大學(xué)一年級(jí)上微積分相關(guān)問題-P267全部習(xí)題

PAGE習(xí)題4.7(P267)1.細(xì)桿的線密度（單位為），其中為與桿左端的距離，桿長(zhǎng)，求細(xì)桿的質(zhì)量.解：，故()2.一根平放的彈簧，拉長(zhǎng)時(shí)，要用的力，求拉長(zhǎng)時(shí)克服彈性力所做的功.解：如圖選取坐標(biāo)系，將平衡位置設(shè)為原點(diǎn)，將彈簧拉長(zhǎng)時(shí)，彈性力為，由已知時(shí)，，故，所以，因?yàn)?，故所求功為（焦耳?.半徑為的半球形水池內(nèi)存滿水，求吸出池中全部水所做的功.解法1：如圖選取坐標(biāo)系，圖中半圓為半球體的截面，水的密度,半圓的方程為，將水池中位于中的水吸出所作的功的微元為（焦耳）解法2：如圖選取坐標(biāo)系，圖中半圓為半球體的截面，水的密度,設(shè)半球體的半徑為水池中位于的表面的水的面積為，表面距水面的距離為，故圖中薄片的體積為，因而將水池中位于的薄片的水吸出所作的功的微元為（焦耳）4.某加油站把汽油存放在地下一容器中，容器為水平放置的圓柱體.如果圓柱的底面半徑為，長(zhǎng)度為，并且最高點(diǎn)位于地面下方處，設(shè)容器裝滿了汽油，試求把容器中的汽油從容器中全部抽出所做的功(汽油的密度為).解：如圖選取坐標(biāo)系，圖中圓為圓柱體的截面，圓的方程為，將容器位于區(qū)間上的汽油抽出所作的功的微元（焦耳）5.有一等腰梯形閘門垂直立于水中，上底長(zhǎng)，下底長(zhǎng)，高，上底恰好在水面處，計(jì)算閘門所受的側(cè)壓力.解：如圖選取坐標(biāo)系，則位于第一象限的側(cè)邊方程為，閘門位于區(qū)間上的面積微元，側(cè)壓力微元為，故（牛頓）6.一長(zhǎng)的水槽一側(cè)面是豎直的矩形，另有一傾斜的矩形側(cè)面及兩個(gè)豎直的直角三角形端面，尺寸如圖4-39所示，如果水槽中裝滿水，試分別計(jì)算水作用于各側(cè)面及兩個(gè)端面上的側(cè)壓力.解：設(shè)豎直矩形側(cè)面所受側(cè)壓力為，由圖，其側(cè)壓力微元（牛頓）設(shè)每個(gè)三角形側(cè)面所受側(cè)壓力為，由圖，三角形斜邊的方程為，其側(cè)壓力微元（牛頓）設(shè)斜面所受側(cè)壓力為，由圖，三角形斜邊的方程為，則其側(cè)壓力微元（牛頓）7.長(zhǎng)為的直導(dǎo)線，均勻帶電，電荷線密度為（單位長(zhǎng)導(dǎo)線所帶的電荷），在導(dǎo)線的中垂線上與導(dǎo)線相距處有帶電量的點(diǎn)電荷，求：(1)它與導(dǎo)線間的作用力（計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)電荷、間的作用力可用庫侖定律）.(2)點(diǎn)電荷由點(diǎn)移到點(diǎn)所做的功.(3)點(diǎn)電荷由點(diǎn)到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處所做的功.解：如圖選取坐標(biāo)系，(1)在上任取區(qū)間，該小區(qū)間上的導(dǎo)線與點(diǎn)的作用力微元，它在垂直方向上的分力由于導(dǎo)線關(guān)于軸對(duì)稱，且導(dǎo)線帶電是均勻的，故導(dǎo)線在水平方向上的分力(2)由(1)得(3)8.在純電阻電路中，已知電流，其中、為常數(shù)，為時(shí)間，計(jì)算一個(gè)周期的功率的平均值（電阻值為時(shí)，瞬時(shí)功率）.解：9.一汽車以速度（單位為）行駛，若其速度的大小介于和之間，則它每消耗汽油可行駛，假設(shè)作為時(shí)間的