河南省信陽市第一高級(jí)中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

河南省信陽市第一高級(jí)中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至起，接下來依次是小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種共十二個(gè)節(jié)氣，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，其中大寒、驚蟄、谷雨三個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)之和為25.5尺，且前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為85.5尺，則立春的日影長(zhǎng)為（）A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺2．已知拋物線=的焦點(diǎn)為F，M、N是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（）A.8 B.4C. D.93．雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第7項(xiàng)為（）A.101 B.99C.95 D.915．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.20 B.18C.16 D.96．如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為、，其中，.如果這時(shí)氣球的高度，則河流的寬度BC為（）A. B.C. D.7．若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為，如.如圖所示的程序框圖的算法源于我國(guó)古代聞名中外的“中國(guó)剩余定理”.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.168．已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有成立，則不等式的解集是（）A. B.C. D.9．已知F是拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為（）A. B.C.1 D.10．函數(shù)的部分圖像為（）A. B.C. D.11．已知是邊長(zhǎng)為6的等邊所在平面外一點(diǎn)，，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（）A. B.C. D.12．曲線與曲線（）的（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等C.離心率相等 D.焦距相等二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若恒成立，則______.14．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線上一點(diǎn)，且，則的值為________15．已知函數(shù)，若過點(diǎn)存在三條直線與曲線相切，則的取值范圍為___________16．若復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)（），則|z|=_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上.（1）求圓的方程;（2）過原點(diǎn)的直線與圓交于M，N兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.18．（12分）閱讀本題后面有待完善的問題，在下列三個(gè)條件：①，②，③中選擇一個(gè)作為條件，補(bǔ)充在題中橫線處，使問題完善，并解答你構(gòu)造的問題.（如果選擇多個(gè)關(guān)系并分別解答，在不出現(xiàn)邏輯混亂的情況下，按照第一個(gè)解答給分）.問題：已知命題，，命題___________，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）過定點(diǎn)的直線l交動(dòng)點(diǎn)P的軌跡于不同的兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為，求證直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，且，，分別為，的中點(diǎn)（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）點(diǎn)在棱上，且，證明：平面21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，，，對(duì)任意的正數(shù)，都有成立？若存在，求出，，的所有值；若不存在，請(qǐng)說明理由.22．（10分）奮發(fā)學(xué)習(xí)小組共有3名學(xué)生，在某次探究活動(dòng)中，他們每人上交了1份作業(yè)，現(xiàn)各自從這3份作業(yè)中隨機(jī)地取出了一份作業(yè).（1）每個(gè)學(xué)生恰好取到自己作業(yè)的概率是多少？（2）每個(gè)學(xué)生不都取到自己作業(yè)的概率是多少？（3）每個(gè)學(xué)生取到的都不是自己作業(yè)的概率是多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，公差為，根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)和公差，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，公差為，則，前9項(xiàng)之和，即，解得，所以立春的日影長(zhǎng)為.故選：B.2、B【解析】過分別作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，則由拋物線的定義可得，再過MN的中點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，然后利用梯形的中位線定理可求得結(jié)果【詳解】拋物線=的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為直線如圖，過分別作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過MN的中點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，則由拋物線的定義可得，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭翘菪蔚闹形痪€，所以，所以線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4，故選：B3、A【解析】直接求出，，進(jìn)而求出漸近線方程.【詳解】中，，，所以漸近線方程為，故.故選：A4、C【解析】根據(jù)所給數(shù)列找到規(guī)律：兩次后項(xiàng)減前項(xiàng)所得數(shù)列為公差為2的數(shù)列，進(jìn)而反向確定原數(shù)列的第7項(xiàng).【詳解】根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，即得到了一個(gè)等差數(shù)列，如圖：故選：C.5、B【解析】根據(jù)橢圓的定義求解【詳解】由橢圓方程知，所以，故選：B6、D【解析】由題意得，，，然后在和求出，從而可求出的值【詳解】如圖，由題意得，，，在中，，在中，，所以，故選：D7、C【解析】根據(jù)“中國(guó)剩余定理”，進(jìn)而依次執(zhí)行循環(huán)體，最后求得答案.【詳解】由題意，第一步：，余數(shù)不為1；第二步：，余數(shù)不為1；第三步：，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個(gè)判斷框，余數(shù)不為2；第四步：，執(zhí)行第一個(gè)判斷框，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個(gè)判斷框，余數(shù)為2.輸出的i值為13.故選：C.8、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，分析該函數(shù)的定義域與奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，從而可知該函數(shù)在上為減函數(shù)，綜合可得出原不等式的解集.【詳解】令，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，由等價(jià)于或：當(dāng)時(shí)，由可得；當(dāng)時(shí)，由可得.綜上所述，不等式的解集為.故選：A.9、B【解析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出，的中點(diǎn)縱坐標(biāo)，求出線段的中點(diǎn)到軸的距離【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程，設(shè)，，，解得，線段的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)到軸的距離為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查解決拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，屬于基礎(chǔ)題10、D【解析】先判斷奇偶性排除C，再利用排除B，求導(dǎo)判斷單調(diào)性可排除A.【詳解】因?yàn)?，所以為偶函?shù)，排除C；因?yàn)?，排除B；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，排除A.故選：D11、C【解析】由題意分析可得，當(dāng)時(shí)三棱錐的體積最大，然后作圖，將三棱錐還原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半徑的計(jì)算方法來計(jì)算，即可計(jì)算出球半徑，從而完成求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)是時(shí)，為正三角形，如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成正三棱柱，該正三棱柱的外接球就是三棱錐的外接球，而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)上，設(shè)外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為，由正弦定理可得：，所以，，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C.12、D【解析】分別求出兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦距，即可判斷.【詳解】曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為，焦距為；曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為，焦距為.對(duì)照選項(xiàng)可知：焦距相等.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究的最小值為，再構(gòu)造研究其最值，即可確定參數(shù)a的值.【詳解】令，則且，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；所以，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減；所以，綜上，.故答案為：114、2【解析】求得雙曲線的a，b，c，不妨設(shè)P為雙曲線右支上的點(diǎn)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，利用雙曲線的定義、余弦定理列出方程組，求出mn即可.【詳解】雙曲線的a＝2，b＝1，c＝，不妨設(shè)P為雙曲線右支上的點(diǎn)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，則，①由余弦定理可得，②聯(lián)立①②可得故答案為：215、【解析】設(shè)過M的切線切點(diǎn)為，求出切線方程，參變分離得，令，則原問題等價(jià)于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究g(x)的圖像即可求出m的范圍【詳解】，設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得，，令，則過點(diǎn)存在三條直線與曲線相切等價(jià)于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個(gè)交點(diǎn)∵，故當(dāng)x<0或x>1時(shí)，，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<1時(shí)，，g(x)單調(diào)遞減，又，，∴g(x)如圖，∴-2<-m-2<0，即故答案為：﹒16、【解析】利用復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)求出a，即可求出|z|.【詳解】z=.由純虛數(shù)的定義知，，解得.所以.故|z|=.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）直線的方程為或或【解析】（1）由弦的中垂線與直線的交點(diǎn)為圓心即可求解；（2）由，可得或，進(jìn)而有或，顯然直線斜率存在，設(shè)直線，由點(diǎn)到直線的距離公式求出的值即可得答案.【小問1詳解】解：設(shè)弦的中點(diǎn)為，則有，因?yàn)?，所以直線，所以直線的中垂線為，則圓心在直線上，且在直線上，聯(lián)立方程解得圓心，則圓的半徑為，所以圓方程為；【小問2詳解】解：設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)椋曰?，所以或，顯然直線斜率存在，所以設(shè)直線，則或，解得或或，故直線的方程為或或.18、【解析】分別在、和的情況下得命題對(duì)應(yīng)的集合；選條件后可求得命題對(duì)應(yīng)的集合；根據(jù)充分不必要條件的定義可知，分別在、和的情況下得到結(jié)果.【詳解】由得：，當(dāng)時(shí)，不等式解集；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；是的充分不必要條件，命題對(duì)應(yīng)集合是命題對(duì)應(yīng)集合的真子集，即；若選條件①：由得：，；若選條件②：由得：，解得：，；若選條件③：由得：，解得：，；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，由知：，；當(dāng)時(shí)，由知：，；綜上所述：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19、（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】（1）直接由斜率關(guān)系計(jì)算得到；（2）設(shè)出直線，聯(lián)立橢圓方程，韋達(dá)定理求出，再結(jié)合三點(diǎn)共線，求出參數(shù)，得到過定點(diǎn).小問1詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由已知有，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；【小問2詳解】由已知條件可知直線和直線斜率一定存在，設(shè)直線方程為，，，則，由，可得，則，即為，，，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，即，即，即，即，即得，整理，得，滿足，則直線方程為，恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于設(shè)出帶有兩個(gè)參數(shù)的直線的方程，聯(lián)立橢圓方程后，利用題干中的條件，解出一個(gè)參數(shù)或得到兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，即可求出定點(diǎn).20、（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）證明見解析【解析】（Ⅰ）證明和得到平面.（Ⅱ）根據(jù)相似得到證明平面.【詳解】（Ⅰ）如圖，連接.∵底面為菱形，且，∴三角形正三角形.∵為的中點(diǎn)，∴.又∵平面，平面，∴.∵，平面，∴平面.（Ⅱ）連接交于點(diǎn)，連接.∵為的中點(diǎn)，∴在底面中，，∴.∴，∴在三角形中，.又∵平面，平面，∴平面.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直和線面平行，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.21、（1）極小值為：，無極大值（2），，【解析】（1）先求導(dǎo)求單調(diào)性，再判斷極值點(diǎn)求極值即可；（2）易知，只需要為函數(shù)和的公切線即可，求出公切線，代入后分別證明和成立即可.【小問1詳解】由題意知：，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，即極小值為：，無極大值.【小問2詳解】設(shè)，易知，所以點(diǎn)是和的公共點(diǎn)，要使成立，只需要為函數(shù)和的公切線即可，由（1）知，，所以在點(diǎn)處的切線為：，同理可得在點(diǎn)處的切線為：，由題意知為同一條直線，所以解得，即等價(jià)于；下面證明這個(gè)式子成立：首先證明等價(jià)于，設(shè)，所以，恒成立，所以單調(diào)遞增，易知，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，故不等式成立，即成立；再證明：等價(jià)于，設(shè)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，故不等式成立，即成立；綜上所述，存在，，使得成立.故：，，.【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路