人教版數(shù)學八年級下冊期末復習知識串講+專題訓練專題01二次根式（原卷版）

專題01二次根式一．二次根式的定義（共3小題）二．二次根式有意義的條件（共3小題）三．二次根式的性質(zhì)與化簡（共4小題）四．最簡二次根式（共1小題）五．二次根式的乘除法（共14小題）六．分母有理化（共6小題）七．同類二次根式（共3小題）八．二次根式的加減法（共5小題）九．二次根式的混合運算（共3小題）十．二次根式的化簡求值（共4小題）十一．二次根式的應用（共7小題）知識點一、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；

（2）；

（3）.要點詮釋：（1）一個非負數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.（4）與的異同不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負數(shù)；=，=（）.相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當取非負數(shù)時，=.3.最簡二次根式1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.要點詮釋：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.要點詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.知識點二、二次根式的運算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡公式：要點詮釋：（1）當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點詮釋：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.一．二次根式的定義（共3小題）1．（2022春?重慶期中）下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．2．（2022春?西華縣期中）定義：若兩個二次根式a，b滿足ab＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的共軛（è）二次根式．問題解決：（1）若a與2是關(guān)于6的共軛二次根式，則a＝；（2）若4+與8﹣m是關(guān)于26的共軛二次根式，求m的值．3．（2022春?堯都區(qū)期中）已知是一個正整數(shù)，則正整數(shù)a的最小值為（）A．0 B．6 C．3 D．2二．二次根式有意義的條件（共3小題）4．（2022春?同安區(qū)期中）若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜25．（2020春?河口區(qū)校級期中）如果y＝，則2x+y的值是．6．（2021春?安寧市校級期中）若x，y是實數(shù)，且y＝++3，求3的值．三．二次根式的性質(zhì)與化簡（共4小題）7．（2022春?威海期中）化簡二次根式的結(jié)果為（）A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a8．（2022春?西工區(qū)期中）若，則（）A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤39．（2022春?武昌區(qū)校級期中）已知≈1.414，則的近似值為（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）．10．（2022春?黃梅縣期中）小明做數(shù)學題時，發(fā)現(xiàn)＝；＝；＝；＝；…；按此規(guī)律，若＝（a，b為正整數(shù)），則a+b＝．四．最簡二次根式（共1小題）11．（2022春?東莞市校級期中）下列各式中是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．五．二次根式的乘除法（共14小題）12．（2022春?藤縣期中）計算所得的結(jié)果是（）A．2 B．3 C． D．13．（2022春?沂水縣期中）計算的結(jié)果是（）A． B． C． D．14．（2022春?新市區(qū)校級期中）使有意義的x的取值范圍是．15．（2021春?澠池縣期中）計算×的結(jié)果是．16．（2022春?鏡湖區(qū)校級期中）化簡：．17．（2022春?環(huán)江縣期中）計算：．18．（2022春?禹州市期中）已知實數(shù)x，y，a，b滿足+＝×．求a+b的值及7x﹣y2023的值．19．（2022春?堯都區(qū)期中）若?＝，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥2 B．a(chǎn)≥﹣2 C．a(chǎn)≥24 D．2≥a≥﹣220．（2022春?牟平區(qū)期中）若成立，則m的值可以是（）A．﹣4 B．2 C．4 D．521．（2022春?昭平縣期中）已知．（1）求a+b的值；（2）求2x+y2021的值．22．（2022春?五華縣期中）探究過程：觀察下列各式及其驗證過程．（1）；（2）．驗證：（1）＝；（2）＝．①按照上面兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想：＝；＝；②通過上述探究你能猜測出：＝（n＞0），并驗證你的結(jié)論．23．（2022春?西城區(qū)校級期中）在解決數(shù)學問題時，我們一般先仔細閱讀題干，找出有用信息作為已知條件，然后利用這些信息解決問題，但是有的題目信息比較明顯，我們把這樣的信息成為顯性條件；而有的信息不太明顯需要結(jié)合圖形，特殊式子成立的條件，實際問題等發(fā)現(xiàn)隱含信息作為條件，我們把這樣的條件稱為隱含條件；所以我們在做題時，要注意發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件．【閱讀理解】閱讀下面的解題過程，體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題．化簡：（）2﹣|1﹣x|解：隱含條件1﹣3x≥0，解得：x≤∴1﹣x＞0∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x【啟發(fā)應用】（1）按照上面的解法，試化簡：﹣（）2；【類比遷移】（2）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡+﹣|b﹣a|．24．（2022春?福清市期中）已知，，c＝2021×2020﹣2019×2021，則（a﹣b）（b﹣c）的值（）A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．無法確定25．（2022春?渝水區(qū)校級期中）已知：，．求下列各式的值．（1）xy；（2）x2﹣xy+y2．六．分母有理化（共6小題）26．（2022春?興寧區(qū)校級期中）計算：（1﹣π）0+（）﹣1﹣÷×．27．（2022春?香河縣期中）若M，N分別代表兩個多項式，且M+N＝2a2，M﹣N＝2ab．（1）求多項式M和N．（2）當a＝+1，b＝﹣1時，求分式的值．28．（2022春?贊皇縣期中）在進行二次根式簡化時，我們有時會碰上如，，一樣的式子，其實我們還可將其進一步簡化：＝；（一）＝＝；（二）＝＝＝；（三）以上這種化簡的步驟叫做分母有理化還可以用以下方法化簡：＝＝＝；（四）（1）化簡＝＝（2）請用不同的方法化簡．①參照（三）式得＝②步驟（四）式得＝（3）化簡：+++…+．29．（2022春?海淀區(qū)校級期中）我們規(guī)定用（a，b）表示一對數(shù)對，給出如下定義：記m＝，n＝（其中a＞0，b＞0），將（m，n）與（n，m）稱為數(shù)對（a，b）的一對“和諧數(shù)對”．例如：（4，1）的一對“和諧數(shù)對”為（，1）和（1，）．（1）數(shù)對（16，5）的一對“和諧數(shù)對”是；（2）若數(shù)對（3，m）的一對“和諧數(shù)對”相同，則m的值為；（3）若數(shù)對（x，y）的一個“和諧數(shù)對”是（，1），則xy的值為．30．（2022春?懷仁市期中）閱讀下列材料，然后解答問題：在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如：，，一樣的式子．其實我們還可以將其進一步化簡：＝＝：（一）＝＝：（二）＝＝＝：（三）以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：＝＝＝＝．（四）請解答下列問題：（1）請用不同的方法化簡．①參照（三）式得＝；②參照（四）式得＝；（2）化簡：++；（保留過程）（3）猜想：+++…+的值．（直接寫出結(jié)論）31．（2022春?蕪湖期中）【閱讀材料】對于一些特殊類型的根式，我們有一些常用的化簡計算方法．如：，這是利用平方差公式進行化簡運算的思路．除此之外，我們還可以用“平方之后再開方”的方式來化簡，即運用性質(zhì)＝|a|．如：對于，設．由，可知x＞0．由，解得．即．【學以致用】請你根據(jù)以上介紹的方法，化簡．七．同類二次根式（共3小題）32．（2019春?西陵區(qū)校級期中）下列二次根式中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．33．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）下列二次根式能與合并的是（）A． B． C． D．34．（2022春?東莞市期中）若最簡根式與是同類二次根式，則m＝．八．二次根式的加減法（共5小題）35．（2022春?沂源縣期中）如果與的和等于3，那么a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．336．（2016春?臨滄校級期中）＝．37．（2022春?吉林期中）計算：．38．（2022春?定南縣期中）計算：．39．（2022春?賀州期中）計算：+2．九．二次根式的混合運算（共3小題）40．（2022春?福山區(qū)期中）計算（1）；（2）．41．（2022春?柘城縣期中）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方．如3+2＝（1+）2.善于思考的小明進行了以下探索：設a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n均為整數(shù)），則有a+b＝m2+2n2+2mn．故a＝m2+2n2，b＝2mn，這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當a，b，m，n均為正整數(shù)時，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝，b＝；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：+＝（+）2；（3）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．42．（2022春?平輿縣期中）在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如，，一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：；；﹣1．以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．（1）化簡：＝；＝．（2）填空：的倒數(shù)為．（3）化簡：．一十．二次根式的化簡求值（共4小題）43．（2022春?贊皇縣期中）先化簡，再求值：a+，其中a＝2020．如圖是小亮和小芳的解答過程．（1）的解法是錯誤的；錯誤的原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)：；（2）先化簡，再求值：a+2，其中a＝﹣2．44．（2022春?荔灣區(qū)校級期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求代數(shù)式x2﹣xy+y2的值．45．（2022春?堯都區(qū)期中）（1）；（2）下面是小明同學對于題目“化簡并求值：2a+，其中a＝1“的解答過程，請認真閱讀并完成相應任務．解：原式＝2a+……………第一步＝2a+a﹣3…………第二步＝3a﹣3．……第三步把a＝1代入得，原式＝3a﹣3＝0．……………第四步任務一：填空：第步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤原因是；任務二：請直接寫出代數(shù)式正確的值．46．（2021春?梁子湖區(qū)期中）已知a＝，求﹣的值．一十一．二次根式的應用（共7小題）47．（2022春?豐都縣期中）如圖，長和寬分別是a，b的長方形紙片的四個角都剪去一個邊長為x的正方形．（1）用含a，b，x的代數(shù)式表示紙片剩余部分的面積；（2）當a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面積．48．（2022春?思明區(qū)校級期中）計算：（1）+×；（2）（﹣）2；（3）設長方形的面積為S，相鄰兩邊長分別是a，b，已知S＝4，a＝，求b．49．（2022春?磁縣期中）如圖，正方形ABCD的面積為8，正方形ECFG的面積為32．（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的邊長；（2）求陰影部分的面積．50．（2022春?清豐縣期中）閱讀材料：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么這個三角形的面積為．這個公式叫“海倫公式”，它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式，中國秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個公式又被稱為“海倫﹣秦九韶公式”．解答下列問題：如圖，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．（1）△ABC的面積；（2）過點A作AD⊥BC，垂足為D，求線段AD的長．51．（2022春?巴東縣期中）秦九韶（1208年﹣1268年），字道古，漢族，生于普州安岳（今四川省安岳縣）人，祖籍魯郡（今河南范縣）．南宋著名數(shù)學家，與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學四大家．他精研星象、音律、算術(shù)、詩詞、弓劍、營造之學，是一位既重視理論又重視實踐，既善于繼承又勇于創(chuàng)新的世界著名數(shù)學家．他所提出的大衍求一術(shù)（中國剩余定理）和正負開方術(shù)及其名著《數(shù)書九章》，是中國數(shù)學史、乃至世界數(shù)學史上光彩奪目的一頁，對后世數(shù)學發(fā)展產(chǎn)生了廣泛的影響．他寫的《數(shù)書九章》序堪稱一篇奇文．秦九韶的數(shù)學成果豐碩，其中關(guān)于三角形的面積公式與古希臘幾何學家海倫的成果統(tǒng)稱海倫﹣秦九韶公式．如果一個三角形的三邊長分別是a、b、c，記p＝，那么三角形的面積為：s＝．（1）在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，請用上面的公式計算△ABC的面積．（2）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足為D，∠ABC的平分線交AD于點E．求BE的長．52．（2022春?長葛市期中）在《九章算術(shù)》中有求三角形面積的公式“底乘高的一半”，但是在實際丈量土地面積時，準確測量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三條邊長來求面積．我國南宋著名的數(shù)學家秦九韶（約1202～約1261）提出了“三斜求積術(shù)”，簡稱秦九韶公式．古希臘的幾何學家海倫（Heron，約公元50年）在數(shù)學史上以解決幾何測量問題而聞名．在他的著作《度量》一書中，給出了利用三角形三邊長求面積的方法和證明，相傳這個公式最早是由古希臘數(shù)學家阿基米德（公元前287年—公元前212年）得出的．在我國稱這個公式為海倫—秦九韶公式．它的表述為：如果一個三角形三邊長分別為a、b、c，那么三角形的面積為．（公式里的p為半周長，即）請利用海倫——秦九韶公式解決以下問題：（1）三邊長分別為3、6、7的三角形面積為．（2）四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，求該四邊形的面積．53．（2022春?陽東區(qū)期中）已知一個矩形相鄰的兩邊長分別為a，b，且a＝，b＝．（1）求此矩形的周長；（2）求此矩形的面積；（3）求與此矩形面積相等的正方形的對角線的長．一、單選題1．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級?？计谥校┫铝卸胃街校亲詈喍胃降氖牵?/p>

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級?？计谥校┫铝懈魇街?，運算正確的是()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級?？计谥校┤羰阶覵KIPIF1<0在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜34．（2022秋·山西運城·八年級統(tǒng)考期中）下列計算正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022秋·江西九江·八年級統(tǒng)考期中）二次根式SKIPIF1<0中a的最小值為（

）A．0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．26．（2022春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期中）SKIPIF1<0的倒數(shù)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022春·福建龍巖·八年級?？计谥校┫铝羞\算中正確的是()A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022春·福建龍巖·八年級?？计谥校┫铝懈鞔鷶?shù)式中，是二次根式的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．a(chǎn)2 D．SKIPIF1<0二、填空題9．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級校考期中）若SKIPIF1<02﹣x，則x的取值范圍是_____．10．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級校考期中）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：SKIPIF1<0＝______．11．（2022秋·江西九江·八年級統(tǒng)考期中）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是最簡二次根式，請寫出一個符合條件的正整數(shù)n：_______．12．（2022春·福建龍巖·八年級?？计谥校KIPIF1<0化為最簡根式是_____．13．（2022春·浙江杭州·八年級?？计谥校┮阎猄KIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的值等于_____．14．（2022春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）設SKIPIF1<0，求不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)SKIPIF1<0______．三、解答題15．（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級?？计谥校┯嬎悖?）SKIPIF1<0；

（2）SKIPIF1<0．16．（2022秋·陜西西安·八年級?？计谥校┯嬎悖篠KIPIF1<017．（2022秋·江西九江·八年級統(tǒng)考期中）計算：(1)SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0．18．（2022春·湖南永州·八年級?？计谥校┮阎cSKIPIF1<0在第二象限，化簡SKIPIF1<019．（2022秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若化簡后的積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0等都是互為有理化因式．進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．請回答下列問題：(1)化簡：SKIPIF1<0___________；(2)比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系；(3)計算：SKIPIF1<0．20．（2022秋·河北石家莊·八年級?？计谥校╅喿x材料，回答問題：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互為有理化因式．進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．(1)SKIPIF1<0的有理化因式是________；化簡：SKIPIF1<0________；(2)化簡：SKIPIF1<0(3)拓展應用：已知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試比較a，b，c的大小，并說明理由．21．（2022秋·河北石家莊·八年級?？计谥校╅喿x材料已知下面一列等式：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)請用含SKIPIF1<0的等式表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律___________________；(2)證明一下你寫的等式成立；(3)利用等式計算：SKIPIF1<0；(4)計算：SKIPIF1<0