三角形的三邊關(guān)系

一、三角形的有關(guān)概念1、定義：不在一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形注意三條線段必須①不在一條直線上，②首尾順次相接。abcabc如圖所示線段AB，BC，CA是三角形的邊。點A,B,C是三角形的頂點。是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。即：組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱角，相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點。頂點是A,B,C的三角形，記作△ABC。讀作“三角形ABC”?！鰽BC的三邊，有時也用a,b,c來表示。如圖所示。三角形ABC的頂點C所對的邊AB可用c表示,頂點B所對的邊AC可用b表示,頂點A所對的邊BC可用a表示.。三角形的分類我們知道，三角形按角可分為銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形，我們把銳角三角形、鈍角三角形統(tǒng)稱為斜三角形。直角三角形兩個銳角互余。斜三角形2、按邊分類。三邊都相等的三角形叫做等邊三角形；有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形。在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。顯然，等邊三角形是特殊的等腰三角形。即底邊和腰相等的等腰三角形。按邊分類:不等邊三角形等腰三角形三、三角形的三邊關(guān)系對任意一個△ABC，如果把其中任意兩個頂點（例如B，C）看成定點，由“兩點的所有連線中，線段最短“可得AB+AC＞BC①同理有AC+BC＞AB②AB+BC＞AC③由式子①②③我們可以知道三角形的任意兩邊之和大于第三邊.注釋：（1）三邊關(guān)系的性質(zhì)：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，三角形的三邊關(guān)系反應(yīng)了三角形邊得限制關(guān)系。（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形。當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍。（3）這里的“兩邊”指的是任意的兩邊，對于“兩邊之差”它可能是正數(shù)也可能是負(fù)數(shù)，一般取“差”的絕對值。（4）三角形的三邊關(guān)系是“兩點之間，線段最短”的具體應(yīng)用。已知兩邊求第三邊的取值范圍，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可知：四、三角形中三角的關(guān)系1、三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角的和等于1800。2判定一個三角形的形狀主要看三角形中最大角的度數(shù)。3、直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。3、任意一個三角形都具備六個元素，即三條邊和三個內(nèi)角。都具有三邊關(guān)系和三內(nèi)角之和為1800的性質(zhì)。4、三角形內(nèi)角和定理包含一個等式，它是我們列出有關(guān)角的方程的重要等量關(guān)系。例1.一個三角形，分別連接這個三角形三邊的中點得到圖2；再分別連接圖2中間小三角形的中點，得到圖3．（若三角形中含有其它三角形則不記入）

（1）圖2有_____個三角形；圖3中有_____個三角形（2）按上面方法繼續(xù)下去，第20個圖有____個三角形；第n個圖中有_____個三角形．（用n的代數(shù)式表示結(jié)論）1．如圖，老師讓同學(xué)們數(shù)一數(shù)圖中所標(biāo)字母構(gòu)成的三角形個數(shù)時下面4個學(xué)生回答正確的是A4個B6個C8個D10個2、如圖點B、C、D、E共線，試問圖中A、B、C、D、E五點可確定多少個三角形?說明理由．3、在直角△ABC中，∠BAC＝90°，如下圖所示．作BC邊上的高，圖中出現(xiàn)三個直角三角形（3＝2×1＋1）；又作△ABD中AB邊上的高，這時圖中便出現(xiàn)五個不同的直角三角形（5＝2×2＋1）；按照同樣的方法作、、……、．當(dāng)作出時，圖中共有多少個不同的直角三角形?例21△ABC的三邊a、b、c都是正整數(shù)且滿足a≤b≤c若b＝4，則這樣的三角形共（）個。A．4B．6C．8D．102.各邊長均為整數(shù)的不等邊三角形的周長小于13，這樣的三角形有（）A．1個B．2個C．3個D．4個3三角形中有一邊比第二條邊長3cm，這條邊又比第三條邊短4cm，這個三角形的周長為28cm，求最短邊的長。已知一個三角形的兩邊長分別是3cm和4cm，則第三邊長x的取值范圍是若x是奇數(shù)，則x的值是。這樣的三角形有個，若x是偶數(shù)，則x的值是。這樣的三角形又有個。周長的取值范圍是2．已知三角形三邊的長分別為：5、9、a－2，則a的取值范圍3．五條線段的長分別為1，2，3，4，5，以其中任意三條線段為邊長可以___個三角形．4．在△ABC中，AB＝4a，BC＝14，AC＝3a．則a的取值范圍是()A．a(chǎn)＞2B．2＜a＜14C．7＜a＜14D．a(chǎn)＜145．已知：a、b、c是△ABC三邊長，且M＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b－c)，那么()A．M＞0 B．M＝0C．M＜0 D．不能確定6．下列各題中給出的三條線段不能組成三角形的是A．a(chǎn)＋1，a＋2，a＋3（a＞0）B．三線段比為4∶6∶10C．3cm，8cm，10cmD．3a，5a，2a＋1（a＞0）7、ABCD是一個四邊形木框，為了使它保持穩(wěn)定的形狀，需在AC或BD上釘上一根木條，現(xiàn)量得AB=80㎝，BC=60㎝，CD=40㎝，AD=50㎝，試問所需的木條長度至少要多長？8、有一天小明對同學(xué)說：“我的步子大，一步能走三米（即兩腳著地時的間距有三米”。有的同學(xué)將信將疑，而小穎說：“小明，你在吹?！?。你覺得小穎的話有道理嗎？例3，已知a，b，c為△ABC的三邊，化簡：|a+b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|.1.a、b、c是三角形的三邊長,試判斷代數(shù)式(a-b-c)(a-b+c)的值與0的大小關(guān)系,并說明理由.三角形的高。（2）任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點。例7．AD是△ABC的邊BC上的中線，若△ABD的周長比△ACD的周長大5，求AB與AC的差.AC=3cm,BA=4cm,則△ACD與△BAD的周長相差多少？請說明理由1、在△ABC中,AB=AC,AD是中線,△ABC的周長為34cm,△ABD的周長為30cm,求AD的長、DCAB2、在△ABC中,AB=AC,AC邊上的中線BD把△ABC的周長分成15DCAB3、如圖1，在△ABC中，點D、E、F、分別為BC、AD、CE的中點，且S△ABC＝16，則S△DEF＝.4．如圖，△ABC中，點D、E、F分別在三邊上，E是AC的中點，AD、BE、CF交于一點G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，則△ABC的面積是.5、探索：如圖，(1)---(3)中△ABC的面積為a,(1)如圖1，延長△ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連結(jié)DA。若△ACD的面積為,則（2）如圖（2）延長△ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC,AE=CA,連結(jié)DE，若的面積為，則=___.(3)在圖（2）的基礎(chǔ)上延長AB到點F，使BF=AB，連結(jié)FD、FE得到△DEF（如圖3），若陰影部分面積為,則=_________.（用含a的代數(shù)式表示）應(yīng)用：去年在面積為10㎡的△ABC空地上栽種了某種花卉，今年準(zhǔn)備擴大種植規(guī)模，把△ABC向外進行兩次擴展，第一次有△ABC擴展成△DEF,第二次由△DEF擴展成△MGH（圖4），求這兩次擴展的區(qū)域（即陰影部分）面積共為多少平方米？6、如下圖．過點D作直線平分三角形面積7．一塊三角形優(yōu)良品種試驗田，現(xiàn)引進四個良種進行對比實驗，需將這塊土地分成面積相等的四塊．請你制訂出兩種以上的劃分方案．例8（1）如圖所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，試說明∠BOC＝90°＋∠A。（2）如圖所示，在△ABC中，BD、CD分別是∠ABC、∠ACB的外角平分線，試說明∠D＝90°－∠A。（3）如圖3.BD為△ABC的角平分線，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，且與BD交于點D試說明∠A＝2∠D。(4)：在問題（3）的條件下，當(dāng)∠等于多少度時，CD∥．1、如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點O。(1)若∠ABC=40，∠ACB=50°，則∠BOC=_______(2)若∠ABC+∠ACB=lO0°，則∠BOC=________。(3)若∠A=70°，則∠BOC=_________。(4)若∠BOC=140°，則∠A=________。(5)你能發(fā)現(xiàn)∠BOC與∠A之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎?請說明理由。2．如圖，，點C、D分別在射線OA、OB上，CE是的平分線，CE的反向延長線與的平分線交于點F．（1）當(dāng)（圖6），試求．（2）當(dāng)C、D在射線OA、OB上任意移動時（不與點O重合）（圖7），的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變化，求出．3.AD是△ABC中∠BAC的角平分線，MN垂直于AD分別交AB、AC于M、N兩點，MN交BC的延長線于P，求證：∠AMN＝（∠ACB＋∠B）4、如圖1，線段AB、CD相交于點O,連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N.試解答下列問題：(1)在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）在圖2中，若∠D=400,∠B=360，試求∠P的度數(shù)；5、（1）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A=38°，∠C=72°,則∠ADB=.（2）如圖，△ABC中，AD平分∠CAE，∠B=40°，∠DAE=80°,則∠ACD=______（3）如圖，△ABC中，BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，∠BOC=130°，則∠A=______6、如圖，是的邊上一點，過點作//交于點，作//交于點，若，則①是的角平分線嗎？（寫出證明過程）②若，你能求出四邊形的周長嗎？例9。1、如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,CD是AB邊上的高，AB＝13cm,BC=12cm,AC=5cm,小明說利用面積關(guān)系就能求出CD的長.請你幫他求出CD的長.2、在△ABC中已知∠ABC=66°∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交點，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度數(shù).如圖，△ABC中，高AD與CE的長分別為2㎝、4㎝。求AB與BC長度的比是多少？若AB=5cm，求BC。若AC邊上的高為3㎝AB=5cm你能求出△ABC的周長嗎？4、在中，已知三條高AD、BF、CE相交于點O，求的度數(shù)。1、如圖，在△ABC中：畫出∠C的平分線CD畫出BC邊上的中線AM畫出△ACM的邊MC上的高2、（1）如右圖，在中，為高的交點，若，，則（2）如右圖，在中，，的兩條高交于點，則______；（3）銳角中，是兩條高，相交于點，是兩條角平分線，相交于點，如果，則_________；BBAC3、如圖，是等邊三角形內(nèi)任意一點，，是邊上的高，試說明：。4、勤于思考的小聰，正在思考這樣的一個問題：三角形的三條高線、三條角平分線、三條中線都分別交于一點，哪種線的交點有時在三角形內(nèi)、有時在三角形外；哪種線的交點始終在三角形的內(nèi)部？你能解答小聰這個問題嗎？請你通過作圖來解答這個問題.(需指明什么樣的三角形)例10、已知在中，，是的一條角平分線。如圖①，于，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系（不用證明）；如圖②，是上一點，與，這時與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；如圖③，是線段延長線上一點，與，這時與又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論（不用證明）。1、.已知三角形ABC的三個內(nèi)角平分線交于點I，IH⊥BC于H，試比較∠CIH和∠BID的大小.2、如圖，AD為的中線，BE為中線，（1），求的度數(shù)；（2）在中作BD邊上的高；（3）若的面積為60，，求點E到BC邊的距離為多少？（1）如圖，在中，平分，于點，，，則____；（2）如圖，在中，，，是上的高，是的平分線，則_________；3.銳角△ABC中，BD和CE是兩條高，相交于點M，BF和CG是兩條角平分線，相交于點N，如果∠BMC=100°，求∠BNC的度數(shù).、ABABCDEFHG4、如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于G，交BE于H，求證：①S△ABE＝S△BCE②∠BHF＝45°③∠FAG＝2∠ACF5．.銳角△ABC中，BD和CE是兩條高，相交于點M，BF和CG是兩條角平分線，相交于點N，如果∠BMC=100°，求∠BNC的度數(shù).6、如圖,在△ABC中,AD⊥BC,CE是△ABC的角平分線,AD、CE交于F點.當(dāng)∠BAC=80°,∠B=40°時,求∠ACB、∠AEC、∠AFE的度數(shù).7、如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:(1)△AB