點(diǎn)線面關(guān)系知識(shí)總結(jié)和練習(xí)題(有答案)

------------------------------------------------------------------------點(diǎn)線面關(guān)系知識(shí)總結(jié)和練習(xí)題(有答案)點(diǎn)線面位置關(guān)系總復(fù)習(xí)知識(shí)梳理一、直線與平面平行1.判定方法（1）定義法：直線與平面無(wú)公共點(diǎn)。（2）判定定理：（3）其他方法：2.性質(zhì)定理：二、平面與平面平行1.判定方法（1）定義法：兩平面無(wú)公共點(diǎn)。（2）判定定理：（3）其他方法：;2.性質(zhì)定理：三、直線與平面垂直（1）定義：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直。（2）判定方法用定義.判定定理:推論:（3）性質(zhì)①②四、平面與平面垂直（1）定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直線二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。（2）判定定理（3）性質(zhì)①性質(zhì)定理②“轉(zhuǎn)化思想”面面平行線面平行線線平行面面垂直線面垂直線線垂直求二面角1.找出垂直于棱的平面與二面角的兩個(gè)面相交的兩條交線,它們所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，在兩半平面內(nèi)分別作射線OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB叫做二面角的平面角例1．如圖，在三棱錐S-ABC中，SA^底面ABC，AB^BC，DE垂直平分SC，且分別交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD為棱，以BDE和BDC為面的二面角的度數(shù)。求線面夾角定義：斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）方法：作直線上任意一點(diǎn)到面的垂線，與線面交點(diǎn)相連，利用直角三角形有關(guān)知識(shí)求得三角形其中一角就是該線與平面的夾角。例1：在棱長(zhǎng)都為1的正三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA與底面ABC所成的角是________．例2：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，①BC1與平面AB1所成的角的大小是___________；②BD1與平面AB1所成的角的大小是___________；③CC1與平面BC1D所成的角的大小是___________；BC1與平面A1BCD1所成的角的大小是___________；BD1與平面BC1D所成的角的大小是___________；例3：已知空間內(nèi)一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC兩兩夾角為60°，試求OA與平面BOC所成的角的大?。缶€線距離說(shuō)明：求異面直線距離的方法有：(1)（直接法）當(dāng)公垂線段能直接作出時(shí)，直接求．此時(shí)，作出并證明異面直線的公垂線段，是求異面直線距離的關(guān)鍵．(2)（轉(zhuǎn)化法）把線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，如求異面直線、距離，先作出過(guò)且平行于的平面，則與距離就是、距離．（線面轉(zhuǎn)化法）．也可以轉(zhuǎn)化為過(guò)平行的平面和過(guò)平行于的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線距離．（面面轉(zhuǎn)化法）．(3)（體積橋法）利用線面距再轉(zhuǎn)化為錐體的高用何種公式來(lái)求．(4)（構(gòu)造函數(shù)法）常常利用距離最短原理構(gòu)造二次函數(shù)，利用求二次函數(shù)最值來(lái)解．兩條異面直線間距離問(wèn)題，教科書(shū)要求不高（要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離），這方面的問(wèn)題的其他解法，要適度接觸，以開(kāi)闊思路，供學(xué)有余力的同學(xué)探求．例：在棱長(zhǎng)為的正方體中，求異面直線和之間的距離。線面平行（包括線面距離）例：已知點(diǎn)是正三角形所在平面外的一點(diǎn)，且，為上的高，、、分別是、、的中點(diǎn)，試判斷與平面內(nèi)的位置關(guān)系，并給予證明面面平行（包括面面距離）例1：已知正方體，求證例2：在棱長(zhǎng)為的正方體中，求異面直線和之間的距離．面面垂直例1：已知直線PA垂直正方形ABCD所在的平面，A為垂足。求證：平面PAC^平面PBD。例2：已知直線PA垂直于?O所在的平面，A為垂足，AB為?O的直徑，C是圓周上異于A、B的一點(diǎn)。求證：平面PAC^平面PBC。課后作業(yè)：一、選擇題1.教室內(nèi)任意放一支筆直的鉛筆，則在教室的地面上必存在直線與鉛筆所在的直線()A.平行 B.相交C.異面 D.垂直2.若m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是()A.若m?β，α⊥β，則m⊥αB.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥βC.若m⊥β，m∥α，則α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ3.(改編題)設(shè)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，P到△ABC各頂點(diǎn)的距離相等，而且P到△ABC各邊的距離也相等，那么△ABC()A.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形C.是等邊三角形D.不是A、B、C所述的三角形4.把等腰直角△ABC沿斜邊上的高AD折成直二面角B—AD—C，則BD與平面ABC所成角的正切值為()A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2),2)C.1D.eq\f(\r(3),3)5.如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于△ACB所在平面，那么()A.PA＝PB>PCB.PA＝PB<PCC.PA＝PB＝PCD.PA≠PB≠PC二、填空題：6.正四棱錐S—ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，高為2，E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PE⊥AC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為.7.α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：.三、解答題11.如圖(1)，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中點(diǎn)，如圖(2)，將△ABE沿AE折起，使二面角B—AE—C成直二面角，連接BC，BD，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，P是棱BC的中點(diǎn).(1)求證：AE⊥BD；(2)求證：平面PEF⊥平面AECD；(3)判斷DE能否垂直于平面ABC？并說(shuō)明理由.12.12.如圖所示，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1).(1)求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；(2)當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD？13.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P、Q分別為線段AB、CD的中點(diǎn)，EP⊥平面ABCD.(1)求證：DP⊥平面EPC；(2)問(wèn)在EP上是否存在點(diǎn)F使平面AFD⊥平面BFC？若存在，求出eq\f(FP,AP)的值.參考答案求二面角分析:找二面角的平面角,有一種方法是找出垂直于棱的平面與二面角的兩個(gè)面相交的兩條交線,它們所成的角就是二面角的平面角.解：在RtΔSAC中，SA=1，SC=2，∴∠ECA=30°，在RtΔDEC中，∠DEC=90°，∴∠EDC=60°，∴所求的二面角為60°。求線線距離解法1：（直接法）如圖：取的中點(diǎn)，連結(jié)、分別交、于、兩點(diǎn)，易證：，，．∴為異面直線與的公垂線段，易證：．小結(jié)：此法也稱(chēng)定義法，這種解法是作出異面直線的公垂線段來(lái)解．但通常尋找公垂線段時(shí)，難度較大．解法2：（轉(zhuǎn)化法）如圖：∵平面，∴與的距離等于與平面的距離，在中，作斜邊上的高，則長(zhǎng)為所求距離，∵，，∴，∴．小結(jié)：這種解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離．解法3：（轉(zhuǎn)化法）如圖：∵平面平面，∴與的距離等于平面與平面的距離．∵平面，且被平面和平面三等分；∴所求距離為．小結(jié)：這種解法是線線距離轉(zhuǎn)化為面面距離．解法4：（構(gòu)造函數(shù)法）如圖：任取點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，設(shè)，則，，且∴．則，故的最小值，即與的距離等于．小結(jié)：這種解法是恰當(dāng)?shù)倪x擇未知量，構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)求這個(gè)函數(shù)的最小值來(lái)得到二異面直線之間的距離．解法5：（體積橋法）如圖：當(dāng)求與的距離轉(zhuǎn)化為求與平面的距離后，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則．∵，∴．即與的距離等于．小結(jié)：本解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，再將線面距離轉(zhuǎn)化為錐體化為錐體的高，然后用體積公式求之．這種方法在后面將要學(xué)到．線面平行例：分析1：如圖，觀察圖形，即可判定平面，要證明結(jié)論成立，只需證明與平面內(nèi)的一條直線平行．觀察圖形可以看出：連結(jié)與相交于，連結(jié)，就是適合題意的直線．怎樣證明？只需證明是的中點(diǎn)．證法1：連結(jié)交于點(diǎn)，∵是的中位線，∴．在中，是的中點(diǎn)，且，∴為的中點(diǎn)．∵是的中位線，∴．又平面，平面，∴平面．分析2：要證明平面，只需證明平面平面，要證明平面平面，只需證明，而，可由題設(shè)直接推出．證法2：∵為的中位線，∴．∵平面，平面，∴平面．同理：平面，，∴平面平面，又∵平面，∴平面．面面平行例一：證明：∵為正方體，∴，

又平面，故

平面．同理

平面．又

，∴平面平面．例二：根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證：連結(jié)，分別交平面和平面于和因?yàn)楹头謩e是平面的垂線和斜線，在平面內(nèi)，由三垂線定理：，同理：∴平面，同理可證：平面∴平面和平面間的距離為線段長(zhǎng)度．如圖所示：在對(duì)角面中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)∴．∴和的距離等于兩平行平面和的距離為．面面垂