23屆老高考數(shù)學備用題：第四單元 函數(shù)的圖像與函數(shù)的應用

第四單元函數(shù)的圖像與函數(shù)的應用§4.1函數(shù)的圖像1.(2021·廣東深圳模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象是()答案C解析由函數(shù)f(x)的圖象知a>1，－1<b<0.∴g(x)＝ax＋b在R上是增函數(shù)，且g(0)＝1＋b>0.故選C.2．(2021·安徽蚌埠二中等四校聯(lián)考)如圖所示的圖象對應的函數(shù)解析式可能是()A．y＝2x－x2－1B．y＝C．y＝D．y＝(x2－2x)ex【答案】D【解析】A中，y＝2x－x2－1，當x趨于－∞時，函數(shù)y＝2x的值趨于0，y＝x2＋1的值趨于＋∞，所以函數(shù)y＝2x－x2－1的值小于0，故A中的函數(shù)不滿足．B中，y＝sinx是周期函數(shù)，所以函數(shù)y＝的圖象是以x軸為中心的波浪線，故B中的函數(shù)不滿足．C中，函數(shù)y＝的定義域為(0,1)∪(1，＋∞)，故C中的函數(shù)不滿足．D中，y＝x2－2x，當x<0或x>2時，y>0，當0<x<2時，y<0，且y＝ex>0恒成立，所以y＝(x2－2x)ex的圖象在x趨于＋∞時，y趨于＋∞.故選D.3.（2021安徽合肥模擬）函數(shù)，的部分圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于所以為奇函數(shù)，故排除B，D，而，，在上分別為減函數(shù)?增函數(shù)?增函數(shù)，且函數(shù)值均為正數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故選A.4.(2021·安徽聯(lián)盟聯(lián)考)若函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(1，1)，則函數(shù)y＝f(4－x)的圖象一定經(jīng)過點________.答案(3，1)解析由于函數(shù)y＝f(4－x)的圖象可以看作y＝f(x)的圖象先關于y軸對稱，再向右平移4個單位長度得到.點(1，1)關于y軸對稱的點為(－1，1)，再將此點向右平移4個單位長度為(3，1).所以函數(shù)y＝f(4－x)的圖象過定點(3，1).5.（2021·廣東湛江二模）下列圖象為函數(shù)y，y，y，y的部分圖象，則按順序對應關系正確的是（）A.①②③④ B.①②④③ C.①③②④D.②①④③【答案】B【解析】由可得函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)對應的圖象為圖④，故排除A、C；由，可知函數(shù)對應的圖象為圖③；由，可知函數(shù)、對應的圖象分別為①、②，故排除D.故選B.6．（2021浙江省寧波市模擬）函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，，故BD選項錯誤；又，，而，所以，即，故C錯，A正確；故選A.7．(2021·云南昆明模擬)如圖所示的圖形是由一個半徑為2的圓和兩個半徑為1的半圓組成的，它們的圓心分別是O，O1，O2，動點P從A點出發(fā)沿著圓弧按A→O→B→C→A→D→B的路線運動(其中A，O，O1，O2，B五點共線)，記點P運動的路程為x，設y＝|O1P|2，y與x的函數(shù)關系式為y＝f(x)，則y＝f(x)的大致圖象是()【答案】A【解析】當x∈[0，π]時，y＝1.當x∈(π，2π)時，，設與的夾角為θ，因為||＝1，||＝2，θ＝x－π，所以y＝||2＝(－)2＝5－4cosθ＝5＋4cosx，x∈(π，2π)，此時函數(shù)y＝f(x)的圖象是曲線，且單調遞增，排除C，D.當x∈[2π，4π)時，因為，設，的夾角為α，因為||＝2，||＝1，α＝2π－x，所以y＝||2＝(－)2＝5－4cosα＝5－4cosx，x∈[2π，4π)，此時函數(shù)y＝f(x)的圖象是曲線，且單調遞減，排除B.故選A.應用建模1函數(shù)模型及其應用1.根據(jù)有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與eq\f(M,N)最接近的是()(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093答案D解析由題意，lgeq\f(M,N)＝lgeq\f(3361,1080)＝lg3361－lg1080＝361lg3－80lg10≈93.所以eq\f(M,N)≈1093，故與eq\f(M,N)最接近的是1093.故選D.2．（2021·福建漳州模擬）漳州市龍海區(qū)港尾鎮(zhèn)和浮宮鎮(zhèn)盛產(chǎn)楊梅，楊梅果味酸甜適中，有開胃健脾?生津止渴?消暑除煩，抑菌止瀉，降血脂血壓等功效.楊梅的保鮮時間很短，當?shù)丶夹g人員采用某種保鮮方法后可使得楊梅采摘之后的時間(單位：小時)與失去的新鮮度滿足函數(shù)關系，其中，為常數(shù).已知采用該種保鮮方法后，楊梅采摘10小時之后失去的新鮮度，采摘40小時之后失去的新鮮度.如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，為了保證港尾鎮(zhèn)的楊梅運輸?shù)奖狈侥吵鞘袖N售時的新鮮度不低于，則物流時間(從楊梅采摘的時刻算起)不能超過(參考數(shù)據(jù)：)（）A．20小時 B．25小時 C．28小時 D．35小時【答案】C【解析】當時，，由題意可得，解得，為使新鮮度不低于，即不能失去超過的新鮮度，則有，即，因此，即，則，即物流時間(從楊梅采摘的時刻算起)不能超過28小時.故選C.3．（2021河北張家口模擬）人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù).我國在2020年進行了第七次人口普查登記，到2021年4月以后才能公布結果.人口增長可以用英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯(T.R.Malthus，1766—1834)提出的模型：，其中t表示經(jīng)過的時間，表示時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率.以國家統(tǒng)計局發(fā)布的2000年第五次人口普查登記(已上報戶口)的全國總人口12.43億人(不包括香港?澳門和臺灣地區(qū))和2010年第六次人口普查登記(已上報戶口)的全國總人口13.33億人(不包括香港?澳門和臺灣地區(qū))為依據(jù)，用馬爾薩斯人口增長模型估計我國2020年末(不包括香港?澳門和臺灣地區(qū))的全國總人口數(shù)約為（）(，)A．14.30億 B．15.20億 C．14.62億 D．15.72億【答案】A【解析】由馬爾薩斯模型，得，即，所以我國2020年末的全國總人口數(shù)(億).故選A.4.“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的.已知某品牌商品廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關系R＝aeq\r(A)(a為常數(shù))，廣告效應為D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人為了取得最大的廣告效應，投入的廣告費應為________(用常數(shù)a表示).解析令t＝eq\r(A)(t≥0)，則A＝t2，∴D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)a2，∴當t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2時，D取得最大值.答案eq\f(1,4)a25.某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本萬元與年產(chǎn)量噸之間的函數(shù)關系可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最小為60噸，最大為110噸.（1）年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每噸產(chǎn)品的平均出廠價為24萬元，且產(chǎn)品能全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤?并求最大利潤.【解】（1），，，當且僅當時，即取“=”，符合題意；∴年產(chǎn)量為100噸時，平均成本最低為16萬元.（2）又，∴當時，.答：年產(chǎn)量為110噸時，最大利潤為860萬元.6．(2021安徽淮北一中月考)華羅庚是上世紀我國偉大的數(shù)學家，以華氏命名的數(shù)學科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華王方法”等．他除了數(shù)學理論研究，還在生產(chǎn)一線大力推廣了“優(yōu)選法”和“統(tǒng)籌法”．“優(yōu)選法”是指研究如何用較少的試驗次數(shù)，迅速找到最優(yōu)方案的一種科學方法．在當前防疫取得重要進展的時刻，為防范機場帶來的境外輸入，某機場海關在對入境人員進行檢測時采用了“優(yōu)選法”提高檢測效率：每16人為一組，把每個人抽取的鼻咽拭子分泌物混合檢查，如果為陰性則全部放行；若為陽性，則對該16人再次抽檢確認感染者．某組16人中恰有一人感染(鼻咽拭子樣本檢驗是陽性)，若逐一檢測可能需要15次才能確認感染者．現(xiàn)在先把這16人均分為2組，選其中一組8人的樣本檢查，若為陰性則認定在另一組；若為陽性則認定在本組．繼續(xù)把認定的這組的8人均分兩組，選其中一組4人的樣本混合檢查……以此類推，最終從這16人中認定那名感染者需要檢測的次數(shù)為()A．3 B．4C．6 D．7【答案】B．【解析】先把這16人均分為2組，選其中一組8人的樣本混合檢查，若為陰性則認定在另一組；若為陽性則認定在本組，此時進行了1次檢測．繼續(xù)把認定的這組的8人均分兩組，選其中一組4人的樣本混合檢查，若為陰性則認定在另一組；若為陽性則認定在本組，此時進行了2次檢測．繼續(xù)把認定的這組的4人均分兩組，選其中一組2人的樣本混合檢查，若為陰性則認定在另一組；若為陽性則認定在本組，此時進行了3次檢測．選認定的這組的2人中一人進行樣本檢查，若為陰性則認定是另一個人；若為陽性則認定為此人，此時進行了4次檢測．所以，最終從這16人中認定那名感染者需要經(jīng)過4次檢測．故選B．7．（2021·上海長寧模擬）某種生物身體的長度（單位：米）與其生長年限（單位：年）大致關系如下：（其中為自然對數(shù)的底，該生物出生時）．（1）求需要經(jīng)過多少年，該生物身長才能超過8米（精確到0.1）；（2）該生物出生年后的一年里身長生長量可以表示為，求的最大值（精確到0.01）．【解】（1）由題意得，即，解得：，因為，所以，因為，所以，又因為，所以，即約需要6.8年．（2），令，則，因為，當且僅當即時，等號成立，所以，所以的最大值為．8.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(1－x)＝f(1＋x)，當x∈[0，1]時，f(x)＝4x2－2x，則當x∈[－3，3]時，方程2f(x)＝1的解的個數(shù)為()A.3B.4C.6D.8答案A解析f(x)在R上為奇函數(shù)，知f(x)的圖象關于原點對稱.又f(1－x)＝f(1＋x)，∴y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱.由題設，作出函數(shù)y＝f(x)的大致圖象(如圖).∴y＝f(x)，x∈[－3，3]的圖象與直線y＝eq\f(1,2)有三個交點.故方程2f(x)＝1有3個解.故選A.9．（2021·湖南張家界市模擬）為滿足人民群眾便利消費、安全消費、放心消費的需求，某社區(qū)農(nóng)貿(mào)市場管理部門規(guī)劃建造總面積為的新型生鮮銷售市場，市場內(nèi)設蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類店面共80間．每間蔬菜水果類店面的面積為．月租為x萬元；每間肉食水產(chǎn)類店面的建筑面積為，月租為0.8萬元