大學物理學課后答案（湖南大學出版社）

大學物理習題集

第一章質(zhì)點運動學

1.1一質(zhì)點沿直線運動，運動方程為式。=6/-2尸.試求：

(1)第2s內(nèi)的位移和平均速度；

(2)1s末及2s末的瞬時速度，第2s內(nèi)的路程；

(3)1s末的瞬時加速度和第2s內(nèi)的平均加速度.

［解答］(1)質(zhì)點在第1s末的位置為：x(l)=6Xl2-2Xl3=4(m).

在第2s末的位置為：x(2)=6X22-2X23=8(m).

在第2s內(nèi)的位移大小為：Ax=x(2)-x(l)=4(m),

經(jīng)過的時間為A/=ls,所以平均速度大小為："=4%/△，=

4(nrs").

(2)質(zhì)點的瞬時速度大小為：丫(。=dx/d/=⑵-6』，

因此v(l)=12X1-6Xl2=6(m-s-'),

v(2)=12X2-6X22=0

質(zhì)點在第2s內(nèi)的路程等于其位移的大小，即△$=Ax=4m.

(3)質(zhì)點的瞬時加速度大小為：?(z)=dv/dz=12-12Z,

因此1s末的瞬時加速度為:?(1)=12-12X1=0,

第2s內(nèi)的平均加速度為：萬=［y(2)-v(l)］/Ar=［0-6］/1=

-6(m-s-2).

［注意I第幾秒內(nèi)的平均速度和平均加速度的時間間隔都是1秒.

1.2一質(zhì)點作勻加速直線運動，在/=10s內(nèi)走過路程s=30m,而其速度

增為〃=5倍.試證加速度為。=型二與，并由上述數(shù)據(jù)求出量值.

(〃+1)*

［證明］依題意得匕="%，根據(jù)速度公式匕=丹+〃，得

。=(〃一1)%〃，(1)

根據(jù)速度與位移的關系式％2=y/+2成，得

a=(〃2_1)為2/2S,(2)

(1)平方之后除以(2)式證得：4=義七野.

(〃+1)廠

計算得加速度為：“=生噌=0.4(m§2).

(5+1)102

1.3一人乘摩托車跳越一個大礦坑，他以與水平成22.5。的夾角的初速度

65m從西邊起跳，準確地落在坑的東邊.已知東邊比西邊低70m,忽略空氣

阻力，且取g=10m-s'.問：

(1)礦坑有多寬？他飛越的時間多長？,

(2)他在東邊落地時的速度？速度與水平面的夾：70m'

用.圖1.3

［解答］方法一：分步法.

(1)夾角用。表示，人和車(人)在豎直方向首先做豎直上拋運動，初速

度的大小為

VyQ=uosin。=24.87(m-s'').

取向上的方向為正，根據(jù)勻變速直線運動的速度公式

vt-VQ=at,

這里的功就是匕0,a=-g；當人達到最高點時，匕=0,所以上升到最高點的時

間為

A=v/g=2.49(S).

再根據(jù)勻變速直線運動的速度和位移的關系式：1-打2=2公，

可得上升的最大高度為：h\=v)o2/2g=30.94(m).

人從最高點開始再做自由落體運動，下落的高度為;〃2=小+。=100.94(m).

根據(jù)自由落體運動公式$=8』/2,得下落的時間為：4、區(qū)=4.49(s).

因此人飛越的時間為：t=Z］+t2=6.98(s).

人飛越的水平速度為;%)=vocos。=60.05(m-s-'),

所以礦坑的寬度為:x=v"=419.19(m).

(2)根據(jù)自由落體速度公式可得人落地的豎直速度大小為：vv=gt=

69.8(m-s''),

落地速度為：v=屋+靖嚴=92.08(m-s-'),

與水平方向的夾角為：9=arctan(v/%)=49.30。，方向斜向下.

方法二：一步法.

取向上為正，人在豎直方向的位移為y=5)/-gP/2,移項得時間的一元二

次方程

；gt~-%sin例+y=0,

2

解得：t=(v0sin0+^v\m0-2gy)g.

這里歹=-70m,根號項就是人落地時在豎直方向的速度大小，由于時間應該取

正值，所以公式取正根，計算時間為：，=6.98(s).

由此可以求解其他問題.

1.4一個正在沿直線行駛的汽船，關閉發(fā)動機后，由于阻力得到一個與速

度反向、大小與船速平方成正比例的加速度，即dWd/=-小，k為常數(shù).

(1)試證在關閉發(fā)動機后，船在/時刻的速度大小為工=工+股；

V%

(2)試證在時間，內(nèi)，船行駛的距離為x=Ln(%h+l).

k

［證明］(1)分離變量得當=-抽，故隹=-同出，

v%yo

可得：-=—+Az.

v%

(2)公式可化為"」

1+vQkt

由于丫=dx/d3所以：dx=―-—由=-------d(l+v/)

1+v［｝kt《(1+%燈)

1

積分jdr=j--—-d(l+v0^)?

o"(l+匕但)

因此x=—ln(vA:/+l).證畢.

k0

［討論］當力是速度的函數(shù)時一，即/=/「)，根據(jù)牛頓第二定律得了=加。.

由于a=d'/d*,而dx/d?=v,a=dv/d/,

分離變量得方程：d/=縹，

f(v)

解方程即可求解.

在本題中，k已經(jīng)包括了質(zhì)點的質(zhì)量.如果阻力與速度反向、大小與

船速的“次方成正比，則

dv/dz=-kvn.

(1)如果”=1,則得業(yè)=-依/,

V

積分得Inv=%+C.當/=0時一，□=%所以C=lnv(),

因此lnv/vo--kt,

得速度為：u=we"'.

而dv=voe-^d/,積分得：x=—e-fa+C'.

-k

當1=0時，x=0,所以C'=Vo/左，因此x=￡(l-e-").

(2)如果“W1,則得曳=-依/,積分得上二=4+c.

v，71-77

當/=0時，V=V0?所以當一=c,因此'7=27+(〃一1)七.

1-?產(chǎn)v''-'

如果〃=2,就是本題的結(jié)果.

如果〃W2,可得小里故也竺空,讀者不妨自證.

1.5—質(zhì)點沿半徑為0.10m的圓周運動，其角位置(以弧度表示)可用公

式表示：9=2+4上求：

(l)/=2s時，它的法向加速度和切向加速度；

(2)當切向加速度恰為總加速度大小的一半時，。為何值？

(3)在哪一時刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？

［解答］(1)角速度為co=de/df=12*=48(rad-s-i),

法向加速度為a”=rd=230.4(m-s-2)；

角加速度為-dco/dz1-24z-48(rad-s-2),

2

切向加速度為at=/^=4.8(m-s*).

(2)總加速度為a=(常+直2嚴,

當a,=a/2時,有=a}+a?,即.

由此得,即(12-)2=24/73,

解得/二百/6.

所以。=2+"=2(l+VJ/3)=3.154(rad).

(3)當時、可得力=尸。2,即：24/=(12/2)2,

解得：Z=(1/6)1/3=0.55(S).

1.6一飛機在鉛直面內(nèi)飛行，某時刻飛機的速度為v=300nrs”,方向與水

平線夾角為30。而斜向下，此后飛機的加速度為a=20V3m-s-2,方向與水平前

進方向夾角為30。而斜向上，問多長時間后，飛機

又回到原來的高度？在此期間飛機在水平方向飛

行的距離為多少？

［解答］建立水平和垂直坐標系，飛機的初速度的

大小為

Vox-UoCOsO,

圖1.7

vov-u（）sin。.

加速度的大小為ax=acosot,av=asma.

運動方程為x=%）+；小』，12

2-

即x=%cos8./+；acosa/

2

y=-vosin^-/+—asina-/.

令y=0,解得飛機回到原來高度時的時間為：/=0(舍去)；/=2吆=10百(s).

asma

將/代入X的方程求得x=9000m.

［注意］選擇不同的坐標系，如％方向沿著。的方向或者沿著火的方向，也

能求出相同的結(jié)果.

1.7一個半徑為&=1.0m的輕圓盤，可以繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動.一根輕繩

繞在盤子的邊緣，其自由端拴一物體4在重力作用下，物體4從靜止開始勻

加速地下降，在△/=2.0s內(nèi)下降的距離0=0.4m.求物體開始下降后3s末，圓

盤邊緣上任一點的切向加速度與法向加速度.

［解答］圓盤邊緣的切向加速度大小等于物體4下落加速度.由于〃=；《△?，

所以q=2〃/A*=0.2(m-s-2).

物體下降3s末的速度為v==0.6(m-s'),

這也是邊緣的線速度，因此法向加速度為q=1=0.36(m-s-2).

1.8一升降機以加速度1.22m?s-2上升，當上升速度為2.44m-s”時，有一螺

帽自升降機的天花板上松落，天花板與升降機的底面相距2.74m.計算:

(1)螺帽從天花板落到底面所需的時間；

(2)螺帽相對于升降機外固定柱子的下降距離.

［解答］在螺帽從天花板落到底面時，升降機上升的高度為

,12

自=%+/；

螺帽做豎直上拋運動，位移為飽產(chǎn).

由題意得。="1-%2，所以，=；(a+g)「，

解得時間為/=j2/z/(a+g)=0.705(s).

算得%2=-0.716m,即螺帽相對于升降機外固定柱子的下降距離為0.716m.

［注意］以升降機為參考系，釘子下落時相對加速度為。+g,而初速度為零,

可列方程

"=(。+g)//2,

由此可計算釘子落下的時間，進而計算下降距離.

1.9有一架飛機從力處向東飛到8處，然后又向西飛回到/處.已知氣流

相對于地面的速度為〃，之間的距離為/,飛機相對于空氣的速率v保持不

變.

(1)如果〃=0(空氣靜止)，試證來回飛行的時間為/。=3；

V

(2)如果氣流的速度向東，證明來回飛行的總時間為乙

\-u-lv

(3)如果氣流的速度向北，證明來回飛行的總時間為芍=/‘°.

［證明］(1)飛機飛行來回的速率為修路程為2/,所以飛

行時間為由=211V.v一%

U+〃-->

(2)飛機向東飛行順風的速率為v+m向西飛行逆風的■…

速率為V-”，「q”

,〃斤￡

所以飛行時間為r="=」

v+wv-uv-ul-w2/v2l-M2/v2

(3)飛機相對地的速度等于相對風的速度加風相對地的速度.為了使飛機

沿著43之間的直線飛行，就要使其相對地的速度偏向北方，可作矢量三角形,

其中沿方向的速度大小為/=4=7,所以飛行時間為

,2=生=—=/小_<0證畢.

VVv2-M2J1-yjl-U2/v2

1.10如圖所示，一汽車在雨中沿直線行駛，其速度為V1,下落雨的速度

方向與鉛直方向的夾角為仇偏向于汽車前進方向，速度為V2.今在車后放一

長方形物體，問車速VI為多大時此物體剛好不會被雨水淋濕？

［解答］雨對地的速度日等于雨對車的速度且加車對地的速度G，由此可作矢

量三角形.根據(jù)題意得tana=///?.

方法一：利用直角三角形.根據(jù)直角三角形得

Vi=i^sine+v3sin?,

其中也=vi/cosa,而KL=v2cos仇

因止匕%=T^sin。+v2cosOsina/cosa,

圖1.10

即V1=v2(sin^+—cos^).證畢.

方法二：利用正弦定理.根據(jù)正弦定理可得

巧_彩

sin(6+a)sin(90°-a)

sin(6+a)

所以:vi=彩------

cosa

sin0cosa+cossina

匕-------------------A

cosa

v2(sin0+cos0tana),

即v,=v,(sin^+—cos^).

h

方法三：利用位移關系.將雨滴的速度分解為豎直和水平兩個分量，在,時

間內(nèi)，雨滴的位移為

/=(也一v^sin。)/,

h=v2cos。?九

兩式消去時間，即得所求.證畢.

第二章運動定律與力學中的守恒定律

(-)牛頓運動定律

2.1一個重量為。的質(zhì)點，在光滑的固定斜面(傾角為a)上以初速度可運

動，％的方向與斜面底邊的水平約43平行，如圖所示，求這質(zhì)點的運動軌道.

［解答］質(zhì)點在斜上運動的加速度為a=gsina,方向與初速度方向垂直.其運

動方程為

這是拋物線方程.

2.2桌上有一質(zhì)量V=1kg的平板，板上放一質(zhì)量加=2kg的另一物體，

設物體與板、板與桌面之間的滑動摩擦因素均為4=0.25,靜摩擦因素為外=

0.30.求:

(1)今以水平力戶拉板，使兩者一起以a=lm?2的加速度運動，試計算物

體與板、與桌面間的相互作用力;

(2)要將板從物體下面抽出，至少需要多大的力？

［解答］(1)物體與板之間有正壓力和摩擦力的作用.

板對物體的支持大小等于物體的重力：Nm=mg=19.6(N),

這也是板受物體的壓力的大小，但壓力方向相反.

物體受板摩擦力做加速運動，摩擦力的大小為：fm=ma=2(N),

這也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反.

板受桌子的支持力大小等于其重力：NM=(〃I+Mg=29.4(N),

這也是桌子受板的壓力的大小，但方向相反.

板在桌子上滑動，所受摩擦力的大小為：々=〃WM=7.35(N).

這也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反.

(2)設物體在最大靜摩擦力作用下和板一起做加速度為成的運動，物體的

運動方程為

f=Nsmg=ma',

屯a

可得a'=〃sg.

E>

板的運動方程為

F-f-"晨+M)g=Ma',f

即F-f+Ma'+nk(m+M)g

=+〃&)(根+M)g，

算得F=16.17(N).

因此要將板從物體下面抽出，至少需要16.17N的力.

2.3如圖所示：已知歹=4N,如=0.3kg,加2=0.2kg,兩物體與水平面的

的摩擦因素勻為0.2.求質(zhì)量為根2的物體的加速度及繩子對它的拉力.(繩子和

滑輪質(zhì)量均不計)

I解答I利用兒何關系得兩物體的加速度之間的關系為。2=20，而力的關系

為TI=272.

對兩物體列運動方程得

T2-2im2g-m2a2，

F-T\-pm\g=iri\a\.

可以解得他的加速度為

_F-^m+2m)g

672一x2

町/2+2%=4.78(m『)，

繩對它的拉力為

ni

T=--------(F-〃加|g/2)

/叫/2+2叱=1.35(N).

2.4兩根彈簧的倔強系數(shù)分別為由和人2.求證：

L_L+_L

（1）它們串聯(lián)起來時一，總倔強系數(shù)左與吊和府.滿足關系關系式％k\k2

（2）它們并聯(lián)起來時，總倔強系數(shù)上=自+后.,

?k\K2F

［解答］當力尸將彈簧共拉長X時，有F=kx,其中卜柳州州LyB側(cè)L

(a)

女為總倔強系數(shù).k\_

占

兩個彈簧分別拉長修和歷，產(chǎn)生的彈力分別為-OWVWr_(b)

h

F\=k\X\,F2=k2X2.圖2.4

（1）由于彈簧串聯(lián)，所以F=B=&，X=Xl+%2，

￡=二+及1=1+1

因此kk}&,即：74左2.

（2）由于彈簧并聯(lián)，所以R=B+尸2,x=x）=x2,

因此kx=k\X\+k2x2,即：k=k\+k2.

2.5如圖所示，質(zhì)量為加的擺懸于架上，架固定于小車上，在下述各種情

況中，求擺線的方向（即擺線與豎直線的夾角。）及線中的

張力T.

圖2.5

（1）小車沿水平線作勻速運動；

（2）小車以加速度石沿水平方向運動；

（3）小車自由地從傾斜平面上滑下，斜面與水平面成°角；

（4）用與斜面平行的加速度&把小車沿斜面往上推（設仇=6）；

（5）以同樣大小的加速度區(qū)（必=為，將小車從斜面上推下來.

［解答］（1）小車沿水平方向做勻速直線運動時，擺在水

平方向沒有受到力的作用，擺線偏角為零，線中張力為7=

〃陪.

（2）小車在水平方向做加速運動時，重力和拉力的合力(2)

就是合外力.由于

tan。=ma/mg,所以0=arctan（。左）；

繩子張力等于擺所受的拉力：7=，（利。）2+（管）2=W，+g2.

（3）小車沿斜面自由滑下時，擺仍然受

力，

合力沿斜面向下，所以9=夕

T=mgcos（p.

（4）根據(jù)題意作力的矢量圖，將豎直虛

與水平輔助線相交，可得一直角三角形，。角的對邊

是/wbcose，鄰邊是〃陪+/wbsing,由此可得:

八mbcos(p

tan0=-------------——

mg-\-mbsvacp,

因此角度為

八bcoscp

0-arctan------------

g+bsin0.

而張力為

(5)

T=J(泌r+(憎)2cos(re/2+0)

=/7Jh2+g2+2bgsincp.

(5)與上一問相比，加速度的

方向反向，只要將上一結(jié)果中的b改為》就行了.

2.6如圖所示：質(zhì)量為m=0.10kg的小球，拴在長度/=0.5m

的輕繩子的一端，構(gòu)成一個擺?擺動時一，與豎直線的最大夾角

為60。.求：

(1)小球通過豎直位置時的速度為多少？此時繩的張力多大？

(2)在。＜60。的任一位置時，求小球速度v與。的關系式.這時小球的加

速度為多大？繩中的張力多大？

(3)在。=60。時，小球的加速度多大？繩的張力有多大？

［解答］(1)小球在運動中受到重力和繩子的拉力，由于小球沿圓弧運動，

所以合力方向沿著圓弧的切線方向，即產(chǎn)=-^gsin仇負號表示角度。增加的方

向為正方向.

小球的運動方程為

?d2s

F=ma=m—r-

dr2,

其中s表示弧長.由于s=R0=/0,所以速度為

ds.dO

——=/—

d/At9

因此

_dvdvdOmdv

F=m—=m--------=—v——

drd。d/I60,

即vdv=-g/sinOd仇(1)

取積分fvdv=-^€sin^,

］,°

-Vg=glcosd,—

得26o?,解得：%=A/g/=2.21(nrs").

,kT_-me=mV—g=mV—g=me

由于：8KRI,

所以TB=2mg=1.96(N).

(2)由(1)式積分得

—v^-glcos0+C

2,

當6=60°時,vc=0,所以C=-/g/2,

因此速度為

vc=Jg/(2cos6-1).

切向加速度為a,=gsin仇法向加速度為

=?=g(2cos。-1)

由于Tc-mgcosO=man,所以張力為Tc=mgcosO+man=mg(3cos<9-1).

(3)當。=60°時，切向加速度為

a=苴

218.49(m，s"),

法向加速度為冊=0,

繩子的拉力mg/2-0.49(N).

［注意］在學過機械能守恒定律之后，求解速率更方便.

2.7小石塊沿一彎曲光滑軌道上由靜止滑下〃高度時，它的速率多大？（要

求用牛頓第二定律積分求解）

［解答］小石塊在運動中受到重力和軌道的支持力，合力方向沿著曲線方

向.設切線與豎直方向的夾角為仇則

F=mgcosO.

圖2.7

小球的運動方程為

d2s

F=ma=m__,,

d/2,s表不弧Irff長.

11—ds

由于一d/,所以

d25d,小、dvdvdvdv

—=—(—)=—=----=v—

d/-d/d/dtdstAt小，

因此vdv=gcosOds=gdh,〃表示石下落的高度.

積分得；/=g〃+c,當。=0時，y=o,所以c=o,

因此速率為丫=9.

f=__L

2.8質(zhì)量為陰的物體，最初靜止于沏，在力,―一”(攵為常數(shù))作用下沿直

線運動.證明物體在X處的速度大小v=［2%(l/x-1/沏)/根］巴

［證明］當物體在直線上運動時，根據(jù)牛頓第二定律得方程

/kd2x

/=——-=ma=m--

xdr

利用v=dx/由，可得

d2xdvdxdvdv

——=-----=v—

d/2--d/d/dx---dr,

因此方程變?yōu)?/p>

kdx

mvov=-----

x

積分得

2

iWv=-+C

2x

利用初始條件，當x=%o時，v=0,所以。=-左/曲，因此

2x/,

'=四口

即丫機XX。.證畢.

［討論］此題中，力是位置的函數(shù):/=於)，利用變換可得方程：根vdv=y(x)dx,

積分即可求解.

如果加)=-必"，則得a=一手.

(1)當”=1時，nJ得"2-lnx+C

j_2_,-X1

利用初始條件x=沏時，v=0,所以C=lnxo，因此2mVx

_wiyf'=____Y^-n+「

(2)如果可得2一1-〃.利用初始條件x=M時一，v=0,

即'(〃-1而.當"=2時、即證明了本題的結(jié)果.

2.9一質(zhì)量為陰的小球以速率功從地面開始豎直向上運動.在運動過程

中，小球所受空氣阻力大小與速率成正比，比例系數(shù)為上.求：

(1)小球速率隨時間的變化關系v⑺；

(2)小球上升到最大高度所花的時間T.

［解答］(1)小球豎直上升時受到重力和空氣阻力，兩者方向向下，取向上

的方向為下，根據(jù)牛頓第二定律得方程

f=-mg-kv=m—

d/,

山_dv_mA(rng+kv)

分離變量得mg+kvkmg+kv,

積分得"一請(毋例十0.

書■nn-F/I”C=-ln(/wg+^v)

當，=0時，u=%，陟r以k0,

m[mg+kvm.mg/左+u

t-----In-----------------In-------------

因此kmg+kv0kmg/k+v0,

小球速率隨時間的變化關系為

v=(%+等)exp(—與一等

(2)當小球運動到最高點時v=0,所需要的時間為

T='ln^^="ln(l+組)

kmg/kkmg.

[討論I(1)如果還要求位置與時間的關系，可用如下步驟:

由于y=dx/d/,所以

」r/mg、/kt.

*=[(%+exp(----)——]d/

kmk,

即

dx=_訊%+ag〃)dexp(-色)-些d/

kmk,

積分得

x="(%+加g?exp(-與-些/+C

kmk,

當，=0時，x=0,所以

c>m(v0+mg/k)

k

因此

x/（%+沖出"exp（_4］Jg/

kmk

（2）如果小球以％的初速度向下做直線運動，取向下的方向為正，則微分

方程變?yōu)?/p>

f=mg-kv=m—

dt,

用同樣的步驟可以解得小球速率隨時間的變化關系為

一等一（等一%）exp（一與

kkm.

這個公式可將上面公式中的g改為-g得出.由此可見：不論小球初速度如何，

其最終速率趨于常數(shù)%=mg/k.

2.10如圖所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圓環(huán)帶，半徑為七一物

體帖著環(huán)帶內(nèi)側(cè)運動，物體與環(huán)帶間的滑動摩擦因數(shù)為乩.設物體在某時刻經(jīng)

A點時速率為玲，求此后時刻t物體的速率以及從A點開始所

經(jīng)過的路程.三引》

［解答］物體做圓周運動的向心力是由圓環(huán)帶對物體的壓

力，即

N—mv'/R.

物體所受的摩擦力為/=-"kN,

負號表示力的方向與速度的方向相反.

根據(jù)牛頓第二定律得

/v2dv

-/=-^7^d7,即：

?=；+c

積分得:

C---

當/=0時一，v=v0，所以%，

u=-―

因此Rv%.解得

由于

也=%山=Rd(l+4%〃7?)

1+4%〃及1+4%〃/?,

積分得

x=-ln(l+*0)+C

氏R,

_x=-In(1+^V()/)

當r=0時，x=%o，所以C=0,因此dR

2.H如圖所示，一半徑為R的金屬光滑圓環(huán)可繞其豎直直徑轉(zhuǎn)動.在環(huán)

上套有一珠子.今逐漸增大圓環(huán)的轉(zhuǎn)動角速度①，試求在不同轉(zhuǎn)動速度下珠子

能靜止在環(huán)上的位置.以珠子所停處的半徑與豎直直徑的夾

角9表示.

［解答］珠子受到重力和環(huán)的壓力，其合力指向豎直直徑，作

為

珠子做圓周運動的向心力，其大小為：F=mgtgO.

珠子做圓周運動的半徑為r=Rsm0.

根據(jù)向心力公式得F=mgtgd=ma）2RsmO,

可得

江=火〃

COS。

0=±arccos—

解得Reo2.

（二）力學中的守恒定律

2.12如圖所示，一小球在彈簧的彈力作用下振動.彈力b=-玄，而位移x

=Acoscot,其中七力和①都是常數(shù).求在，=0到/=兀/2G的時間間隔內(nèi)彈力

予小球的沖量.

［解答］方法一：利用沖量公式.

根據(jù)沖量的定義得d/=Fdt=-左Zcos①M/,

積分得沖量為

嚴/2口圖2.12

1=［(-kAcoscot)dt

kA.皿1cA

=--------Sin69/=--------

co0co

方法二：利用動量定理.

小球的速度為v=dx/dz=-coAsincot,

設小球的質(zhì)量為掰，其初動量為21=能修=0,

末動量為P2=wv2=-tncoA,

小球獲得的沖量為I=pi-p\=-mcoA,

可以證明k=mco2,因此/=-kA/co.

2.13一個質(zhì)量m=50g,以速率的u=20m-s"作勻速圓周運動的小球，在

1/4周期內(nèi)向心力給予小球的沖量等于多少？

［解答］小球動量的大小為p=mv,

但是末動量與初動量互相垂直，根據(jù)動量的增量的定義

醞=/2-A得：P2=PI+^P,

由此可作矢量三角形，可得：2=?P=?mv.

因此向心力給予小球的的沖量大小為/="=1.41(N-s).

［注意］質(zhì)點向心力大小為尸=根/伏，方向是指向圓心的，其方向在

不斷地發(fā)生改變，所以不能直接用下式計算沖量

V2T

R4

2兀RITTn

=mv------------=—mv

R42

假設小球被輕繩拉著以角速度co=v/R運動，拉力的大小就是向心力

F-mv'/R=mcov,

其分量大小分別為

Fx=尸cos。=Fcoscot,

Fv=bsin。=FsintoZ,

給小球的沖量大小為

dlx=Fxdt=Fcoscotdt,

d/v=Fvdt=Fsinco/dZ,

積分得

774

區(qū)/4F

FeoscotAt=一sincot

co0

F

=—=mv

a)

T/4

r7/4.p

FsinojtAt=----coscot

小CD

0

F

=——=mv

CD

合沖量為

I=J/：+/；=V2wv

與前面計算結(jié)果相同，但過程要復雜一些.

2.14用棒打擊質(zhì)量0.3kg,速率等于20m的水平飛來的球，球飛到豎直

上方10m的高度.求棒給予球的沖量多大？設球與棒的接觸時間為0.02s,求

球受到的平均沖力？

［解答］球上升初速度為。=腐=14(m-s”),

其速度的增量為小=S7彳=24.4(m-s-').內(nèi)

棒給球沖量為I=能△/=7.3(N-s),

對球的作用力為(不計重力)：F=//Z=366.2(N).

2.15如圖所示，三個物體/、B、C,每個質(zhì)量都為8和。靠在一起,

放在光滑水平桌面上，兩者連有一段長度為0.4m的細繩，首先放松.8的另一

側(cè)則連有另一細繩跨過桌邊的定滑輪而與N相連.已知滑輪軸上的摩擦也可忽

略，繩子長度一定.問/和3起動后，經(jīng)多長時間。也開始運動？C開始運動

時的速度是多少？(取g=10ms-2)

I解答］物體/受到重力和細繩的拉力，可列方程

Mg-T-Ma,

物體3在沒有拉物體。之前在拉力7作用下做加速

運動，

加速度大小為可列方程：T=Ma,

聯(lián)立方程可得：a=g/2=5(m-s-2).

根據(jù)運動學公式：s=vot+a/12,

可得8拉C之前的運動時間；，=J2s/a=O.4(s).

此時8的速度大小為：v=a/=2(m?s").

物體4跨過動滑輪向下運動，如同以相同的加速度和速度向右運動./和3

拉動。運動是一個碰撞過程，它們的動量守恒，可得：2Mv=3Mv',

因此C開始運動的速度為：v'=2v/3=1.33(m?s").

2.16一炮彈以速率均沿仰角e的方向發(fā)射出去后，在軌道的最高點爆炸

為質(zhì)量相等的兩塊，一塊沿此45。仰角上飛，一塊沿45。俯角下沖，求剛爆炸的

這兩塊碎片的速率各為多少?

［解答］炮彈在最高點的速度大小為

V=VoCOS。，方向沿水平方向.

根據(jù)動量守恒定律，可知碎片的總動量等于炮彈爆

炸前的

總動量，叫作矢量三角形，列方程得

mv12=——v'cos45°

2

所以v'-v/cos45°=后％cos。.

2.17如圖所示，一匹馬拉著雪撬沿著冰雪覆蓋的弧形路面極緩慢地勻速

移動，這圓弧路面的半徑為R.設馬對雪橇的拉力總是平行于路面.雪橇的質(zhì)

量為相，它與路面的滑動摩擦因數(shù)為當把雪橇由底端拉上45。圓弧時，馬

對雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？

［解答］取弧長增加的方向為正方向，弧位移出的大小為

ds=RdO.

重力G的大小為：G=mg,

方向豎直向下，與位移元的夾角為兀+仇所做的功元為

d仰=6?d?=Gcos（e+7r/2）dsmg

圖2.17

=-mgRsin0AO,

積分得重力所做的功為

45°

Wx-（-mgRsin=mgRcos0

0

摩擦力了的大小為：/=〃kN=/4"gC0S。,

方向與弧位移的方向相反，所做的功元為

dW2=/-(!?=/cos冗ds

=-ukmgcos0Rd6,

積分得摩擦力所做的功為

%=f(~/2kmgRcosO)d0

45。

=mgRsine=--7dmgR

o2.

要使雪橇緩慢地勻速移動，雪橇受的重力G、摩擦力『和馬的拉力戶就是平

衡力，即F+G+f=0,

或者戶=-(?+/).

拉力的功元為：d%=R.d$=-(?.而+f.dS)=Td仰+d%),

拉力所做的功為

V2V2

%=-(%+%)=(1一彳+三4)"陪，

由此可見，重力和摩擦力都做負功，拉力做正功.

2.18一質(zhì)量為m的質(zhì)點拴在細繩的一端，繩的另一端固定，此質(zhì)點在粗

糙水平面上作半徑為r的圓周運動.設質(zhì)點最初的速率是玲，當它運動1周時,

其速率變?yōu)榫?2,求：

(1)摩擦力所做的功；

(2)滑動摩擦因數(shù)；

(3)在靜止以前質(zhì)點運動了多少圈？

［解答1⑴質(zhì)點的初動能為：田=根詔/2,

2

末動能為：E2-mv/2-mv^/S,

動能的增量為：Mk=E2-E\=-3mv強,

這就是摩擦力所做的功W.

(2)由于d%=夕#=-"*Ndv=-心機grd仇積分得：

沙=［(-/Jkmgr)d0=-27T/Jkmgr

由于〃=AE,可得滑動摩擦因數(shù)為

u一3一

k16rcgr.

(3)在自然坐標中，質(zhì)點的切向加速度為：at=f/m=-/Likg,

根據(jù)公式匕2—%2=2%，可得質(zhì)點運動的弧長為

:一片「片_舐》

2。2〃話3,

圈數(shù)為n=s/2nr=4/3.

［注意］根據(jù)用動能定理，摩擦力所做的功等于質(zhì)點動能的增量：小=西,

可得$=-△￡〃，由此也能計算弧長和圈數(shù)。zyi

s=

2.19如圖所示，物體/的質(zhì)量能=0.5kg,靜止B思/

于光滑斜面上.它與固定在斜面底B端的彈簧〃相距\^=45°I

s=3m.彈簧的倔強系數(shù)％=400N-H1-1.斜面傾角為圖.

45°.求當物體/由靜止下滑時，能使彈簧長度產(chǎn)生的

最大壓縮量是多大？

［解答］取彈簧自然伸長處為重力勢能和彈性勢能的零勢點，由于物體/和彈

簧組成的系統(tǒng)只有保守力做功，所以機械能守恒，當彈簧壓縮量最大時，可得

方程

mgssin0--mgxsin^+—kx2

2,

整理和一元二次方程

1

—kx-mgxsin0+mgssin0-0

2,

解得

_mgsinO+yj(mgsin0)2+2kmgsin0

k=0.24(m)(取正根).

2.20一個小球與另一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生彈性碰撞.如果碰撞不是

對心的，試證明：碰撞后兩小球的運動方向彼此垂直.

［證明］設一個小球碰撞前后的速度大小分別為心和刈，另一小球的在碰撞后

的速度大小為v2,根據(jù)機械能守恒得

121212

—mv=—wv,+—mv

20222,

即片=片+片；

根據(jù)動量守恒得：瓦=r+瓦,

其中各動量的大小為：Po=/wv0>P\=mv\p2=mv2,

對矢量式兩邊同時平方并利用且?瓦=加卬"2cos。

得：P；=P：+A+2pIP2Cos6,

222

gp:=mv^+mv^+2wVjV2cos6

化簡得：片=T+$+2w嶺cos0,

結(jié)合機械能守恒公式得：2w2cos8=0,

由于也和也不為零，所以：。=兀/2,即碰撞后兩小球的運動方向彼此垂直.

2.21如圖所示，質(zhì)量為1.0kg的鋼球陽系在長為0.8m的繩的一端，繩的

另一端O固定.把繩拉到水平位置后，再把它由靜止釋放，球在最低點處與質(zhì)

量為5.0kg的鋼塊加2作完全彈性碰撞，求碰撞后鋼球繼續(xù)運動能達到的最大高

度.

［解答］鋼球下落后、碰撞前的速率為：%=歷.

鋼球與鋼塊碰撞之后的速率分別為也'和V,',根據(jù)機械能守恒和動量守恒得方

程

?21、2,1、2

3aM=不加止］+不加2y2

，，，,

加］%=相］匕+w2v2.

整理得"*-y：）=嗎V：

圖2.21

%|（巧-匕）=根2丫2.

將上式除以下式得:也+盯'=也',

代入整理的下式得

WjVj-fn}v］=m2v}+啊4,

._（w1-w2）v,

匕一

解得mt+m2.

碰撞后鋼球繼續(xù)運動能達到的最大高度為

〃=_￡=_￡（e*）2片=（生二絲尸/

2g2gmt+m2g+嗎=0.36（m）.

［討論］如果兩個物體的初速率都不為零，發(fā)生對心彈性碰撞時，同樣可列出

機械能和動量守恒方程

111、21、2

22VmV

-m\V\+］加2V2=-^\+-22

町W+m2V2=加陷+m2V2.同理可得h+巧=匕+匕.

_(加］-m)Vj+2加2y2

Vi=2匕2（加2n2））

1

從而解得叫+%,或者叫+加2

將下標1和2對調(diào)得

?_(w2-wl)v2+2mlv,.一2（加陶+〃?2嶺）嶺

V

2—'2

m}+m2,或者町+加2

呵匕4-fn2V2

后一公式很好記憶，其中回+俐代表質(zhì)心速度.

2.22—質(zhì)量為相的物體，從質(zhì)量為M的圓弧形槽頂端由靜止滑下，設圓

弧形槽的半徑為幾張角為兀/2,如圖所示，所有摩擦都忽略，求:

(1)物體剛離開槽底端時，物體和槽的速度各是多

少？

(2)在物體從/滑到3的過程中，物體對槽所做的

功W-,

(3)物體到達3時對槽的壓力.

［解答］(1)物體運動到槽底時，根據(jù)機械能定律守恒得

m&R=-mv2+—MV2

22

根據(jù)動量守恒定律得：0=山丫+

因此

meR=—mv2+=—mv2+—^―(mv)2

22M22M,

解得

+m,從而解得：+

(2)物體對槽所做的功等于槽的動能的增量

W=-MV2=0揶

2M+m.

(3)物體在槽底相對于槽的速度為

、“八m、M+ml2(M+m)gR

u=v-V=(1+--)n=--------v=J---------------

MMVM

物體受槽的支持力為N,則

v'2

N-mg=J??—

因此物體對槽的壓力為

.,v'22m、

Nr=mg+m—=(3+^-)mg

2.23在實驗室內(nèi)觀察到相距很遠的一個質(zhì)子(質(zhì)量為叫,)和一個氮核(質(zhì)

量為4外)沿一直線相向運動；速率都是如求兩者能達到的最近距離.

［解答I當兩個粒子相距最近時，速度相等，根據(jù)動量守恒定律得

4/WpVo-相pVo=(4%+mp)v,因止匕v=3v0/5.

質(zhì)子和氫核都帶正電，帶電量分別為e和2e,它們之間的庫侖力是保守力.根

據(jù)能量守恒定律得

1,1,1,2e2

+-(4wp)v?=-(5/MP>+k—

~~-'m，

,2e25,22、82

K----=一加?(吸一V)=一加

因此22…5

5ke2

所以最近距離為：,一而看.

圖2.24

2.24如圖所示，有一個在豎直平面上擺動的單擺.問：

(1)擺球?qū)覓禳c的角動量守恒嗎？

(2)求出，時刻小球?qū)覓禳c的角動量的方向，對于不同的時刻，角動量

的方向會改變嗎？

(3)計算擺球在。角時對懸掛點角動量的變化率.

［解答］(1)由于單擺速度的大小在不斷發(fā)生改變，而方向與弧

相切，因此動量矩/不變；由于角動量A=所以角動量不守

恒.B

(2)當單擺逆時針運動時，角動量的方向垂直紙面向外；當T

單擺順時針運動時一，角動量的方向垂直紙面向里，因此，在不同的時一刻，角動

量的方向會改變.

(3)質(zhì)點對固定點的角動量的變化率等于質(zhì)點所受合外力對同一點的力

矩，因此角動量的變化率為

牛=M=Frl=mglsin0

?GMm

E=---------

2.25證明行星在軌道上運動的總能量為4+4.式中〃和〃?分別為太

陽和行星的質(zhì)量，片和-2分別為太陽和行星軌道的近日點和遠日點的距離.

V2

?12GMm

E=—mv2---------

和2-r2(2)

它們所組成的系統(tǒng)不受外力矩作用，所以行星的角動量守恒.行星在兩點的

位矢方向與速度方向垂直，可得角動量守恒方程

mv\r\=mv2^即