北京市石景山區(qū)第九中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

北京市石景山區(qū)第九中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若等比數(shù)列的前n項和，則r的值為（）A. B.C. D.2．把直線繞原點逆時針轉(zhuǎn)動，使它與圓相切，則直線轉(zhuǎn)動的最小正角度A. B.C. D.3．把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”的關(guān)系是（）A.既不互斥也不對立 B.互斥又對立C.互斥但不對立 D.對立4．雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A.1 B.2C. D.5．如圖所示，已知是橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，在軸上，，且是的中點，為坐標(biāo)原點，若點到直線的距離為3，則橢圓的方程為（）A B.C. D.6．已知雙曲線的兩個焦點為，，是此雙曲線上的一點，且滿足，，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.7．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線C：的左焦點為F，過F且與x軸垂直的直線與C交于A，B兩點，若是正三角形，則C的離心率為（）A. B.C. D.8．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)9．函數(shù)，則的值為（）A B.C. D.10．已知過點A（a，0）作曲線C：y＝x?ex的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B.（0，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）11．已知橢圓與橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.焦距相等 D.離心率相等12．為發(fā)揮我市“示范性高中”的輻射帶動作用，促進教育的均衡發(fā)展，共享優(yōu)質(zhì)教育資源．現(xiàn)分派我市“示范性高中”的5名教師到，，三所薄弱學(xué)校支教，開展送教下鄉(xiāng)活動，每所學(xué)校至少分派一人，其中教師甲不能到學(xué)校，則不同分派方案的種數(shù)是（）A.150 B.136C.124 D.100二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的一條漸近線的一個方向向量為，則______（寫出一個即可）14．已知雙曲線，（，）的左右焦點分別為，過的直線與圓相切，與雙曲線在第四象限交于一點，且有軸，則直線的斜率是___________，雙曲線的漸近線方程為___________.15．“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門APP，某市宣傳部門為了解全民利用“學(xué)習(xí)強國”了解國家動態(tài)的情況，從全市抽取2000名人員進行調(diào)查，統(tǒng)計他們每周利用“學(xué)習(xí)強國”的時長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖（1）根據(jù)上圖，求所有被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強國”的平均時長和中位數(shù)；（2）宣傳部為了了解大家利用“學(xué)習(xí)強國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從和組中抽取50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50入中選5人參加一個座談會,現(xiàn)從參加座談會的5人中隨機抽取兩人發(fā)言，求小組中至少有1人發(fā)言的概率？16．已知點，則線段的垂直平分線的一般式方程為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，是邊長為2的正三角形，底面為菱形，且平面平面，，為上一點，滿足.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面平面，E為的中點（1）若，證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值的取值范圍19．（12分）已知等比數(shù)列{}的各項均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，，數(shù)列{}的前n項和，且.（1）求{}和{}的通項公式；（2）設(shè)，記數(shù)列{}的前n項和為.求證：.20．（12分）已知是等差數(shù)列的前n項和，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和21．（12分）已知直線l過定點（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；（2）若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用成等比數(shù)列來求得.【詳解】依題意，等比數(shù)列的前n項和，，，所以.故選：B2、B【解析】根據(jù)直線過原點且與圓相切，求出直線的斜率，再數(shù)形結(jié)合計算最小旋轉(zhuǎn)角【詳解】解析：由題意，設(shè)切線為，∴.∴或.∴時轉(zhuǎn)動最小∴最小正角為.故選B.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題3、C【解析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義可得答案.【詳解】把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，所以它們的關(guān)系是互斥但不對立.故選：C.4、A【解析】分別求出雙曲線的焦點坐標(biāo)和漸近線方程，利用點到直線的距離公式求出結(jié)果【詳解】雙曲線中，焦點坐標(biāo)為漸近線方程為：∴雙曲線的焦點到漸近線的距離故選：A5、D【解析】由題設(shè)可得，直線的方程為，點線距離公式表示到直線的距離，又聯(lián)立解得即可得出答案.【詳解】且，則△是等邊三角形，設(shè)，則①，∴直線方程為，即，∴到直線的距離為②，又③，聯(lián)立①②③，解得，，故橢圓方程為.故選：D.6、A【解析】由，可得進一步求出，由此得到，則該雙曲線的方程可求【詳解】，即，則．即，則該雙曲線的方程是：故選：A【點睛】方法點睛：求圓錐曲線的方程，常用待定系數(shù)法，先定式（根據(jù)已知確定焦點所在的坐標(biāo)軸，設(shè)出曲線的方程），再定式（根據(jù)已知建立方程組解方程組得解）.7、A【解析】設(shè)雙曲線半焦距為c，求出，由給定的正三角形建立等量關(guān)系，結(jié)合計算作答.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c，則，而軸，由得，從而有，而是正三角形，即有，則，整理得，因此有，而，解得，所以C的離心率為.故選：A8、B【解析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號成立條件，再根據(jù)題設(shè)不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【詳解】由題設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故選：B.9、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B10、A【解析】設(shè)出切點，對函數(shù)求導(dǎo)得到切點處的斜率，由點斜式得到切線方程，化簡為，整理得到方程有兩個解即可，解出不等式即可.【詳解】設(shè)切點為，，，則切線方程為：，切線過點代入得：，，即方程有兩個解，則有或.故答案為:A.【點睛】這個題目考查了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的求法，以及過某一點的切線方程的求法，其中應(yīng)用到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，一般過某一點求切線方程的步驟為：一：設(shè)切點，求導(dǎo)并且表示在切點處的斜率；二：根據(jù)點斜式寫切點處的切線方程；三：將所過的點代入切線方程，求出切點坐標(biāo)；四：將切點代入切線方程，得到具體的表達式.11、C【解析】利用，可得且，即可得出結(jié)論【詳解】∵，且，橢圓與橢圓的關(guān)系是有相等的焦距故選：C12、D【解析】對甲所在組的人數(shù)分類討論即得解.【詳解】當(dāng)甲一個人去一個學(xué)校時，有種；當(dāng)甲所在的學(xué)校有兩個老師時，有種；當(dāng)甲所在的學(xué)校有三個老師時，有種；所以共有28+48+24=100種.故選：D【點睛】方法點睛：排列組合常用方法有：簡單問題直接法、小數(shù)問題列舉法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、等概率問題縮倍法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(答案不唯一)【解析】寫出雙曲線的漸近線方程，結(jié)合方向向量的定義求即可.【詳解】由題設(shè)，雙曲線的漸近線方程為，又是一條漸近線的一個方向向量，所以或或或，所以或.故答案為：(答案不唯一)14、①.②.【解析】由題意，不妨設(shè)直線與圓相切于點，由可得，代入雙曲線方程，可得，因此，即得解【詳解】如圖所示，不妨設(shè)直線與圓相切于點，，由于代入進入，可得，漸近線方程為故答案為：，15、（1）平均時長為，中位數(shù)為（2）在和兩組中分別抽取30人和20人，概率【解析】（1）由頻率分布直方圖計算平均數(shù)，中位數(shù)的公式即可求解；（2）先根據(jù)分層抽樣求出每一組抽取的人數(shù)，再列舉抽取總事件個數(shù)，從而利用古典概型概率計算公式即可求解【小問1詳解】解：（1）設(shè)被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強國”的平均時長為，中位數(shù)為，，被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強國”的時長中位數(shù)滿足，解得，即抽查人員利用“學(xué)習(xí)強國”的平均時長為6.8，中位數(shù)為【小問2詳解】解：組的人數(shù)為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，組的人數(shù)為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，則，解得，，所以在和兩組中分別抽取30人和20人，再利用分層抽樣從抽取的50入中抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，將組中被抽取的工作人員標(biāo)記為，，，將中的標(biāo)記為，，則抽取的情況如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10種情況，其中在中至少抽取1人有7種，故所求概率16、【解析】由中點坐標(biāo)公式和斜率公式可得的中點和直線斜率，由垂直關(guān)系可得垂直平分線的斜率，由點斜式可得直線方程，化為一般式即可【詳解】由中點坐標(biāo)公式可得，的中點為，可得直線的斜率為，由垂直關(guān)系可得其垂直平分線的斜率為，故可得所求直線的方程為：，化為一般式可得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)為中點，連接，根據(jù)，證明平面得到答案.（2）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算各點坐標(biāo)，計算平面和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）設(shè)為中點，連接，，∵，∴，又∵底面四邊形為菱形，，∴為等邊三角形，∴，又∴，，平面，∴平面，而平面，∴.（2）∵平面平面，平面平面，，∴平面以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，由，，，即，∴，，，設(shè)為平面的法向量，則由，令，得，，∴，設(shè)為平面的法向量，則由，令，得，，∴，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的的余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力，建立空間直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點F，連接．先證明，，即證平面，原題即得證；（2）分別取的中點G，H，連接，證明為直線與平面所成的角，設(shè)正方形的邊長為1，，在中，，即得解.【小問1詳解】解：取的中點F，連接因為，則為正三角形，所以因為平面平面，則平面因為平面，則．①因為四邊形為正方形，E為的中點，則，所以，從而，所以．②又平面,結(jié)合①②知，平面，所以【小問2詳解】解：分別取的中點G，H，則，又,，則，所以四邊形為平行四邊形，從而.因為，則因為平面平面，，則平面，從而，因為平面，所以平面，從而平面連接，則為直線與平面所成的角.設(shè)正方形的邊長為1，，則從而，.在中，因為當(dāng)時，單調(diào)遞增，則，所以直線與平面所成角的余弦值的取值范圍是.19、（1）（2）證明見解析【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，解得．由，利用通項公式解得，可得．由數(shù)列的前項和，且，時，，化簡整理即可得出；（2），利用裂項求和方法、數(shù)列的單調(diào)性即可證明結(jié)論【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，成等差數(shù)列，，即，化為：，解得，，即，解得，數(shù)列的前項和，且，時，，化為：，，數(shù)列是每項都為1的常數(shù)列，，化為【小問2詳解】證明：，數(shù)列的前項和為，20、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項、公差，由列出關(guān)于首項、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可知，利用裂項相消法可求數(shù)列的前n項和.小問1詳解】依題意：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則解得所以數(shù)列的通項公式為【小問2詳解】由（1）可知因為，所以，所以.21、（1）（2）或【解析】(1)求出直線的斜率可得l的斜率，再借助直線點斜式方程即可得解.(2)按直線l是否過原點分類討論計算作答.【小問1詳解】直線的斜率為，于是得直線l的斜率，則，即，所以直線l的方程是：.【小問2詳解】因直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則當(dāng)直線l過原點時，直線l的方程為：，即，當(dāng)直線l不過原點時，設(shè)其方程為：，則有，解得，此時，直線l的方程為：，所以直線l的方程為：或.22、（1）當(dāng)，在單調(diào)遞增；當(dāng)，在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.（2）0.【解析】（1）求得，對參數(shù)分類討論，即可由每種情況下的正負確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意求得，利用進行放縮，只需證即，再利用導(dǎo)數(shù)通過證明從而得到恒成立，則問題得解.【小問1詳解】以為，其定義域為，又，故當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，可得，且令，解得，令，解得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上