《概率論與數理統計》習題二答案

PAGE37《概率論與數理統計》習題二答案《概率論與數理統計》習題及答案習題二1.一袋中有5只乒乓球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律.【解】故所求分布律為X345P0.10.30.62.設在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個數，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函數并作圖；(3).【解】故X的分布律為X012P（2）當x<0時，F（x）=P（X≤x）=0當0≤x<1時，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=當1≤x<2時，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=當x≥2時，F（x）=P（X≤x）=1故X的分布函數(3)3.射手向目標獨立地進行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標的次數的分布律及分布函數，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】設X表示擊中目標的次數.則X=0，1，2，3.故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數4.（1）設隨機變量X的分布律為P{X=k}=，其中k=0，1，2，…，λ＞0為常數，試確定常數a.（2）設隨機變量X的分布律為P{X=k}=a/N，k=1，2，…，N，試確定常數a.【解】（1）由分布律的性質知故(2)由分布律的性質知即.5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求：（1）兩人投中次數相等的概率;（2）甲比乙投中次數多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數，則X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)(1)+(2)=0.2436.設某機場每天有200架飛機在此降落，任一飛機在某一時刻降落的概率設為0.02，且設各飛機降落是相互獨立的.試問該機場需配備多少條跑道，才能保證某一時刻飛機需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機降落)？【解】設X為某一時刻需立即降落的飛機數，則X~b(200,0.02)，設機場需配備N條跑道，則有即利用泊松近似查表得N≥9.故機場至少應配備9條跑道.7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設每輛車在一天的某時段出事故的概率為0.0001,在某天的該時段內有1000輛汽車通過，問出事故的次數不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】設X表示出事故的次數，則X~b（1000，0.0001）8.已知在五重貝努里試驗中成功的次數X滿足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】設在每次試驗中成功的概率為p，則故所以.9.設事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號，（1）進行了5次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率；（2）進行了7次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率.【解】（1）設X表示5次獨立試驗中A發(fā)生的次數，則X~6（5，0.3）(2)令Y表示7次獨立試驗中A發(fā)生的次數，則Y~b（7，0.3）10.某公安局在長度為t的時間間隔內收到的緊急呼救的次數X服從參數為（1/2）t的泊松分布，而與時間間隔起點無關（時間以小時計）.（1）求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率；（2）求某一天中午12時至下午5時至少收到1次呼救的概率.【解】（1）(2)11.設P{X=k}=,k=0,1,2P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4分別為隨機變量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，試求P{Y≥1}.【解】因為，故.而故得即從而12.某教科書出版了2000冊，因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001，試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率.【解】令X為2000冊書中錯誤的冊數，則X~b(2000,0.001).利用泊松近似計算,得13.進行某種試驗，成功的概率為，失敗的概率為.以X表示試驗首次成功所需試驗的次數，試寫出X的分布律，并計算X取偶數的概率.【解】14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司領取2000元賠償金.求：（1）保險公司虧本的概率;（2）保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.（1）在1月1日，保險公司總收入為2500×12=30000元.設1年中死亡人數為X，則X~b(2500,0.002)，則所求概率為由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有(2)P(保險公司獲利不少于10000)即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P（保險公司獲利不少于20000）即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62%15.已知隨機變量X的密度函數為f(x)=Ae|x|,∞<x<+∞,求：（1）A值；（2）P{0<X<1};(3)F(x).【解】（1）由得故.(2)(3)當x<0時，當x≥0時，故16.設某種儀器內裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數為f(x)=求：（1）在開始150小時內沒有電子管損壞的概率；（2）在這段時間內有一只電子管損壞的概率；（3）F（x）.【解】（1）(2)(3)當x<100時F（x）=0當x≥100時故17.在區(qū)間［0，a］上任意投擲一個質點，以X表示這質點的坐標，設這質點落在［0，a］中任意小區(qū)間內的概率與這小區(qū)間長度成正比例，試求X的分布函數.【解】由題意知X~∪[0,a]，密度函數為故當x<0時F（x）=0當0≤x≤a時當x>a時，F（x）=1即分布函數18.設隨機變量X在[2，5]上服從均勻分布.現對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即故所求概率為19.設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X（以分鐘計）服從指數分布.某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次，以Y表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數，試寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依題意知，即其密度函數為該顧客未等到服務而離開的概率為,即其分布律為20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時間X服從N（40，102）；第二條路程較長，但阻塞少，所需時間X服從N（50，42）.（1）若動身時離火車開車只有1小時，問應走哪條路能乘上火車的把握大些？（2）又若離火車開車時間只有45分鐘，問應走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1）若走第一條路，X~N（40，102），則若走第二條路，X~N（50，42），則++故走第二條路乘上火車的把握大些.（2）若X~N（40，102），則若X~N（50，42），則故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設X~N（3，22），（1）求P{2<X≤5}，P{4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};（2）確定c使P{X＞c}=P{X≤c}.【解】（1）(2)c=322.由某機器生產的螺栓長度（cm）X~N（10.05,0.062）,規(guī)定長度在10.05±0.12內為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.【解】23.一工廠生產的電子管壽命X（小時）服從正態(tài)分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200＝≥0.8，允許σ最大不超過多少？【解】故24.設隨機變量X分布函數為F（x）=（1）求常數A，B；（2）求P{X≤2}，P{X＞3}；（3）求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2）(3)25.設隨機變量X的概率密度為f（x）=求X的分布函數F（x），并畫出f（x）及F（x）.【解】當x<0時F（x）=0當0≤x<1時當1≤x<2時當x≥2時故26.設隨機變量X的密度函數為（1）f(x)=ae|x|,λ>0;(2)f(x)=試確定常數a,b，并求其分布函數F（x）.【解】（1）由知故即密度函數為當x≤0時當x>0時故其分布函數(2)由得b=1即X的密度函數為當x≤0時F（x）=0當0<x<1時當1≤x<2時當x≥2時F（x）=1故其分布函數為27.求標準正態(tài)分布的上分位點，（1）=0.01，求;（2）=0.003，求，.【解】（1）即即故（2）由得即查表得由得即查表得28.設隨機變量X的分布律為X21013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/3029.設P{X=k}=()k,k=1,2,…,令求隨機變量X的函數Y的分布律.【解】30.設X~N（0，1）.（1）求Y=eX的概率密度；（2）求Y=2X2+1的概率密度；（3）求Y=｜X｜的概率密度.【解】（1）當y≤0時，當y>0時，故(2)當y≤1時當y>1時故(3)當y≤0時當y>0時故31.設隨機變量X~U（0,1），試求：（1）Y=eX的分布函數及密度函數；（2）Z=2lnX的分布函數及密度函數.【解】（1）故當時當1<y<e時當y≥e時即分布函數故Y的密度函數為（2）由P（0<X<1）=1知當z≤0時，當z>0時，即分布函數故Z的密度函數為32.設隨機變量X的密度函數為f(x)=試求Y=sinX的密度函數.【解】當y≤0時，當0<y<1時，當y≥1時，故Y的密度函數為33.設隨機變量X的分布函數如下：試填上(1),(2),(3)項.【解】由知②填1。由右連續(xù)性知，故①為0。從而③亦為0。即34.同時擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現6點為止，求拋擲次數X的分布律.【解】設Ai={第i枚骰子出現6點}。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨立。再設C={每次拋擲出現6點}。則故拋擲次數X服從參數為的幾何分布。35.隨機數字序列要多長才能使數字0至少出現一次的概率不小于0.9?【解】令X為0出現的次數，設數字序列中要包含n個數字，則X~b(n,0.1)即得n≥22即隨機數字序列至少要有22個數字。36.已知F（x）=則F（x）是（）隨機變量的分布函數.（A）連續(xù)型；（B）離散型；（C）非連續(xù)亦非離散型.【解】因為F（x）在（∞,+∞）上單調不減右連續(xù)，且,所以F（x）是一個分布函數。但是F（x）在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F（x）是非連續(xù)亦非離散型隨機變量的分布函數。選（C）37.設在區(qū)間[a,b]上，隨機變量X的密度函數為f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，則區(qū)間[a,b]等于（）(A)[0,π/2];(B)[0,π];(C)[π/2,0];(D)[0,].【解】在上sinx≥0，且.故f(x)是密度函數。在上.故f(x)不是密度函數。在上，故f(x)不是密度函數。在上，當時，sinx<0，f(x)也不是密度函數。故選（A）。38.設隨機變量X~N（0，σ2），問：當σ取何值時，X落入區(qū)間（1，3）的概率最大？【解】因為利用微積分中求極值的方法，有得，則，又，故為極大值點且惟一。故當時X落入區(qū)間（1，3）的概率最大。39.設在一段時間內進入某一商店的顧客人數X服從泊松分布P（λ），每個顧客購買某種物品的概率為p，并且各個顧客是否購買該種物品相互獨立，求進入商店的顧客購買這種物品的人數Y的分布律.【解】設購買某種物品的人數為Y，在進入商店的人數X=m的條件下，Y~b(m,p)，即由全概率公式有此題說明：進入商店的人數服從參數為λ的泊松分布，購買這種物品的人數仍服從泊松分布，但參數改變?yōu)棣藀.40.設隨機變量X服從參數為2的指數分布.證明：Y=1e2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布.（1995研考）【證】X的密度函數為由于P（X>0）=1，故0<1e2X<1，即P（0<Y<1）=1當y≤0時，FY（y）=0當y≥1時，FY（y）=1當0<y<1時，即Y的密度函數為即Y~U（0，1）41.設隨機變量X的密度函數為f(x)=若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范圍.(2000研考)【解】由P（X≥k）=知P（X<k）=若k<0,P(X<k)=0若0≤k≤1,P(X<k)=當k=1時P（X<k）=若1≤k≤3時P（X<k）=若3<k≤6，則P（X<k）=若k>6,則P（X<k）=1故只有當1≤k≤3時滿足P（X≥k）=.42.設隨機變量X的分布函數為F(x)=求X的概率分布.（1991研考）【解】由離散型隨機變量X分布律與分布函數之間的關系，可知X的概率分布為X113P0.40.40.243.設三次獨立試驗中，事件A出現的概率相等.若已知A至少出現一次的概率為19/27，求A在一次試驗中出現的概率.（1988研考）【解】令X為三次獨立試驗中A出現的次數，若設P（A）=p,則X~b(3,p)由P（X≥1）=知P（X=0）=（1p）3=故p=44.若隨機變量X在（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實根的概率是多少？（1989研考）【解】45.若隨機變量X~N（2，σ2），且P{2<X<4}=0.3，則P{X<0}=.(1991研考)【解】故因此46.假設一廠家生產的每臺儀器，以概率0.7可以直接出廠；以概率0.3需進一步調試，經調試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠.現該廠新生產了n(n≥2)臺儀器（假設各臺儀器的生產過程相互獨立）.求（1）全部能出廠的概率α；（2）其中恰好有兩臺不能出廠的概率β；（3）其中至少有兩臺不能出廠的概率θ.(1995研考)【解】設A={需進一步調試}，B={儀器能出廠}，則={能直接出廠}，AB={經調試后能出廠}由題意知B=∪AB，且令X為新生產的n臺儀器中能出廠的臺數，則X~6（n，0.94）,故47.某地抽樣調查結果表明，考生的外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數的2.3%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.（1990研考）【解】設X為考生的外語成績，則X~N（72，σ2）故查表知,即σ=12從而X~N（72，122）故48.在電源電壓不超過200V、200V~240V和超過240V三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2（假設電源電壓X服從正態(tài)分布N（220，252））.試求：（1）該電子元件損壞的概率α;(2)該電子元件損壞時，電源電壓在200~240V的概率β。(1991研考)【解】設A1={電壓不超過200V}，A2={電壓在200~240V}，A3={電壓超過240V}，B={元件損壞}。由X~N（220，252）知由全概率公式有由貝葉斯公式有49.設隨機變量X在區(qū)間（1，2）上服從均勻分布，試求隨機變量Y=e2X的概率密度fY(y).(1988研考)【解】因為P（1<X<2）=1,故P（e2<Y<e4）=1當y≤e2時FY（y）=P(Y≤y)=0.當e2<y<e4時，