Cha 線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法

第四章

線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法

§4.1概述線性代數(shù)方程組(SystemofLinearAlgebraEquations)的求解是數(shù)值計算方法中的一個重要課題?，F(xiàn)代工程技術(shù)或科研過程中所遇到的一些實際問題，常常直接或間接地歸結(jié)為求解一個線性代數(shù)方程組。例如有分支水流的流速分布、建筑結(jié)構(gòu)中的設(shè)計計算和應(yīng)力分析、儀器分析中的質(zhì)譜分析、光譜分析、色譜分析、電力系統(tǒng)中的電網(wǎng)分析等等；另外有些數(shù)值計算方法本身也是以線性代數(shù)方程組的數(shù)值解、有限元法和邊界元等等，其中間過程或者最后都會導(dǎo)致求解線性代數(shù)方程組。這些線性代數(shù)方程組的解法是十分必要的，有著十分重要的意義。§4.1概述本章介紹求解n階線性代數(shù)方程組的一般形式是：或簡寫成矩陣形式：其中A稱為方程組(4.1)式的系數(shù)矩陣；B稱為方程組的右端列向量；x稱謂方程組解的列向量。它們分別為

(4.1)(4.2)§4.1概述求解線性代數(shù)方程組的數(shù)值計算方法很多，大致可分為兩大類：消去（元）法和迭代法。消去法是直接從方程組的系數(shù)矩陣入手，經(jīng)過有限步運算求出方程組的精確解（假如沒有舍入誤差的話）。迭代法則是將求方程組的問題化為構(gòu)造一組遞推計算結(jié)構(gòu)，從一組近似解出發(fā)，用這組遞推結(jié)構(gòu)逐步算出精度更高的近似解。上述這兩類算法各有其優(yōu)點和缺點，消去法的計算量小，但程序復(fù)雜；迭代法計算量大，精度不高，但程序結(jié)構(gòu)簡單。本章將主要介紹求解線性代數(shù)方程組的簡單高斯消去法和三角分解法，迭代法將在以后相關(guān)章節(jié)中介紹?！?.2高斯消去法

§4.2.1高斯消去法的基本步驟我們以三元線性代數(shù)方程組為例，敘述簡單高斯消去法（以下簡稱為消去法）的基本步驟，這各方法是理解其它方法的基礎(chǔ)，消去法分為消元和回代兩個過程。例4-1：消去過程實際上是對增廣矩陣作行初等變換。上例可表示為

§4.2高斯消去法這是上三角方程組，它極容易求解：由第三個方程得，代入第二個方程得，再代入第一方程。此一過程稱為回代過程。從上述消元過程可以看出，三元議程組要經(jīng)過兩次消元（因為不用消）才能把增廣矩陣化為擬上三角矩陣。對于一般的n元線性代數(shù)方程組，經(jīng)經(jīng)過(n-1)次消元才能把相應(yīng)的增廣矩陣變換為擬上三角矩陣。n元線性代數(shù)方程組的增廣矩陣的一般形式如(4.3)式。§4.2高斯消去法

以下是消元步驟（共分n-1部）：第一步(k=1)：從第一列中消去第2～n行中x1的系數(shù)，即消去a11下方元素；第二步(k=2)：從第一列中消去第3～n行中x2的系數(shù)，即消去a22下方元素；(4.3)§4.2高斯消去法第j步(k=j)：從第j列中消去第j+1～n行中xj的系數(shù)；即消去ajj下方元素;第n-1步(k=n-1)：從第n-1列中消去第n行中xn-1的系數(shù)；即消去an-1n-1下方元素因此，高斯消元步驟的計算通式可寫為：(4.4)§4.2高斯消去法經(jīng)過n-1步消元后，增廣矩陣(4.3)式變?yōu)椋?4.5)§4.2高斯消去法高斯回代過程的通用遞推計算公式可寫為：(4.6)§4.2高斯消去法§4.2.2高斯消去法的計算量分析我們從(4-4)式可以看出，高斯消去法消去過程共分n-1步，第k步變換n-k行：對這些行先乘系數(shù)，再從n+1-k元素減去第k行相對應(yīng)列的元素；因此共需乘、除次數(shù)為回代過程求xn需1次除法，求xn-1需1次乘法、1次除法，…，求x1需n-1次乘法、1次除法，因此共需乘除次數(shù)兩過程共需要乘除次數(shù)為。當(dāng)n=20時，N=3060.§4.2高斯消去法§4.2.2高斯消去法的程序框圖與通用程序

STARTINPUTN,A(),BCALLeliminationCALLbackOUTPUTX(N)END§4.2高斯消去法10OPEN(8,

&file=‘EliminationMetod.dat,

&status=‘new’)20DIMENSIONa(n,n+1),x(n),b(n)30C

輸入n,a(),b40READ(8,’(1x,i2,)’)n50DOi=1,n60READ(8,’(1x,e12.6)’)b(I)70ENDDO80DOi=1,n90DOj=1,n100READ(8,’(1x,e12.6)’)a(i,j)110ENDDO120ENDDO120C

消元過程130CALLelimination(a,b,n)140C回代過程150CALLback(a,x,n)160C

輸出結(jié)果x170DOi=1,n180WRITE(9,’(1x,e12.6)’)x(i)190ENDDO200END210220230240250§4疤.2耀高斯畏消去垂法SU增BR戶OU中TI組NE蟲e口li饒mi呈na偶ti規(guī)onK=爪1,套n-牢1i=怒k+符1,泥nR=射a(逢i,董k)崇/a難(k銜,k駐)j=僵k+轉(zhuǎn)1,煤n+險1a(擴i,加j)默=須a(蛛i,摧j)才-R撐*a純(k稼,j售)en要d云jen京d別jen浸d濱ien側(cè)d陽kEN外D趁SU貍BR潑OU東TI鄭NE候e輪li咽mi絞na爭ti秧on§4位.2狡高斯占消去英法10賞S地UB冒RO在UT區(qū)IN嚴(yán)E&el授im伍in扎at荷io端n(線a,阻b,缸n)20急D屢IM奸EN作SI膜ON帳a卷(n描,n適+1抱),跡b(向n)30C生成蘋增廣介矩陣40詳D件O首i=尸1,棵n50尸a飛(i追,n如+1行)=悟b(夜i)60演E公ND士D語O70C消去肥過程椒開始80糧D揮O抹k=械1,沉n-謝190尼D鴨O雹i=暢k+銹1,陰n10剩0器R=議a(質(zhì)i,牙k)屠/a義(k數(shù),k柜)11漢0薪DO灶j糕=k僅+1倚,n顯+112首0雀a(窯i,枯j)毒=土a(云i,趕j)墊-R姻*a氏(j靜,k賺)13應(yīng)0懷EN伙D牛DO14刷0鼻EN槽D合DO15師0煙EN陣D蒜DO16迫0木EN脹D翅SU庫BR剪OU饅TI引NE劇e軋li劇mi混na感ti光on§4睜.2楚高斯嫌消去近法SU溝BR同OU梨TI蜻NE串b謊ac夕kX(替n)瓶=位a(墻n,孔n+辜1)或/a停(n貿(mào),n始)k=送n-啊1,盈1,駱-1s=憲0j=暗k+倦1,浴ns=凳s+尊a紙(k乒,j勾)*聰x(象j)en壇d芒jX(煉k)目=(旨a(迷k,因n+府1)紫-s綿)/撐a(斃k,肥k)en竭d易kEN幼D申SU蕩BR夜OU偉TI廢NE暢b樂ac射k§4弊.2郊高斯址消去塵法10看SU越BR龍OU僚TI阻NE刮b宏ac坡k(顧a,充x,葉n)20卷DI邁ME議NS帶IO夕N滿a(幻玉n,傾n+友1)顆,x篩(n授)30鐵x(繡n)前=a門(n末,n賊+1判)/壟a(筋n,諒n)40等DO休k眼=n撫-1坡,1烏,-添160翼s=價0.冶060千DO錯j膚=k尋+1鑄,n70甜s=欠s+今a(滴k,圣j)趣*x趣(j持)80住EN顯D銀DO90鵲X(增k)獎=(稈a(點k,辯n+防1)燈-s號)/躍a(殼k,膛k)10獻0顫E航ND適D臥O11歇0襯E煮ND航S逮UB求RO壩UT家IN捎E輪ba值ck§4麥.2忠高斯兩消去退法§4粒.2尸.3時選瞇主元團法高斯妙消去吹法消數(shù)去過摩程中歉，第耳k步踏求n-雙k個系超數(shù)aik/akk用到齒的除與數(shù)akk,攏稱為感主元睬。如果akk為接租近于虧零或堡零，則消袍元遞峰推計泊算通斗式(日4-濃4)巨將出升現(xiàn)被吵零除樓的情移況，植從而奮使計攝算機溢出經(jīng)或無法導(dǎo)進行濟下去勻。例4拿-2準(zhǔn)確糧到九碧位小旦數(shù)的村解是特x1知=0憲.2紹50揮00替18糠75責(zé)，x鈔2=舞0.邁49穩(wěn)99爺98嚴(yán)74神9，幅若在桃4位羞計算估機上帆按高旅斯消兄去法排求解協(xié)，則§4臟.2埋高斯姥消去峰法回代隔得解休，大，擱顯然赤產(chǎn)生歌嚴(yán)重娃失真可。造靜成這厭種結(jié)蒸果的理原因稼，就罵是小土主元幟10-5的出讀現(xiàn)。廊用它攤作除礦數(shù)會漆產(chǎn)生細(xì)大乘登數(shù)，卸數(shù)乘悅大乘劍數(shù)變寸大數(shù)絡(luò)，大拖數(shù)吃師小數(shù)蝦產(chǎn)生崇舍入友誤差薯,如小(五)諒，從汁而使鏟也有紡誤差戚。因此箱，為餅了保屈證獲姻得正蠅確的摘結(jié)果倦，在恐消元趴過程務(wù)中可在紐奉第k嶼步的麻第k勺列的膨元素品akk,ak+抖1,棋k,…舅，撈ank中選型主元老，即企在其斑中找董出絕彎對值委最大氧的apk，然饅后交柄換第振k行惱和第唯p行蛾，繼詢續(xù)進縮慧行消籮去過潔程。攝這種其消去壘法為列主厘元消鵝去法。也灶可在件第k臨步的仿第k甩行的濕元素砍akk,ak,哈k+還1,…彎，叢akn中選杠主元腔，即杠在其奏中找丸出絕雀對值勸最大堂的akq，交菜換第竟k行毀和第寄q行攜;或夜在k飼~n優(yōu)行、糾k~畜n列迷選絕軍對值臺最大層的元泡素稍apq，交般換k蔬、p通行和極k、瘋p列偽，然撞后繼槳續(xù)進獸行消當(dāng)去過盈程。盜這兩黨種消鳴去法遵為行主堡元消拿去法和全主村元消朱去法。本岸節(jié)討陳論應(yīng)暖用廣想泛且疲易于洪在計兼算機結(jié)上實抽現(xiàn)的茫列主消元素則消去踩法。列主彎元素健消去磁法的呢計算項步驟筆可歸題納如皂下：①是選主寶元素駛；②紅把吸主元殺素所從在的除行與姥第k池行互傾換題；③向消躁元岸；④鞠回不代§4的.2么高斯削消去遷法其中鴉③、陪④兩限步與跨簡單勸高斯更消去兆法中驗的消巨元與價回代威過程膝完全巖一樣鎖，也知就是超說，截列主識元消鋼去法坊是在道簡單墻消去瓣法的糞基礎(chǔ)貍上引跑入選棵列主充遠(yuǎn)過立程，懸這個柏過程套并不既影響突獲得圖正確貼結(jié)果診。列主罰元高昂斯消個去法吃的程體序框走圖與短通用鋪程序為了憑簡單顛和說炎明問煌題，監(jiān)將上萍面的降①和查②兩勿步單叢獨用熟一個械子程偏序。件因此賊，列主時元高沾斯消辟去法穴的程響序框脆圖只需恒在簡突單高斯康消去篩法的豎流程慘圖中增君加一勉個選板列主浩元子吵程序ga召us領(lǐng)sp，具火體如與下：§4伙.2病高斯勝消去遙法SU伶BR佛OU窯TI遠(yuǎn)NE預(yù)g賴au這ss務(wù)pk=塑1,你n階-1a(蘆p,輩j)憑=ti=捷k+得1,截nc=禮a航bs惡(a琴(i謊,k幫))約;準(zhǔn)p=漁ien誘d暮it=蟻a(四k,合j)晨;喊a(娘k,艙j)眠=a占(p智,j爛)en倆d紡jEN酬D鑒SU悉BR接OU售TI盈NE伙g逢au歸ss叨pc=穴a代bs碰(a江(k秘,k罰))賓;靠p=浮kIf品a菠bs則(a凈(i伶,K努))袖>c融?YNj=史1,疊n驢+1en夾d臨k§4脈.2會高斯必消去盤法10奏S碗UB蘇RO頃UT豬IN遞E磁ga路us詢sp趙(a游,b榆,n麥)20欄D浪IM痛EN董SI亭ON忙a屬(n慚,n段+1章),墳b(獸n)30C生成訂增廣級矩陣40毒D漂O腰i=貞1,狼n50匆a業(yè)(i檢,n常+1咸)=融b(瘡i)60巾E惱ND崇D韻O70C選主亞元開跡始80葛D愧O倆k=汪1,過n-贊190弓c徐=a泥bs鳳(a丙(k掉,k們))催;p哭=k10接0儀DO貓i季=k度+1吩,n11鴿0冒IF湯(a速bs夜(a戲(i騾,k足)>瞧c)洽T該HE鞭N12絮0稼c=借a扁(i辜,k擴);勿p=胖i13等0瞧EN店D北IF14野0Cp,恰k行糊交換列開始15遣0燃D聲O藝j=六1,暖n+涼116票0誕t=攏a(鈴k,守j)墾;a缺(k史,j厚)=挽a(怒p,炕j)17鴿0叛a(圓p,鹿j)坐=t18舞0墨EN島D款DO19矩0漠EN恥D指DO20稻0傅EN茫D隆SU依BR醫(yī)OU投TI營NE攀g員au享ss芽p§4豪.2晚高斯銳消去猛法§4槳.2茂.4費高燥斯-駕約當(dāng)事法前面要所講扯的是怒如何描將一救個線駁性方蘿程組遣的系羽數(shù)矩敵陣改鋤變?yōu)橛恳粋€連上三造角矩剛陣，歇然后雅回代劍求解牧。本尋節(jié)所優(yōu)講的槍是如際何將系言數(shù)矩賞陣改臘變?yōu)橼呉粋€掃對角璃矩陣辟，即晌，除盼對角液線元增素外屢，其蹄他元城素均賀為零§4形.2仗高斯略消去伯法列主柳元高勇斯-約旦橡消元壤過程肺的遞猴推計雅算通摟式結(jié)將構(gòu)為方：高斯倍-約頑旦消夠去法稿消元剛過程漏的計環(huán)算量孝比高嬌斯消畝去法心有所揀增加隱（約屆為1府.3藏倍）法，但返是總萌的計津算量臨增加域并不摧大，涼另一鴨方面懷，這羊一方攀法的嗎程序鳥結(jié)構(gòu)節(jié)簡單打，所鋤以在線實際雜中得戒到了棕廣泛他的應(yīng)劣用。高斯-約旦揉消去混法的富程序韻框圖甚與通六用程循序自壞行設(shè)冶計。改進蘭后(4志.8題)(4循.7穗)§4筒.3響三角玩分解碰法線性摘方程扒組的疲另一捏直接肆解法花是三補角形同分解拾法，賞即方鏡程組牌（4叛-2陳）的界系數(shù)圾矩陣A分解屬成兩作個形收式簡螺單的進三角儉形矩乎陣L凝和U汽的乘賢積：A=登LU。從禾而求顛解Ax=b的問墳題轉(zhuǎn)胸化為晶三角典形方豪程組Lx=yUy擁=b其中(4致.9具)(4胞.1擋0)§4胖.3肥三角些分解在法比較肯等式梨左邊周和右扛邊乘犬積矩州陣LU的第r行主宴角元盲右邊拖（含戒主角腳元）據(jù)的對咱應(yīng)元紅素，弓得再比作較等崖式兩驕邊第r列主濃角元智以下疲（不估含主豬角元梁）的安對應(yīng)安元素移，得當(dāng)r=1六時，律有(4莫.1旋1)(4愛.1演2)(4服.1鴨3)(4烤.1是4)§4蟻.3店三角聯(lián)分解走法假定濕已求淹出U的第處1至霜第n按-1牽行和L的第牢1至屠第n微-1廣列，臉由（槐4-緩11周）式煮計算侮出U的第r行元透素和由發(fā)（4肺-1啄2）面式計哲算出L的第r列元揭素（4頸-1昏3）票式至工（4典-1劍6）息式所果表示績的矩恰陣分駱解稱海Do偵ol冒it句tl援e分驗解。類似敵地，運若U為單橋位上辨三角哄矩陣歉，而宴L為扯下三敢角矩礎(chǔ)陣，溫則有(4卸.1舅5)(4拒.1開6)(4恒.1耕7)§4昨.3勝三角剃分解恩法規(guī)定兇。揀稱上慨述分襲解為所Cr底ou濤t分年解。實現(xiàn)鞏了系界數(shù)矩吸陣A妥的D懼oo勢li倍tt丹le羞或C悟ro槍ut脅分解報后，樂方程奶組Ax遭=b可以靈分解悔成為Ly株=b和U樓x=仗b這泳兩個捕三角疲矩陣判來進躍行求靠解。設(shè)U為上底三角授矩陣商，而端L為弓單位蕉下三孤角矩戀陣，招并且旨，愧根據(jù)到公式曠（4盈-4王）和局（4閥-6?。┑米琅cD靜oo局li犬tt劍le誦分解醋相對湊應(yīng)的礦方程飛組解屢為(4桶.1蜘8)(4降.1洞9)§4蛾.3孩三角較分解光法類似且地，法與C番ro物ut搖分解舊相應(yīng)環(huán)的求露解公怒式(4研.2呆0)(4忘.2當(dāng)1)§4見.3圾三角使分解詢法無論此Do掏ol波it沸tl切e分另解還絹是C勾ro扮ut瀉分解舊，其屈運算栽量均秩小于線高斯跪消去解法。盞為保國證它筑們能腳順利躁、穩(wěn)仔定進澡行，兇也可練選列朋主元徐。用C貓ro娘ut肚分解地法求享解方數(shù)程組夕Ax耕=b擔(dān)的步考驟如鳴下：①用（己4-鄉(xiāng)豐17真）式智求lir;②確定啦最大厭列主卻元；③用（豆4-敵18這）式邀求uir,進行死分解賀；④回代封。通季用公暑式為(4放.2肯2)(4登.2瓦3)§4衰.3扶追趕掘法求解訊三對污角占獲優(yōu)方陰程組若作掃Cr枯ou眨t分槐解，捆則有§4兔.3裂追趕殿法比較剛Cr辰ou單t解泉，易濟知回代糠得婦。(4業(yè).2烤4)(4蜜.2筍5)§4洪.3惑追趕極法按照稅以上雪公式底求解Ax投=b的方雙法就須叫做屆追趕知法，坦其中ui、li和yi稱追轟，回工代稱越趕，膊乘菌除法岸運算趨量僅緒為5鄙n-慰4，枝遠(yuǎn)比僻一般趨方程橡組的眉高斯債消去嫁法或抄三角夕分解姻法的幻玉運算秋量少突。不挨用選特主元嫩，就泄可保圣證順伏利、吵穩(wěn)定蔑進行初計算成。§4晉.4曲舍入除誤差濕對解滲的影匹響本節(jié)跪研究偏線性旗代數(shù)晨方程中組解絲式的誤顛差。泰衡量截數(shù)的架誤差掙用絕拼對值碑。方棄程組略的解障是向國量，捏衡量偶其誤猴差，盜自然惡也會撥想到它絕對價值的巾概念據(jù)?！?廉.4呢.1感向絡(luò)量與齡矩陣壺范數(shù)眾所爺周知起，數(shù)國x的般絕對這值┃沿x┃友是x椅的函根數(shù):探┃哈x┃萍=φ(x欲),具有胞以下病三性創(chuàng)質(zhì)：（1喂）（2迅）對看任意顧實數(shù)（3秩）推廣羞到向樣量仇，具題有如碗下類柱似性寶質(zhì)的招函數(shù)蘆：。該撞函數(shù)桿成為硬向量純x賊的范賀數(shù)或見?；?qū)匍L度貸，它待也應(yīng)噴該具動有以貞下性陪質(zhì)：（1要）非霸負(fù)性（2貢）齊顧次性登：對維任意壯實數(shù)（3諷）三園角不雨等式久：§4循.4層舍入恭誤差暴對解找的影墊響幾何夢上三暈角不床等式閃表示奶：在衛(wèi)以向保量x主、y宏及其貢和x糖-y振構(gòu)成坑的三陳角形蛋中，鍋一邊針之長辨不超跌過另泰兩邊尊邊長唯之和游，即從而表示筑以x渣、y生和x墨-y冰為邊雙的三盆角形凈中，蜂一邊侍之長汽不小宿于另怠兩邊領(lǐng)邊長仗之差揪。常用坦向量叼范數(shù)漫有3云種，霸即：分別機稱為1范刑數(shù)、組2范胖?jǐn)?shù)和垃無窮燒大范黃數(shù)。不朋難驗盟證它本們具曲有性樣質(zhì)（釀1）檔和（洋2）跳。對交于性§4譜.4揀舍入杏誤差貞對解阿的影還響性質(zhì)堅（3油），懷這里宵已2析范數(shù)合為例望，給雜出證電明，狀以供數(shù)參考咳。最后饅不等常式稱靜Ca譜uc雖hy毅不等可式。心注意研對任敘意實秀數(shù)§4炮.4趁舍入及誤差竄對解材的影橫響由蒙二次柏式的拖判別輩式吸，便辛可推惕出C右au祖ch些y不寨等式千，因心而2領(lǐng)范數(shù)屬的性終質(zhì)（負(fù)3）鉗得證聾。對于暑n階脊方陣所，具欲有如下下4島種性無質(zhì)的廣函數(shù)教稱為歉矩陣格范數(shù)嗓。（1私）（2讓）對創(chuàng)任意責(zé)實數(shù)（3品）（4伸）容易澆驗證蓋矩陣養(yǎng)函數(shù)具有假上述縱4種遷性質(zhì)葬，因糕而，蛙它是脊一種促范數(shù)瞎，稱釀為矩始陣的F范汪數(shù)。常用聰矩陣夠范數(shù)渣是如經(jīng)下三傷種范暮數(shù)：§4腥.4弊舍入持誤差鉛對解菜的影觸響其中咬表回示矩廢陣蔽的典譜半低徑，暮即然特視征值演絕對突值的淹最大災(zāi)值?？兹N鎖范數(shù)劑分別腔稱為戰(zhàn)1范云數(shù)或鳥列范艱數(shù)，碰無窮竿大范瓜數(shù)或餐行范雁數(shù)，涉2范隆數(shù)或母譜范絞數(shù)?？梢载愖C明昌，矩在陣的頁這三忽種范由數(shù)還司具有鈴以下捐3種筒性質(zhì)：（藝滿足藍性質(zhì)犧（1泄）的庫矩陣悠范數(shù)督成為相容計范數(shù)）（1犯）（2廚）單牛位矩郵陣I梯的范冬數(shù)（3頑）世時幅可棕逆且(4憑.2排6)§4韻.4雀舍入傲誤差句對解改的影藍響例4眾-3設(shè)則§4測.4旬舍入怪誤差盟對解鹿的影號響它的蓋三個烏根為§4液.4數(shù).1有誤富差分鳴析設(shè)線堂性方身程組Ax勿=b中，A為非烘奇異罩矩陣獻，x為方扔程組腫的精成確解懂。假躲定b有誤螺差?b,則味解為x+醒?x,即§4域.4憤舍入堂誤差攪對解賢的影恨響即兩邊活取范奏數(shù)又因由（塊4-犧30稅）和撿（4衛(wèi)-3