2022-2023學年江西省贛州市南康區(qū)唐江中學高一下學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat17頁2022-2023學年江西省贛州市南康區(qū)唐江中學高一下學期期中考試數(shù)學試題一、單選題1．已知是虛數(shù)單位，復數(shù)的虛部為A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以復數(shù)的虛部為，故選B.2．在中，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：若，則，∴，由正弦定理得，所以，因為，所以，所以，∴，反之也成立，故“”是“”的充要條件；故選：C3．如圖，一圓錐形物體的母線長為4，其側(cè)面積為，則這個圓錐的體積為A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用側(cè)面積求解底面圓的周長，進而解出底面面積，再求體高，最后解得體積【詳解】圓錐的展開圖為扇形，半徑，側(cè)面積為為扇形的面積，所以扇形的面積，解得，所以弧長，所以底面周長為，由此可知底面半徑，所以底面面積為，體高為，故圓錐的體積，故選C．【點睛】本題已知展開圖的面積，母線長求體積，是圓錐問題的常見考查方式，解題的關(guān)鍵是抓住底面圓的周長為展開圖的弧長．4．在三角形中，是角所對的邊，滿足,則的大小是（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】D【分析】根據(jù)余弦定理直接計算得到答案.【詳解】根據(jù)余弦定理：，即，即.故選：【點睛】本題考查了余弦定理求角度，屬于簡單題.5．如圖，在等腰梯形中，，，，，為線段上的動點(包括端點)，則的最小值為（

）A．8 B．12 C．20 D．30【答案】C【分析】設(shè)，利用，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算，即可求解.【詳解】如圖所示，過點作，垂足為，因為在等腰梯形中，，可得，設(shè)，可得，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當時，取得最小值，最小值為.故選：C.6．如圖，在中，點是的中點，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，若，，則（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】連接AO，因為O為BC中點，可由平行四邊形法則得，再將其用，表示.由M、O、N三點共線可知，其表達式中的系數(shù)和，即可求出的值.【詳解】連接AO，由O為BC中點可得，，、、三點共線，，.故選：C.【點睛】本題考查了向量的線性運算，由三點共線求參數(shù)的問題，熟記向量的共線定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.7．在中，角、、所對的邊分別是、、.已知，，且滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理邊角互化思想化簡得出，利用余弦定理化簡得出，結(jié)合，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】且，所以，由正弦定理得，即，，，所以，，則，由余弦定理得，，則，由于雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以，.因此，的取值范圍為.故選：D.【點睛】本題考查三角形內(nèi)角余弦值的取值范圍的求解，考查了余弦定理以及正弦定理邊角互化思想的應用，考查計算能力，屬于中等題.8．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且，則的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，三角形面積公式和余弦定理可得，故可得到，，然后利用正弦定理可得，利用換元法即可求解【詳解】中，由余弦定理得，，且的面積為，由，得，化簡得；又，，所以，化簡得，解得或（不合題意，舍去）；因為，所以，所以，由，且，，解得，所以，所以，所以；設(shè)，其中，所以，又，所以時，y取得最大值為，時，；時，，且．所以，即的取值范圍是，故選：D【點睛】方法點睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值二、多選題9．已知，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．與方向相同的單位向量是 C． D．與平行【答案】ABC【分析】根據(jù)給定的條件，利用向量的數(shù)量積、向量夾角，向量共線的坐標表示判斷A，C，D；求出與方向相同的單位向量的坐標判斷B作答.【詳解】因，則，A正確；與方向相同的單位向量是，B正確；，而，所以，C正確；因，則與不平行，D不正確.故選：ABC10．已知復數(shù)，下列命題錯誤的有（

）A．若，則B．若，那么C．若，那么D．若，那么【答案】BCD【分析】根據(jù)復數(shù)的模的定義，復數(shù)的分類，復數(shù)的運算判斷各選項，錯誤命題可舉反例說明．【詳解】設(shè)，則，，A正確；若，則，但，B錯；若，則，但，C錯；若，滿足1，但，D錯．故選：BCD．11．圓柱的側(cè)面展開圖是長4cm，寬2cm的矩形，則這個圓柱的體積可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由已知中圓柱的側(cè)面展開圖是長4cm，寬2cm的矩形，我們可以分圓柱的底面周長為4cm，高為2cm的和圓柱的底面周長為2cm，高為4cm，兩種情況分別由體積公式即可求解.【詳解】側(cè)面展開圖是長4cm，寬2cm的矩形，若圓柱的底面周長為4cm，則底面半徑，，此時圓柱的體積若圓柱的底面周長為2cm，則底面半徑，，此時圓柱的體積故選：BD12．在△中，內(nèi)角所對的邊分別為a、b、c，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則C．D．若，且，則△為等邊三角形【答案】ACD【分析】A由正弦定理及等比的性質(zhì)可說明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形內(nèi)角和的性質(zhì)有，由正弦定理即可證；D若，，根據(jù)單位向量的定義，向量加法的幾何意義及垂直表示、數(shù)量積的定義易知△的形狀.【詳解】A：由，根據(jù)等比的性質(zhì)有，正確；B：當時，有，錯誤；C：，而，即，由正弦定理易得，正確；D：如下圖，是單位向量，則，即、，則且平分，的夾角為，易知△為等邊三角形，正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：D選項，注意應用向量在幾何圖形中所代表的線段，結(jié)合向量加法、數(shù)量積的幾何意義判斷夾角、線段間的位置關(guān)系，說明三角形的形狀.三、填空題13．在△ABC中，A，AB＝4，AC＝2，點D在BC邊上，AD＝BD，則AD＝_____．【答案】【分析】首先利用余弦定理的應用求出的長，進一步利用余弦定理和cos∠BDC＝﹣cos∠CDA，即可求出結(jié)果.【詳解】在△ABC中，A，AB＝4，AC＝2，利用余弦定理的應用，整理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cos∠A，解得BC＝2，在△ABD中，設(shè)BD＝x，則AD＝x，AB＝4，利用余弦定理，在△ADC中，DC＝2x，AD＝x，AC＝2，利用余弦定理，由于cos∠BDC＝﹣cos∠CDA，所以，解得x．故答案為：．【點睛】本題考查余弦定理及其的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．14．窗，古時亦稱為牅，它伴隨著建筑的起源而出現(xiàn)，在中國建筑文化中是一種獨具文化意蘊和審美魅力的重要建筑構(gòu)件.如圖，是某古代建筑群的窗戶設(shè)計圖，窗戶的輪廓是邊長為米的正方形，內(nèi)嵌一個小正方形，且，，，分別是，，，的中點，則的值為________.【答案】【分析】如圖所示，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立直角坐標系，計算直線方程得到坐標，，計算向量得到答案.【詳解】如圖所示，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立直角坐標系.延長與交于點，，故為中點.直線，同理可得：直線，直線；解得：，，，，故，，.故答案為：.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學生的應用能力和計算能力，建立坐標系轉(zhuǎn)化為坐標運算是解題的關(guān)鍵.15．底面為正方形的正四棱柱內(nèi)接于底面半徑為1，高為2的圓錐，當正四棱柱體積最大時，該正四棱柱的底面邊長為_________.【答案】【分析】設(shè)正四棱柱的高、底面邊長分別為，利用圓錐的軸截面及內(nèi)接正四棱柱的性質(zhì)求的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)棱柱的體積公式得并應用導數(shù)研究最大值，即可求體積最大時正四棱柱的底面邊長.【詳解】圓錐軸截面如下圖示，分別是中點，若正四棱柱的高、底面邊長分別為，∴，易知，即，則且，∴正四棱柱體積為，則，∴，有，遞增；，有，遞減；故時最大，此時，故答案為：16．如圖，在中，已知，，，直線過的重心，且與邊、分別交于、兩點，則的最小值為________．【答案】【分析】設(shè)，，分析得出，求得，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】先證明結(jié)論：已知為直線外一點，、、為直線上三個不同的點，若，則.因為、、為直線上三個不同的點，則，可設(shè)，即，所以，，所以，，結(jié)論成立.本題中，設(shè)，，當點與點重合時，為的中點，此時；當點為線段的中點時，與點重合，此時，故，同理可得.由，又、、三點共線，，即，延長交于點，則為的中點，且有，又，當且僅當，時取得最小值.故答案為：.【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標運算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用．四、解答題17．已知向量.（1）若與共線，求實數(shù)的值；（2）若與垂直，求與的夾角.【答案】（1）4；（2）.【分析】（1）由平面向量共線定理的坐標表示求解即可（2）根據(jù)平面向量垂直的坐標表示求出，再用坐標法求向量的夾角即可【詳解】（1）與共線（2）與垂直，且與的夾角為18．已知復數(shù)(其中是虛數(shù)單位，)．（1）若復數(shù)是純虛數(shù)，求的值；（2）若函數(shù)與的圖象有公共點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）化簡得到，由復數(shù)為純虛數(shù)可得的值.（2）算出，因一元二次方程在有解，利用判別式可得的取值范圍.【詳解】（1）∵，且復數(shù)為純虛數(shù)∴，解得

（2）由（1）知函數(shù)

又函數(shù)與的圖象有公共點

∴方程有解，即方程有解

∴

∴或

∴實數(shù)的取值范圍是．【點睛】（1）復數(shù)，①若，則為實數(shù)；②若，則為虛數(shù)，特別地，如果，則為純虛數(shù)．（2）對于含參數(shù)的一元二次不等式的恒成立問題，注意區(qū)分變量的范圍，如果范圍為，則可以利用判別式來處理，如果范圍不是，則可轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的最值或用參變分離來考慮.19．如圖，四邊形ABCD是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，PA是圓柱的母線，，，，C是上的一個動點.(1)求圓柱的表面積；(2)求四棱錐的體積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出圓柱底面半徑為r，進而求出結(jié)果;（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出，再利用體積公式求出結(jié)果.【詳解】（1）連接BD，在中，，，，由余弦定理，得，所以，設(shè)圓柱底面半徑為r，由正弦定理，得，所以，故圓柱的表面積.（2）由（1）知，中，，，由余弦定理，得，即，當且僅當時，等號成立，所以，因為，，所以四棱錐的體積，，故四棱錐的體積的最大值為.20．在銳角三角形中，角，，所對的邊分別為，，，若.（1）求角的大??；（2）若，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理進行邊化角，進一步整理得，即可求得角A；（2）利用正弦定理將所給等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b、c的等式，結(jié)合余弦定理即可求出a，從而可得，代入三角形面積公式并將角統(tǒng)一為B，即可根據(jù)三角函數(shù)的值域求得三角形的面積的范圍.【詳解】（1）由及正弦定理得：，因為，，所以，，所以，又，所以；（2）由正弦定理，，，由得：，即①，由余弦定理得，解得，所以，，∵為銳角三角形，∴且，即，∴，∴，∴.面積的取值范圍為.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面積公式、正弦型函數(shù)的值域，屬于中檔題.21．已知，，設(shè)，．（1）若，求實數(shù)的值；（2）當時，求與的夾角；（3）是否存在實數(shù)，使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在；-6．【分析】（1）由向量的數(shù)量積的運算公式，求得，列出方程，即可求解；（2）當時，求得，，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（3）根據(jù)共線向量的坐標表示，列出方程，即可求解.【詳解】（1）由題意，向量，，可得，因為且，，可得，解得.（2）當時，可得，，則，，，所以與的夾角為，因為，所以.（3）由題意可得，，若，可得，解得，即存在，使得.22．正方形ABCD中，，點O為正方形內(nèi)一個動點，且，設(shè)(1)當時，求的值；(2)若P為平面ABCD外一點，滿足，記，