河北省遵化市2023年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

河北省遵化市2023年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線(xiàn)與圓相切，則實(shí)數(shù)等于（）A.或 B.或C.3或5 D.5或32．定義運(yùn)算：．已知，都是銳角，且，，則（）A. B.C. D.3．在四面體中，點(diǎn)G是的重心，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.4．設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）A.26 B.－7C.－10 D.－135．《九章算數(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第五節(jié)的容積為（）A.1升 B.升C.升 D.升6．已知直線(xiàn)，，若，則實(shí)數(shù)的值是（）A.0 B.2或-1C.0或-3 D.-37．一個(gè)幾何體的三視圖都是半徑為1的圓，在該幾何體內(nèi)放置一個(gè)高度為1的長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體積最大值為（）A. B.C. D.18．下列四個(gè)命題中，為真命題的是（）A.若a＞b，則ac2＞bc2B.若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣dC.若a＞|b|，則a2＞b2D.若a＞b，則9．函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.10．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體各棱及表面上運(yùn)動(dòng)且滿(mǎn)足，則點(diǎn)P軌跡圍成的圖形的面積為（）A. B.C. D.11．已知平面，的法向量分別為，，則（）A. B.C.，相交但不垂直 D.，的位置關(guān)系不確定12．過(guò)點(diǎn)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中.若成公比為的等比數(shù)列，則____________14．已知拋物線(xiàn)C：，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4，1）的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則______15．如圖所示四棱錐，底面ABCD為直角梯形，，，，，是底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），平面MBD，則點(diǎn)O軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)____________.16．圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)__________；半徑為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)是圓與軸的一個(gè)交點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)的方程;（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A、B，О為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.18．（12分）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線(xiàn)折起，使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)，正好形成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的包裝盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)（1）求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為多少時(shí)，包裝盒的容積最大？最大容積是多少？19．（12分）已知點(diǎn)A（1，2）在拋物線(xiàn)C∶上，過(guò)點(diǎn)A作兩條直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，E，直線(xiàn)AD，AE的斜率分別為kAD，kAE，若直線(xiàn)DE過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）求直線(xiàn)AD，AE的斜率之積.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：存在唯一的零點(diǎn)；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明，，；（2）若函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）設(shè)，分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，E的離心率為.短軸長(zhǎng)為2.（1）求橢圓E的方程：（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓E于A(yíng)，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)t，使得恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先求出圓的圓心和半徑，再利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑列方程可求得結(jié)果【詳解】由，得，則圓心為，半徑為2，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以，得，解得或，故選：C2、B【解析】，只需求出與的正、余弦值即可，用平方關(guān)系時(shí)注意角的范圍.【詳解】解：因?yàn)?，都是銳角，所以，，因?yàn)?，所以，即，，所以，，因?yàn)?，所有，故選：B.【點(diǎn)睛】信息給予題，已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)值，考查根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換求值，基礎(chǔ)題.3、B【解析】結(jié)合重心的知識(shí)以及空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】設(shè)是中點(diǎn)，.故選：B4、C【解析】直接利用等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式計(jì)算得到答案.【詳解】，，解得，故.故選：C.5、B【解析】設(shè)出竹子自上而下各節(jié)的容積且為等差數(shù)列，根據(jù)上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程，聯(lián)立即可求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)求出的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出第5節(jié)的容積【詳解】解：設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積分別為：，，，，且為等差數(shù)列，根據(jù)題意得：，，即①，②，②①得：，解得，把代入①得：，則故選：B【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題6、C【解析】由，結(jié)合兩直線(xiàn)一般式有列方程求解即可.【詳解】由知：,解得：或故選：C.7、B【解析】根據(jù)題意得到幾何體為半徑為1的球，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)為球的直徑時(shí)，長(zhǎng)方體體積最大，設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬，得到等量關(guān)系，利用基本不等式求解體積最大值.【詳解】由題意得：此幾何體為半徑為1的球，長(zhǎng)方體為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體時(shí)，體積最大，此時(shí)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)為球的直徑，設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)為，寬為，則由題意得：，解得：，而長(zhǎng)方體體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：B8、C【解析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合特殊值法依次判斷即可【詳解】當(dāng)c＝0時(shí)，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝1時(shí)，，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正確故選：C9、A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點(diǎn)的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則排除選項(xiàng)、,當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理可知在上存在一個(gè)零點(diǎn)，則排除，故選：.10、A【解析】構(gòu)造輔助線(xiàn)，找到點(diǎn)P軌跡圍成的圖形為長(zhǎng)方形，從而求出面積.【詳解】取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接BE，EF，AF，則由于為的中點(diǎn)，可得，所以∠CBE=∠ECN，從而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因?yàn)锽EEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以點(diǎn)P軌跡圍成的圖形為矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面積為.故選：A11、C【解析】利用向量法判斷平面與平面的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)槠矫?，的法向量分別為，，所以，即不垂直，則，不垂直，因?yàn)?，即即不平行，則，不平行，所以，相交但不垂直，故選：C12、A【解析】根據(jù)題意利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程即可.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，，即.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由條件可得，即，由余弦定理可得答案.【詳解】由成公比為的等比數(shù)列，即由正弦定理可知所以故答案為：14、9【解析】過(guò)A、、作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)且分別交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)、、，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，由梯形的中位線(xiàn)的性質(zhì)得出，進(jìn)而可求出的結(jié)果.【詳解】由拋物線(xiàn)，可知，則，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖，過(guò)點(diǎn)A作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于，由拋物線(xiàn)的定義可得，再根據(jù)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，而四邊形為梯形，由梯形的中位線(xiàn)可知，則，所以.故答案為：9.15、【解析】繪出如圖所示的輔助線(xiàn)，然后通過(guò)平面平面得出點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段，最后通過(guò)求出、的長(zhǎng)度即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使且，連接，取上點(diǎn)，使得，作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)?，又，所以，，因?yàn)?，，，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，面，所以點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，，所以，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪危裕?，，，故答案為?16、①.②.【解析】配方后可得圓心坐標(biāo)和半徑【詳解】將圓的一般方程化為圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心坐標(biāo)為，半徑為故答案為：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由圓與軸的交點(diǎn)分別為，可得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，從而即可求解；（2）設(shè)直線(xiàn)為，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，由韋達(dá)定理及，求出即可得證.【小問(wèn)1詳解】解：由題意知，圓與軸的交點(diǎn)分別為，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為；【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)直線(xiàn)為，聯(lián)立方程，有，所以，所以，所以.18、（1），定義域?yàn)?；?）當(dāng)時(shí)，包裝盒的容積最大是.【解析】（1）設(shè)出包裝盒的高和底面邊長(zhǎng)，利用長(zhǎng)方體的表面積得到等量關(guān)系，再利用長(zhǎng)方體的體積公式求出表達(dá)式，再利用實(shí)際意義得到函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變化得到函數(shù)的極值，即最值.小問(wèn)1詳解】解：設(shè)包裝盒的高為，底面邊長(zhǎng)為，則，，所以=其定義域?yàn)?；【小?wèn)2詳解】解：由（1）得：，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，即當(dāng)時(shí)，包裝盒的容積最大是19、（1）（2）【解析】（1）代入點(diǎn)即可求得拋物線(xiàn)方程；（2）聯(lián)立方程后利用韋達(dá)定理求出，，，，然后代入即可求得斜率的積.【小問(wèn)1詳解】解：點(diǎn)A（1，2）在拋物線(xiàn)C∶上故【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)方程為：聯(lián)立方程，整理得：由題意及韋達(dá)定理可得：，20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得到，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，可證得命題成立；（2）當(dāng)且時(shí)，不滿(mǎn)足題意，故，又定義域?yàn)椋v不等式化簡(jiǎn)，參變分離后構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性并求出最值，可得實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；.且，故存在唯一的零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足恒成立，故由定義域?yàn)椋傻?，令，則，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值（1），故實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查不等式的恒成立問(wèn)題，關(guān)于恒成立問(wèn)題的幾種常見(jiàn)解法總結(jié)如下：

參變分離法，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化函數(shù)求最值問(wèn)題；

主元變換法，把已知取值范圍的變量作為主元，把求取值范圍的變量看作參數(shù)；

分類(lèi)討論，利用函數(shù)的性質(zhì)討論參數(shù)，分別判斷單調(diào)性求出最值；

數(shù)形結(jié)合法，將不等式兩端的式子分別看成兩個(gè)函數(shù)，作出函數(shù)圖象，列出參數(shù)的不等式求解21、（1）證明見(jiàn)解析：（2）【解析】(1)代入,求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性,再的最小值即可證明.(2),若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),則在上有根.再分,與,利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)即可.【詳解】(1)證明：當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),,則,又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,僅時(shí),,所以在上是單調(diào)遞減,所以,即.(2),因?yàn)?所以,①當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增,沒(méi)有極值點(diǎn).②當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,因?yàn)?當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,沒(méi)有極值點(diǎn).當(dāng)時(shí),,所以存在,使當(dāng)時(shí),時(shí),所以在處取得極小值,為極小值點(diǎn).綜上可知,若函數(shù)在上存在極值點(diǎn),則實(shí)數(shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值,進(jìn)而證明不等式的方法.同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)極值點(diǎn)的問(wèn)題,需要結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解.屬于難題.22、（1）（2）存在，【解析】(1)由條件列出，，的方程，解方程求出，，，由此可得橢圓E的方程：(2)當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)的方程與橢圓方程化簡(jiǎn)可得，設(shè)，，可得，，由此證明，再證明當(dāng)