是射線、線段、折線或點(diǎn).當(dāng)一次函數(shù)自變量取值受限制時(shí)，存在最大值與最小值，根據(jù)圖象求最值直觀明了.【例5】已知長(zhǎng)方形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為，A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，已知點(diǎn)D在第一象限且是直線上的一點(diǎn)，若△APD是等腰直角三角形.（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）直線向右平移6個(gè)單位后，在該直線上是否存在點(diǎn)D，使△APD是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（浙江省中考試題）解題思路：構(gòu)造全等三角形，注重坐標(biāo)與線段的轉(zhuǎn)化，并由動(dòng)點(diǎn)討論，這是解本題的關(guān)鍵.例5顛覆了傳統(tǒng)意義上的動(dòng)點(diǎn)問題與存在性問題，探索過(guò)程是嘗試畫圖，找到可能存在的點(diǎn)，再計(jì)算驗(yàn)證.綜合了坐標(biāo)、方程、函數(shù)、矩形、特殊三角形、全等三角形等豐富的知識(shí)，滲透了分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法.【例6】如圖1是甲、乙兩個(gè)圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱體鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上）.現(xiàn)將甲槽中的水勻速注人乙槽，甲、乙兩個(gè)水槽中水的深度y（厘米）與注水時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖2所示．根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：（1）圖2中折線ABC表示

槽中水的深度與注水時(shí)間之間的關(guān)系，線段DE表示槽中水的深度與注水時(shí)間之間的關(guān)系（以上兩空選塡“甲”或“乙”），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)表示的實(shí)際意義是；（2）注水多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，甲、乙兩個(gè)水槽中水的深度相同？（3）若乙槽底面積為36平方厘米（壁厚不計(jì)），求乙槽中鐵塊的體積；（4）若乙槽中鐵塊的體積為112立方厘米，求甲槽底面積（壁厚不計(jì)）．（直接寫出結(jié)果）（揚(yáng)州市中考試題）解題思路：觀察乙槽的特征可知，水面上升速度應(yīng)是先快后慢，圖象的“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”即對(duì)應(yīng)容器的“水面剛好漫過(guò)鐵塊”這個(gè)時(shí)刻，由此確定，圖象與器具的對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)于（3）、（4），根據(jù)注水時(shí)間與注水速度求解，而解題的關(guān)鍵是挖掘出隱含信息.例6是圖象信息題.函數(shù)圖象以直觀、形象的特征融合了顯性與隱性的信息，解題的關(guān)鍵是獲取數(shù)據(jù)、數(shù)量關(guān)系信息，并能整合信息，還原到問題的情境之中.能力訓(xùn)練A級(jí)1.已知，且，則關(guān)于自變量x的一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)第象限.（湖北省黃岡市競(jìng)賽試題）2.某地長(zhǎng)途汽車客運(yùn)公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定重量的行李，如果超過(guò)規(guī)定，則需要購(gòu)買行李票，其圖象如圖所示，旅客最多可免費(fèi)攜帶行李千克.（南京市中考試題）3.如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，則△AOC的面積為.（第2題）（第3題）（第4題）4.如圖，直線與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，直線BC與直線AB垂直，垂足為B，則直線BC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為.5.某市為了鼓勵(lì)節(jié)約用水，按以下規(guī)定收取水費(fèi)：（1）每戶每月用水量不超過(guò)20m3，則每立方米水費(fèi)1.2元；（2）每戶每月用水量超過(guò)20m3，則超過(guò)的部分每立方米水費(fèi)2元.設(shè)某戶一個(gè)月所交水費(fèi)為y（元），用水量為x（m3），則y與x的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為（）ABCD（荊州市中考試題）6.下列圖象中，不可能是關(guān)于x的一次函數(shù)的圖象是（）（北京市中考試題）7.如圖，點(diǎn)A，B，C在一次函數(shù)的圖象上，它們的橫坐標(biāo)依次為、1、2，分別過(guò)這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，則圖中陰影部分的面積之和是（）A.1B.3C.D.（寧波市中考試題）8.點(diǎn)，是坐標(biāo)平面上兩定點(diǎn)，C是的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足上述條件的直角△ABC可以畫出（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)（北京市競(jìng)賽試題）9.隨著我國(guó)人口增長(zhǎng)速度的減慢，小學(xué)入學(xué)兒童數(shù)量有所減少，下表中的數(shù)據(jù)近似地呈現(xiàn)了某地區(qū)入學(xué)兒童人數(shù)的變化趨勢(shì).試用你學(xué)過(guò)的函數(shù)知識(shí)解決下列問題：x（年）200020012002…入學(xué)兒童人數(shù)y（人）252023302140…（1）求入學(xué)兒童人數(shù)y（人）與年份x（年）的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用所求函數(shù)關(guān)系式，預(yù)測(cè)該地區(qū)從哪一年起入學(xué)兒童的人數(shù)不超過(guò)1000人.（沈陽(yáng)市中考試題）10.已知直線和，若它們的交點(diǎn)在第四象限.（1）求k的取值范圍；（2）若k為非整數(shù)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)P在直線上，求使△PAO為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).（大連市中考試題）11.如圖，已知直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，另一直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且把△AOB分成兩部分.（1）若△AOB被分成的兩部分面積相等，求k和b的值；（2）若△AOB被分成的兩部分的面積比為，求k和b的值.（廈門市中考試題）12.某車站客流量大，旅客往往需長(zhǎng)時(shí)間排隊(duì)等候購(gòu)票.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，每天開始售票時(shí)，約有300名旅客排隊(duì)等候購(gòu)票，同時(shí)有新的旅客不斷進(jìn)入售票廳排隊(duì)等候購(gòu)票，新增購(gòu)票人數(shù)y（人）與售票時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系如圖1所示；每個(gè)售票窗口票數(shù)y（人）與售票時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.某天售票廳排隊(duì)等候購(gòu)票的人數(shù)y（人）與售票時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系如圖3所示.已知售票的前a分鐘開放了兩個(gè)售票窗口，求：圖1圖2圖3（1）a的值；（2）售票到第60分鐘時(shí)，售票廳排隊(duì)等候購(gòu)票的旅客人數(shù)；（3）該車站在學(xué)習(xí)實(shí)踐科學(xué)發(fā)展觀的活動(dòng)中，本著“以人為本，方便旅客”的宗旨，決定增設(shè)售票窗口.若要在開始售票后半小時(shí)內(nèi)讓所有排隊(duì)購(gòu)票的旅客都能購(gòu)到票，以便后來(lái)到站的旅客能隨到隨購(gòu)，請(qǐng)你幫助計(jì)算，至少需同時(shí)開放幾個(gè)售票窗口？（咸寧市中考試題）13.2011年4月28日，以“天人長(zhǎng)安，創(chuàng)意自然——城市與自然和諧共生”為主題的世界園藝博覽會(huì)在西安隆重開園.這次園藝會(huì)的門票分為個(gè)人票、團(tuán)體票兩大類，其中個(gè)人票設(shè)置有三種：票的種類夜票（A）平日普通票（B）指定日普通票（C）單價(jià)（元/張）60100150某社區(qū)居委會(huì)為獎(jiǎng)勵(lì)“和諧家庭”，欲購(gòu)買個(gè)人票100張，其中B種票的張數(shù)是A種票張數(shù)的3倍還多8張，設(shè)需購(gòu)A種票張數(shù)為x，C種票張數(shù)為y.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)購(gòu)票總費(fèi)用為w元，求出w（元）與x（張）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若每種票至少購(gòu)買1張，其中購(gòu)買A種票不少于20張，則有幾種購(gòu)票方案？并求出購(gòu)票總費(fèi)用最少時(shí)，購(gòu)買A，B，C三種票的張數(shù).（陜西省中考試題）B級(jí)1.如圖，在直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點(diǎn)，，P為線段OC上一點(diǎn)，若過(guò)B，P兩點(diǎn)的直線為，過(guò)A，P兩點(diǎn)的直線為，且BP⊥AP，則.（紹興市競(jìng)賽試題）2.設(shè)直線（k是自然數(shù)）與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為S1，S2，…，S2000，則.（湖北省選拔賽試題）（第1題）（第3題）（第4題）3.如圖，直線與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把△AOB沿AB翻折，點(diǎn)O落在C處，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.（黃岡市競(jìng)賽試題）4.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）5.在直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)和，M是x軸上任意點(diǎn)，則的長(zhǎng)度的最小值是（）A.B.4C.D.36.某航空公司規(guī)定，旅客乘機(jī)所攜帶行李的質(zhì)量x（kg）與其運(yùn)費(fèi)y（元）由如圖所示的一次函數(shù)圖象確定，那么旅客可攜帶的免費(fèi)行李的最大質(zhì)量為（）A.20kgB.25kgC.28kgD.30kg（成都市中考試題）7.一個(gè)一次函數(shù)的圖象與直線平行，與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，并且過(guò)點(diǎn)，則在線段AB上（包括端點(diǎn)A、B），橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有（）A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）8.設(shè)，將一次函數(shù)與的圖象畫在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則有一組a，b的取值，使得下列4幅圖中正確的是（）ABCD（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）9.求證：不論k為何值，一次函數(shù)的圖象恒過(guò)一定點(diǎn).（江蘇省競(jìng)賽試題）10.已知四條直線，，和所圍成的四邊形面積是12，求m的值.（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）11.在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A，B，且使得.（1）用b表示k；（2）求△AOB面積的最小值.（浙江省競(jìng)賽試題）12.如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作Rt△ABC，且使∠ABC=30°.（1）求△ABC的面積；（2）如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)，試用含m的代數(shù)式表示四邊形AOPB的面積，并求出當(dāng)△ABP與△ABC的面積相等時(shí)m的值；（3）是否存在使△QAB為等腰三角形并且在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)Q？若存在，寫出點(diǎn)Q所有可能的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）專題10坐標(biāo)平面上的直線例1（1）提示：(2)兩對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.這兩點(diǎn)的直線解析式為.例2B例3由=得，=，而=，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為，則=,,又直線AB的解析式為,而E在AB上，得，由E,C兩點(diǎn)可得直線，l的解析式為.(1)如下表所示:甲地乙地A館（臺(tái)）（臺(tái)）B館（臺(tái)）（臺(tái)）依題意得：y＝800x＋700（18－x）＋500（17一x）＋600(x－3)，即y＝200x＋19300(3≤x≤17).(2)要使運(yùn)費(fèi)不高于20200元，則200x＋19300≤20200，解得x≤4.5，∵3≤x≤17，且x只能取正整數(shù)，∴x＝3或4．∴該公司的調(diào)配方案共有2種．(3)當(dāng)x＝3時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最小為19900元．例5(1)如圖a，作DE⊥y軸于E點(diǎn)，PF⊥y軸于F，則△ADE≌△PAD，AE＝PF＝8，OE＝14.由14＝2x＋6得x＝4．∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(4，14).(2)直線y＝2x＋6向右平移6個(gè)單位后的解析式為y＝2x－6．如圖b，當(dāng)∠ADP＝90°，AD＝PD，易得D點(diǎn)坐標(biāo)為(4，2)．如圖c，當(dāng)∠APD＝90°，AP＝PD時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(8，m)，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（14一m，m＋8），由m＋8＝2(14－m)一6，得m＝EQ\F(14,3)，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（EQ\F(28,3)，EQ\F(38,3)）．如圖d，當(dāng)∠ADP＝90°，AD＝DP時(shí)，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（EQ\F(20,3)，EQ\F(22,3)）．綜上，符合條件的D點(diǎn)存在，坐標(biāo)分別為(4，2)，（EQ\F(28,3)，EQ\F(38,3)），（EQ\F(20,3)，EQ\F(22,3)）．例6(1)乙；甲；鐵塊的高度為14cm.(2)直線DE，AB的解析式分別為y＝一2x＋12，y＝3x十2，由EQ\B\lc\{(\a\al(y＝一2x＋12,y＝3x十2))，得EQ\B\lc\{(\a\al(x＝2,y＝8)).即注水2分鐘時(shí)，甲、乙兩水槽中水的深度相同．(3)設(shè)乙槽底面積與鐵塊底面積之差為S，則(14－2)S＝2×36×(19－14)，解得S＝30.∴鐵塊底面積為36－30＝6(平方厘米).∴鐵塊體積為6×14＝84（立方厘米）.(4)∵鐵塊體積為112立方厘米，∴鐵塊底面積為112÷14＝8（平方厘米）．設(shè)甲槽底面積為S平方厘米，則注水速度為EQ\F(12S,6)＝2S（立方厘米／分）．由題意得EQ\F(2S×(6-4),19-14)一EQ\F(2S×4,14-2)=8.解得S=60．∴甲槽底面積為60平方厘米．A級(jí)1．一、二；2.30；3.4；4．y＝－2x－8；5．C6．C7．B提示：陰影部分為三個(gè)直角三角形，與x軸平行的邊長(zhǎng)都為1，高都為2.8．D9．(1)y＝－190x＋382520提示：描點(diǎn)發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)近似在一條直線上；(2)從2008年起入學(xué)兒童的人數(shù)不超過(guò)1000人．10．(1)一4＜k＜1；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，一EQ\F(5,2)），（2，一2），（EQ\F(18,5)，一EQ\F(6,5)）．提示：直線y＝一EQ\F(3,2)一3，分類討論.11．(1)k＝－2，b＝2(2)k＝一EQ\F(2,3)，b＝EQ\F(2,3)或k＝2,b＝－2．12.(1)a＝30；(2)第30～78分鐘時(shí)，售票廳排隊(duì)等候購(gòu)票的人數(shù)y與售票時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝－5x＋390，當(dāng)x＝60時(shí)，y＝90