江蘇揚州中學2022-2023學年高三下學期3月質量檢測數學試題解析

高三數學三月質量檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數（i為虛數單位），則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復數除法法則計算得到，進而求出，計算出模長.【詳解】，則，所以，則故選：A2.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡集合，結合集合的補集運算和交集運算求解.【詳解】因為，，又，所以，所以.故選:B.3.下表是足球世界杯連續(xù)八屆的進球總數：年份19941998200220062010201420182022進球總數141171161147145171169172則進球總數的第40百分位數是（）A.147 B.154 C.161 D.165【答案】C【解析】【分析】將數據從小到大排列，計算，根據第40百分位數的含義，即可確定答案.【詳解】將連續(xù)八屆的進球總數從小到大排列為：，由于，故進球總數的第40百分位數是第4個數據161，故選：C4.下列是函數圖像的對稱軸的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據給定條件，利用誘導公式及二倍角公式化簡函數，再利用余弦函數的性質求解作答.【詳解】，顯然，，，，所以函數圖像的對稱軸的是，ABC錯誤，D正確.故選：D5.根據《民用建筑工程室內環(huán)境污染控制標準》，文化娛樂場所室內甲醛濃度為安全范圍.已知某新建文化娛樂場所施工中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風環(huán)境下時，竣工1周后室內甲醛濃度為，3周后室內甲醛濃度為，且室內甲醛濃度（單位：）與竣工后保持良好通風的時間（單位：周）近似滿足函數關系式，則該文化娛樂場所竣工后的甲醛濃度若要達到安全開放標準，至少需要放置的時間為（）A.5周 B.6周C.7周 D.8周【答案】B【解析】【分析】由相除可得，然后解不等式，由指數函數性質估計出，從而可得的范圍，由此可得結論.【詳解】由題意可知，，，，解得.設該文化娛樂場所竣工后放置周后甲醛濃度達到安企開放標準，則，整理得，設，因為，所以，即，則，即.故至少需要放置的時間為6周.故選：B.6.在某個獨立重復實驗中，事件，相互獨立，且在一次實驗中，事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的概率為，其中．若進行次實驗，記事件發(fā)生的次數為，事件發(fā)生的次數為，事件發(fā)生的次數為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由相互獨立事件的概率及二項分布的期望與方差進行辨析即可.【詳解】由已知，，∴，，，∴，，∵事件，相互獨立，∴一次實驗中，，同時發(fā)生的概率，∴，∴，，對于A，，，不一定成立，故選項A說法不正確；對于B，，，，不一定成立，故選項B說法不正確；對于C，，，成立，故選項C說法正確；對于D，，，不一定成立，故選項D說法不正確.故選：C.7.由點射出的兩條光線與分別相切于點，，稱兩射線，上切點右側部分的射線和優(yōu)弧右側所夾的平面區(qū)域為的“背面”．若處于的“背面”，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設過點的切線方程為，進而可得切線方程，利用新定義可求的最值，進而可求實數的取值范圍．【詳解】解：設過點的切線方程為，，，直線的方程為，即，直線的方程為，即，處于的“背面”，與相切時取最小值，由，解得或，結合圖形可得的最小值為，同理與相切時可得的最大值為，．故選：D．8.若正三棱臺的各頂點都在表面積為的球的表面上，且，，則正三棱臺的高為（）A. B.4 C.或3 D.3或4【答案】D【解析】【分析】由外接球的表面積可得，分別求出正三棱臺的上下兩個底面的外接圓的半徑，然后由球的性質分別求出球心到上下兩個面的距離，再分三棱臺的上下底面在球心的同側和異側兩種情況求解即可.【詳解】解析：設點，分別是正，的中心，球的半徑為，則，即，且，，三點共線，正三棱臺的高為，在等邊中，由，由正弦定理可得：，得等邊中，由，由正弦定理可得：，得在中，，即，得，在中，，即，得，如果三棱臺的上下底面在球心的兩側，則正三棱臺的高為，如果三棱臺的上下底面在球心的同側，則正三棱臺的高為，所以正三棱臺的高為或4，故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據不等式的基本性質，可判定A、B正確，根據指數函數和冪函數的單調性，可判定C錯誤，D正確.【詳解】由，，根據不等式的性質，可得，所以A是正確的；由，，可得，則，可得，所以B正確；取，，則，從而，所以C錯誤；由冪函數，在上是增函數，則由，即得，則D正確.故選：ABD.【點睛】本題主要考查了不等式的基本性質，以及冪函數的單調性的應用，其中解答中熟記不等式的基本性質，以及合理應用冪函數的單調性進行比較是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.10.已知是的導函數，，則下列結論正確的為（）A.與的圖像關于直線對稱B.與有相同的最大值C.將圖像上所有的點向右平移個單位長度可得的圖像D.當時，與都在區(qū)間上單調遞增【答案】BC【解析】【分析】先求得的導函數，然后根據三角函數圖像平移,根據函數的對稱性,

根據求三角函數的值域，根據求解三角函數的單調性等分別驗證ABCD選項的正誤.【詳解】已知的圖像與的圖像關于直線對稱，，故A選項錯誤；，其中，最大值為，，其中，最大值為，故B選項正確；，.將的圖像向右平移個單位得的圖像，故C選項正確；當時，，，當時，在上單調遞增，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，在上單調遞減，綜上可知和在上單調性相同，但可能遞增也可能遞減，故D選項錯誤.故選：BC11.過拋物線C：的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點，則下列判斷正確的是（）A.可能為銳角三角形B.過點且與拋物線C僅有一個公共點的直線有2條C.若，則的面積為D.最小值為【答案】CD【解析】【分析】對于A：聯(lián)立直線AB與拋物線的方程，由韋達定理得，，從而得到，由此判斷即可；對于B：判斷得點在拋物線外，由此得以判斷；對于C：利用拋物線的定義可求得，進而求得，從而根據即可判斷；對于D：利用拋物線的定義得到，從而利用基本不等式即可判斷.【詳解】對于A：因為拋物線C：的焦點為F，所以，設，，AB方程為，由，得，所以，，故，所以∠AOB為鈍角，故A錯誤；對于B：因為對于，當時，，所以在拋物線外，顯然過與拋物線C相切的直線有2條，當此直線與x軸平行時，與拋物線C也是僅有一個公共點，所以過點且與拋物線C僅有一個公共點的直線有3條，故B錯誤；對于C：當時，設，則，，即，不妨設，此時，故AB方程為，聯(lián)立拋物線C：，解得，所以，故C正確；對于D：由選項A知，且，所以，當且僅當，即時，等號成立，故D正確．故選：CD．12.已知函數的定義域均為，且滿足，，，則（）A. B.C.的圖象關于點對稱 D.【答案】ABD【解析】【分析】由得出的圖象關于點對稱，即；由和得出，判斷選項A正確；由函數的圖象關于點對稱，判斷選項B正確；由和得出的圖象關于點中心對稱，C錯誤；記，則數列和均為等差數列，利用等差數列的求和公式計算可得D正確．【詳解】因為，所以的圖象關于點對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，A正確；因為定義域為的函數的圖象關于點對稱，所以，B正確；由，得，即，．因為，所以，又因為，相減得，所以的圖象關于點中心對稱，C錯誤；因為函數定義域為，所以，所以．記，結合A、C分析知：數列是以為首項，為公差等差數列，數列是以為首項，為公差的等差數列，故，，所以，D正確；故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中的系數為__________（用數字作答）.【答案】【解析】【分析】利用二項式定理求所需項的系數即可得出.【詳解】的展開式中的系數，是的展開式中的系數與的展開式中的系數之積，即.故答案為：14.曲線在處的切線的傾斜角為，則__________．【答案】【解析】【分析】先求出，再利用誘導公式和二倍角公式求解.【詳解】由題得，所以，所以，所以.故答案為：【點睛】方法點睛：三角恒等變換求值，常用的方法：三看（看角看名看式）三變（變角變名變式），要根據已知條件靈活選擇方法求解.15.平面向量，滿足，且，則與夾角的正弦值的最大值為________．【答案】【解析】【分析】設，，則，設，，，根據均值不等式計算最值，再利用同角三角函數關系得到答案.詳解】解：如圖所示：設，，則，設，，因為，所以，由三角形邊的關系得，，當，即時等號成立，故，當最小時，最大，而與夾角的正弦值與正弦值相等，故其最大值為.故答案為：16.已知函數，若恒成立，則實數的取值范圍__________.【答案】【解析】【分析】令，分，，，利用導數法討論求解.【詳解】解：令，則，①當時，，不符合題意；②時，在區(qū)間上恒為負，在區(qū)間上恒為正，則需在區(qū)間上恒為負，在區(qū)間上恒為正，因為在區(qū)間上單調遞增，則需，此時，符合題意；③當時，在區(qū)間上恒為負，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，故在時取得極大值也是最大值，，解得.所以實數的取值范圍是.故答案為：四、解答題：17.已知數列的前項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，設，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意，證明數列是首項為，公比為的等比數列即可求解；（2）結合（1）得，再分和兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】解：由，得，兩式相減，得，所以，即.又因為時，，所以，因為，所以數列是首項為，公比為的等比數列.所以.【小問2詳解】解：由（1）得，.當時，，當時，綜上，18.如圖，在平面四邊形中，，，．（1）若，求的面積；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據余弦定理求出，利用誘導公式求出，結合三角形的面積公式計算即可求解；（2）設，根據正弦定理和誘導公式可得、，解得，同角的三角函數關系求出即可求解.【小問1詳解】在中，由余弦定理可得．，所以．【小問2詳解】設，則，，在中，由正弦定理可得，即，所以，．于是，解得或（舍）．所以，因此．19.如圖，菱與四邊形相交于，平面，為的中點，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】(1)取的中點，連接，要證平面，只需證平面平面，由，可得；(2)以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，用空間向量求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接,因為為菱形對角線的交點，所以為中點.又為中點，所以.又因為分別為的中點，所以.又因為，所以，又，平面,,平面，所以平面平面.又平面，所以平面；【小問2詳解】連接，設菱形的邊長，則由，得，又因為，所以，則在直角三角形中，，所以，且由平面，，得平面.以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，則,,則，設為平面的一個法向量，則即令，得，所以.又，所以，設直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】方法點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.20.為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗．研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示，實驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內產生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只，假設小白鼠注射疫苗后是否產生抗體相互獨立．抗體指標值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計（1）填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表及的獨立性檢驗，判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關．（單位：只）（2）為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫苗，結果又有20只小自鼠產生抗體．（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率p；（ii）以（i）中確定的概率p作為人體注射2次疫苗后產生抗體的概率，進行人體接種試驗，記n個人注射2次疫苗后產生抗體的數量為隨機變量X．試驗后統(tǒng)計數據顯示，當X=99時，P（X）取最大值，求參加人體接種試驗的人數n．參考公式：（其中為樣本容量）0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）表格見解析，可以認為（2）（i）；（ii）109或110．【解析】【分析】(1)根據獨立性檢驗的方法求解即可；(2)根據二項分布的概率公式列出不等式即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標值分布為：在內有（只）；在內有（只）；在內有（只）；在內有（只），在內有（只）．由題意，有抗體且指標值小于60的有50只；而指標值小于60的小白鼠共有只，所以指標值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，同理，指標值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，故列聯(lián)表如下：單位：只抗體指標值合計小于60不小于60有抗體50110160沒有抗體202040合計70130200零假設為:注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60無關聯(lián)．根據列聯(lián)表中數據，得，根據的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.【小問2詳解】（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗產生抗體”，事件B=“小白鼠第二次注射疫苗產生抗體’’，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后產生抗體”，記事件A，B，C發(fā)生的概率分別為，則，，，所以一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率，（ii）由題意，知隨機變量，，因為最大，所以，解得是整數，所以或，接受接種試驗的人數為109或110．21.已知A，B，C三點在橢圓上，其中A為橢圓E的右頂點，圓為三角形ABC的內切圓.（1）求圓O的半徑r；（2）已知，，是E上的兩個點，直線與直線均與圓O相切，判斷直線與圓O的位置關系，并說明理由.【答案】（1）；（2）直線與圓相切，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據得，利用點在橢圓上，建立方程，解方程即可求出結果；（2）分別聯(lián)立直線，與橢圓的方程