全等三角形經(jīng)典模型總結(jié)

全等三角形經(jīng)典模型總結(jié)

全等三角形相關(guān)模型總結(jié)一、角平分線模型(一)角平分線的性質(zhì)模型輔助線：過點(diǎn)G作GE⊥射線ACA、例題1、在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，求點(diǎn)D到直線AB的距離是多少？2、已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，證明：AP平分∠BAC。B、模型鞏固1、在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，證明：∠A＋∠C＝180°。(二)角平分線＋垂線，等腰三角形必呈現(xiàn)A、例題輔助線：延長ED交射線OB于F例1、在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分線，BE⊥AD于F，求證：BE＝(AC-AB)/2。例2、在△ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC于點(diǎn)D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延長線于M，求證：AM＝(AB＋AC)/2。(三)角分線，分兩邊，對稱全等要記全兩個圖形飛輔助線都是在射線ON上取點(diǎn)B，使OB＝OA，從而使△OAC≌△OBC。A、例題1、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ。2、在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，比較PB＋PC與AB＋AC的大小，并說明理由。B、模型鞏固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，P是線段AD上任意一點(diǎn)（不與A重合），證明：AB－AC＞PB－PC。2、在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分線交AC于D，求證：AD＋BD＝BC。3、在△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分線交BC于D，求證：AC＋CD＝AB。二、等腰直角三角形模型（一）旋轉(zhuǎn)中心為直角頂點(diǎn)，在斜邊上任取一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：（1）將△ABD逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ACM≌△ABD，從而推出△ADM為等腰直角三角形。（2）輔助線作法：過點(diǎn)C作MC⊥BC，使CM＝BD，連結(jié)AM。（二）旋轉(zhuǎn)中心為斜邊中點(diǎn)，動點(diǎn)在兩直角邊上滾動的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：連結(jié)AD。（1）使BF＝AE（或AF＝CE），導(dǎo)出△BDF≌△ADE。1、如圖，在等腰直角三角形ABC中，點(diǎn)M、N在斜邊BC上滑動，且∠MAN=45°，探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系。2、兩個全等的直角三角形ADE和ABC，其中ADE的兩個銳角分別為30°和60°，ABC的一個銳角為30°，按如圖所示放置，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME、MC。證明△EMC與ADE全等。1、已知如圖所示，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)，M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移動中保持AN=CM。（1）判斷△OMN的形狀，并證明。（2）當(dāng)M、N分別在線段AC、AB上移動時，四邊形AMON的面積如何變化？2、在正方形ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求∠BAE+∠DCF的度數(shù)和。（一）構(gòu)造等腰直角三角形利用勾股定理可以構(gòu)造等腰直角三角形。（四）將等腰直角三角形補(bǔ)全為正方形，如下圖所示：1、如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足PB=PC，AP=AC，證明∠BCP=15°。三、三垂直模型（弦圖模型）已知如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為AC中點(diǎn)，AF⊥BD于點(diǎn)E，交BC于F，連接DF。證明∠ADB=∠CDF。變式1、已知如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AM=CN，AF⊥BM于E，交BC于F，連接NF。證明：（1）∠AMB=∠CNF；（2）BM=AF+FN。變式2、在變式1的基礎(chǔ)上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長交于點(diǎn)P，證明：（1）PM=PN；（2）PB=PF+AF。四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均為等邊三角形，證明：（1）△ABF≌△AEC；（2）∠BOE=∠BAE=60°；（3）OA平分∠EOF（四點(diǎn)共圓證）。拓展：△ABC和△CDE均為等邊三角形，證明：（1）AD=BE；（2）∠ACB=∠AOB；（3）△PCQ為等邊三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP=BQ；（6）CO平分∠AOE（四點(diǎn)共圓證）。7.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可以得到OA=OB=OC，所以O(shè)A=OB+OC成立。同理，OE=OC+OD成立。8.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可以得到OE=OC=OD，所以O(shè)E=OC+OD成立。9.（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和等邊三角形的性質(zhì)，可以得到△AMB≌△ENB。（2）當(dāng)M為費(fèi)爾馬點(diǎn)時，可以得到∠AMB=∠BMC=∠CMA=120°。（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可以得到AM=AE=AF，所以M在CE、BF的垂線上，即M為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)。2.根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可以得到BE=BD=CD，所以BE=CD成立。同時，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可以得到BE⊥CD成立。3.根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以得到BD=BE=CF，所以BD=CF成立。同時，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可以得到BD⊥CF成立。變式1、根據(jù)直線中點(diǎn)定理和三角形面積公式，可以得到T為FD中點(diǎn)，同時根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得到SABC=SADF。變式2、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得到SABC=SATF，同時根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可以得到AS⊥BC成立。4.根據(jù)正多邊形的性質(zhì)，可以得到各個內(nèi)角的度數(shù)為180°*(n-2)/n，所以∠1=∠2=180°-360°/n成立。5.例1、根據(jù)三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可以得到（1）∠MAN=45°，（2）CMN=2AB，（3）AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM成立。1.我們來探究一下線段MN、BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系。2.我們要證明AB等于AH。3.在四邊形ABCD中，已知∠B＋∠D＝180°，AB＝AD。假設(shè)E、F分