福建省泉州市泉港六中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

福建省泉州市泉港六中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列數(shù)列一定為等比數(shù)列的是（）A. B.C. D.3．2021年小林大學(xué)畢業(yè)后，9月1日開始工作，他決定給自己開一張儲蓄銀行卡，每月的10號存錢至該銀行卡（假設(shè)當天存錢次日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢數(shù)比上個月多一倍，則他這張銀行卡賬上存錢總額（不含銀行利息）首次達到1萬元的時間為（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日4．函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.6．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（）A. B.C.4 D.27．在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B.C. D.8．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件9．下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10．已知圓與直線至少有一個公共點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.11．已知點在拋物線：上，點為拋物線的焦點，，點P到y(tǒng)軸的距離為4，則拋物線C的方程為（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前6項的和為A.15 B.C.6 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則___________14．已知球面上的三點A，B，C滿足，，，球心到平面ABC的距離為，則球的表面積為______15．經(jīng)過點且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為_________16．已知，為橢圓C的焦點，點P在橢圓C上，，則的面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：（）的離心率為，并且經(jīng)過點，（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點關(guān)于坐標原點的對稱點為，點為橢圓C上任意一點，直線的斜率分別為，，求證：為定值18．（12分）已知橢圓C：的長軸長為4，離心率e是方程的一根（1）求橢圓C的方程；（2）已知O是坐標原點，斜率為k的直線l經(jīng)過點，已知直線l與橢圓C相交于點A，B，求面積的最大值19．（12分）已知橢圓：的一個焦點坐標為，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標原點，橢圓與直線相交于兩個不同的點A、B，線段AB的中點為M.若直線OM的斜率為-1，求線段AB的長；（3）如圖，設(shè)橢圓上一點R的橫坐標為1（R在第一象限），過R作兩條不重合直線分別與橢圓交于P、Q兩點、若直線PR與QR的傾斜角互補，求直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.20．（12分）已知函數(shù).（1）當時，證明：函數(shù)圖象恒在函數(shù)的圖象的下方；（2）討論方程的根的個數(shù).21．（12分）如圖，多面體中，平面平面，，四邊形為平行四邊形.（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)橢圓的標準方程求出，利用雙曲線，結(jié)合建立方程求出，，即可求出雙曲線的漸近線方程【詳解】橢圓的標準方程為，橢圓中的，雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，雙曲線中，雙曲線滿足，即又在雙曲線中，即，解得：，所以雙曲線的方程為，故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)橢圓和雙曲線的關(guān)系建立方程求出，，是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題2、A【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差是，即，顯然，且是常數(shù)，是等比數(shù)列，若中一個為1，則，則不是等比數(shù)列，只要，，都不可能是等比數(shù)列，如，，故選：A3、C【解析】分析可得每月所存錢數(shù)依次成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項和為，分析首次達到1萬元的值，即得解【詳解】依題意可知，小林從第一個月開始，每月所存錢數(shù)依次成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項和為.因為為增函數(shù)，且，所以第14個月的10號存完錢后，他這張銀行卡賬上存錢總額首次達到1萬元，即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢總額首次達到1萬元.故選：C4、A【解析】由得出函數(shù)是奇函數(shù)，再求得，，運用排除法可得選項.【詳解】法一：由函數(shù)，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以排除B；因為，所以排除D；因為，所以排除C，故選：A.【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.5、B【解析】求出，代值計算可得的值.【詳解】因為，則，故.故選：B.6、D【解析】切點與圓心的連線垂直于切線，切線長轉(zhuǎn)化為直線上點與圓心連線和半徑的關(guān)系，利用點到直線的距離公式求出圓心與直線上點距離的最小值，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)為直線上任意一點，，切線長的最小值為：，故選：D.7、C【解析】結(jié)合基本不等式的知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，時，為負數(shù)，A錯誤.對于B選項，，，，但不存在使成立，所以B錯誤.對于C選項，，當且僅當時等號成立，C正確.對于D選項，，，，但不存在使成立，所以D錯誤.故選：C8、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當且時，成立，反過來，當時，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.9、D【解析】通過舉反列即可得ABC錯誤，利用不等式性質(zhì)可判斷D【詳解】A.當時，，但，故A錯；B.當時，，故B錯；C.當時，，但，故C錯；D.若，則，D正確故選：D10、C【解析】利用點到直線距離公式求出圓心到直線的距離范圍，從而求出的取值范圍.【詳解】圓心到直線的距離，當且僅當時等號成立，故只需即可.故選：C11、D【解析】由拋物線定義可得，注意開口方向.詳解】設(shè)∵點P到y(tǒng)軸的距離是4∴∵，∴.得：.故選：D.12、C【解析】利用成等比數(shù)列,得到方程2a1+5d＝2，將其整體代入{an}前6項的和公式中即可求出結(jié)果【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，∴，1，成等差數(shù)列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{an}前6項的和為2a1+5d）=故選C【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，而，所以，，故填：.考點：導(dǎo)數(shù)14、【解析】由題意可知為直角三角形，求出外接圓的半徑，可求出球的半徑，然后求球的表面積.【詳解】由題意，，，，則，可知，所以外接圓的半徑為，因為球心到平面的距離為，所以球的半徑為：，所以球的表面積為：.故答案為：.15、【解析】由題意設(shè)所求雙曲線的方程為，∵點在雙曲線上，∴，∴所求的雙曲線方程為，即答案：16、##【解析】設(shè)，然后根據(jù)橢圓的定義和余弦定理列方程組可求出，再由三角形的面積公式可求得結(jié)果【詳解】由，得，則，設(shè)，則，在中，，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)題意可列出關(guān)于的三個方程，解出即可得到橢圓C的方程；（2）根據(jù)對稱可得點坐標，再根據(jù)斜率公式可得，然后由點為橢圓C上的點得，代入化簡即可求出為定值【小問1詳解】由題意解得，.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】因為點關(guān)于坐標原點的對稱點為，所以的坐標為.，，所以，又因為點為橢圓C上的點，所以.18、（1）；（2）.【解析】（1）待定系數(shù)法求橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，，，用“設(shè)而不求法”表示出三角形OAB的面積.令轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，利用函數(shù)求最值.【詳解】（1）依題意得：，∴.方程的根為或.∵橢圓的離心率，∴，∴∴∴橢圓方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，由，得，則，點到直線的距離為，.令，則..∵在單調(diào)遞增，∴時.有最小值3.此時有最大值.∴面積的最大值為.19、（1）；（2）；（3）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長半軸長a即可計算得解.(2)將代入橢圓的方程，再結(jié)合給定條件求出k值即可計算出AB的長.(3)設(shè)出直線PR的方程，再與橢圓的方程聯(lián)立求出點P坐標，同理可得點Q坐標，計算PQ的斜率即可作答.【小問1詳解】依題意，橢圓的半焦距c=1，而，解得，則，所以橢圓的方程是：.【小問2詳解】由消去y并整理得：，解得，，于是得線段AB的中點，直線OM斜率為，解得，因此，，所以線段AB的長為.【小問3詳解】由(1)知，點，依題意，設(shè)直線PR的斜率為，直線PR方程為：，由消去y并整理得，，設(shè)點，則有，顯然直線QR的斜率為-t，設(shè)點，同理有，于是得直線PQ的斜率，所以直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.【點睛】方法點睛：求橢圓的標準方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程②待定系數(shù)法：若焦點位置明確，則可設(shè)出橢圓的標準方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論.20、（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，并求出函數(shù)的最大值小于零，即，即可得證；（2）將方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與交點的問題，大致畫出函數(shù)的圖象，即可求解.【小問1詳解】設(shè)，其中，則，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，又∵，即時，，∴，∴在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方.【小問2詳解】由得，即，令，則，令，得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，∴在處取得最小值，∴，又∵當時，，當時，，有零點存在性定理可知函數(shù)有唯一的零點，∴的大致圖象如圖所示，∴當時，方程的根的個數(shù)為0；當或時，方程的根的個數(shù)為1；當時，方程的根的個數(shù)為2.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先通過平面平面得到，再結(jié)合，可得平面，進而可得結(jié)論；（2）取的中點，的中點，連接，，以點為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量以及平面的一個法向量，求這兩個法向量的夾角即可得結(jié)果.【詳解】解：（1）因為平面平面，交線為，又，所以平面，，又，，則平面，平面，所以，；（2）取的中點，的中點，連接，，則平面，平面；以點坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，已知，則，，，，，，則，，設(shè)平面的一個法向量，由得令，則，，即；平面的一個法向量為；.所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線線垂直的證明以及空間向量發(fā)求面面角，考查學(xué)生計算能力以及空間想象能力，是中檔題.22、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可