甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)縣2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析_第1頁
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甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)縣2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一,數(shù)學(xué)家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線解決了這個(gè)問題.如圖,在圓D中,為其一條弦,,C,O是弦的兩個(gè)三等分點(diǎn),以A為左焦點(diǎn),B,C為頂點(diǎn)作雙曲線T.設(shè)雙曲線T與弧的交點(diǎn)為E,則.若T的方程為,則圓D的半徑為()A. B.1C.2 D.2.命題:“,”的否定形式為()A., B.,C., D.,3.設(shè),則A.2 B.3C.4 D.54.直線與橢圓交于兩點(diǎn),以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn),則此橢圓的離心率為()A B.C. D.5.已知,表示兩條不同的直線,表示平面.下列說法正確的是A.若,,則B.若,,則C.若,,則D.若,,則6.已知函數(shù),則的值為()A. B.C.0 D.17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過x軸上的點(diǎn)P分別向圓和圓引切線,記切線長分別為.則的最小值為()A.2 B.3C.4 D.58.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,過作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于,,且,則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.9.上海世博會(huì)期間,某日13時(shí)至21時(shí)累計(jì)入園人數(shù)的折線圖如圖所示,那么在13時(shí)~14時(shí),14時(shí)~15時(shí),…,20時(shí)~21時(shí)八個(gè)時(shí)段中,入園人數(shù)最多的時(shí)段是()A.13時(shí)~14時(shí) B.16時(shí)~17時(shí)C.18時(shí)~19時(shí) D.19時(shí)~20時(shí)10.下列關(guān)于拋物線的圖象描述正確的是()A.開口向上,焦點(diǎn)為 B.開口向右,焦點(diǎn)為C.開口向上,焦點(diǎn)為 D.開口向右,焦點(diǎn)為11.下列關(guān)于函數(shù)及其圖象的說法正確的是()A.B.最小正周期為C.函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)D.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為12.(2017新課標(biāo)全國卷Ⅲ文科)已知橢圓C:的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切,則C的離心率為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖三角形數(shù)陣:123456789101112131415……按照自上而下,自左而右的順序,2021位于第i行的第j列,則______14.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算,其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖,在塹堵,中,M是的中點(diǎn),,,,若,則_________15.函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.16.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)p:函數(shù)在區(qū)間是遞增的;q:方程有實(shí)數(shù)解.(1)若p為真命題,求m的取值范圍;(2)若“”為真,“”為假,求m的取值范圍.18.(12分)如圖1,已知正方形的邊長為,分別為的中點(diǎn),將正方形沿折成如圖2所示的二面角,點(diǎn)在線段上(含端點(diǎn))運(yùn)動(dòng),連接(1)若為的中點(diǎn),直線與平面交于點(diǎn),確定點(diǎn)位置,求線段的長;(2)若折成二面角大小為,是否存在點(diǎn)M,使得直線與平面所成的角為,若存在,確定出點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由19.(12分)如圖,中,且,將沿中位線EF折起,使得,連結(jié)AB,AC,M為AC的中點(diǎn).(1)證明:平面ABC;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,短軸長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)左、右頂點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上(異于點(diǎn)、),求的值;(3)過點(diǎn)作一條直線與橢圓交于兩點(diǎn),過作直線的垂線,垂足為.試問:直線與是否交于定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo),否則說明理由.21.(12分)已知的頂點(diǎn),邊上的中線所在直線方程為,邊上的高所在直線方程為.求:(1)頂點(diǎn)的坐標(biāo);(2)直線的方程.22.(10分)已知橢圓過點(diǎn),且離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過作斜率分別為的兩條直線,分別交橢圓于點(diǎn),且,證明:直線過定點(diǎn).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由題設(shè)寫出雙曲線的方程,對(duì)比系數(shù),求出即可獲解【詳解】由題知所以雙曲線的方程為又由題設(shè)的方程為,所以,即設(shè)AB的中點(diǎn)為,則由.所以,即圓的半徑為2故選:C2、D【解析】根據(jù)含一個(gè)量詞的命題的否定方法直接得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題,所以命題:“,”的否定形式為:,,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.含一個(gè)量詞的命題的否定方法:修改量詞,否定結(jié)論.3、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出,進(jìn)而可得到.【詳解】,則,故,選B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】根據(jù)題意作出示意圖,根據(jù)圓的性質(zhì)以及直線的傾斜角求解出的長度,再根據(jù)橢圓的定義求解出的關(guān)系,則橢圓離心率可求.【詳解】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,如下圖:因?yàn)橐跃€段為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn),所以且,所以,又因?yàn)榈膬A斜角為,所以,所以為等邊三角形,所以,所以,因?yàn)?,所以,所以,所以,所以,故選:D.5、B【解析】A.運(yùn)用線面平行的性質(zhì),結(jié)合線線的位置關(guān)系,即可判斷;B.運(yùn)用線面垂直的性質(zhì),即可判斷;C.運(yùn)用線面垂直的性質(zhì),結(jié)合線線垂直和線面平行的位置即可判斷;D.運(yùn)用線面平行的性質(zhì)和線面垂直的判定,即可判斷【詳解】A.若m∥α,n∥α,則m,n相交或平行或異面,故A錯(cuò);B.若m⊥α,,由線面垂直的性質(zhì)定理可知,故B正確;C.若m⊥α,m⊥n,則n∥α或n?α,故C錯(cuò);D.若m∥α,m⊥n,則n∥α或n?α或n⊥α,故D錯(cuò)故選B【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系,考查直線與平面的平行、垂直的判斷與性質(zhì),記熟定理是解題的關(guān)鍵,注意觀察空間的直線與平面的模型6、B【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo),然后將代入導(dǎo)數(shù)中可得結(jié)果.【詳解】,則,則,故選:B7、D【解析】利用兩點(diǎn)間的距離公式,將切線長的和轉(zhuǎn)化為到兩圓心的距離和,利用三點(diǎn)共線距離最小即可求解.詳解】,圓心,半徑,圓心,半徑設(shè)點(diǎn)P,則,即到與兩點(diǎn)距離之和的最小值,當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí),的和最小,即的和最小值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】直線的斜率為,計(jì)算,,利用余弦定理得到,化簡(jiǎn)知,得到答案【詳解】由題意知直線的斜率為,,又,由雙曲線定義知,,.由余弦定理:,,即,即,解得.故雙曲線漸近線的方程為.故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線,與圓的關(guān)系,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.9、B【解析】要找入園人數(shù)最多的,只要根據(jù)函數(shù)圖象找出圖象中變化最大的即可【詳解】結(jié)合函數(shù)的圖象可知,在13時(shí)~14時(shí),14時(shí)~15時(shí),…,20時(shí)~21時(shí)八個(gè)時(shí)段中,圖象變化最快的為16到17點(diǎn)之間故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查折線統(tǒng)計(jì)圖的實(shí)際應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】把化成拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)拋物線幾何性質(zhì)看開口方向,求其焦點(diǎn)坐標(biāo)即可解決.【詳解】,即.則,即故此拋物線開口向上,焦點(diǎn)為故選:A11、D【解析】化簡(jiǎn),利用正弦型函數(shù)的性質(zhì),依次判斷,即可【詳解】∵∴,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;的最小正周期為,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;令,則,故函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn),C選項(xiàng)錯(cuò)誤;令,則,所以函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為,D選項(xiàng)正確故選:D12、A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為,圓的方程為,直線與圓相切,所以圓心到直線的距離等于半徑,即,整理可得,即即,從而,則橢圓的離心率,故選A.【名師點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問題,其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式,再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式,而建立關(guān)于的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、69【解析】由圖可知,第行有個(gè)數(shù),求出第行的最后一個(gè)數(shù),從而可分析計(jì)算出,即可得出答案.【詳解】解:由圖可知,第行有個(gè)數(shù),第行最后一個(gè)數(shù)為,因?yàn)?,所以第行的最后一個(gè)數(shù)為2016,所以2021位第行,即,又,所以2021位第行第5列,即,所以.故答案為:69.14、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量可以解決問題.【詳解】設(shè),如下圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,則所以又因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋?5、【解析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)并且通過導(dǎo)數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而得到原函數(shù)的極值,因?yàn)楹瘮?shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),所以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的極大值小于或極小值大于,即可得到答案.【詳解】解:由題意可得:函數(shù),所以,令,則或,令,則,所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和,減區(qū)間為所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值,當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值,,因?yàn)楹瘮?shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),,所以或,解得或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為:16、【解析】先通過裂項(xiàng)相消求出,再代入計(jì)算即可.【詳解】,則,故.故答案為:3.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)或【解析】(1)依題意在區(qū)間上恒成立,參變分離可得在區(qū)間上恒成立,再利用基本不等式計(jì)算可得;(2)首先求出命題為真時(shí)參數(shù)的取值范圍,再根據(jù)“”為真,“”為假,即可得到真假,或假真,從而得到不等式組,解得即可;【小問1詳解】解:為真命題,即函數(shù)在區(qū)間上是遞增的∴在區(qū)間上恒成立,∴在區(qū)間上恒成立,∵,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,∴的取值范圍為.【小問2詳解】解:為真命題,即方程有實(shí)數(shù)解∴即∴或∵“”為真,“”為假∴真假,或假真∴或,解得或,∴的取值范圍為或;18、(1)是的延長線與延長線的交點(diǎn),且(2)存在,使得直線與平面所成的角為,且.【解析】(1)通過延長、以及全等三角形確定點(diǎn)的位置并求得線段的長.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法判斷符合題意的點(diǎn)是否存在.【小問1詳解】延長,連接并延長,交的延長線于,由于,所以,所以.所以是的延長線與延長線的交點(diǎn),且.【小問2詳解】由于,所以平面,,由于平面,所以平面平面.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,,設(shè),,設(shè)平面的法向量為,則,故可設(shè),由于直線與平面所成的角為,所以,整理得,解得或(舍去)存在,使得直線與平面所成的角為,且.19、(1)證明見解析(2)【解析】(1)由勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出,,再由線面垂直的判定證明即可;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,由向量法得出面面角.【小問1詳解】設(shè),則,,平面平面,連接,,,,,即又,平面ABC【小問2詳解】,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,令,則同理可得,又二面角為鈍角,故二面角的余弦值為.20、(1);(2);(3)是,.【解析】(1)由題意,列出所滿足的等量關(guān)系式,結(jié)合橢圓中的關(guān)系,求得,從而求得橢圓的方程;(2)寫出,設(shè),利用斜率坐標(biāo)公式求得兩直線斜率,結(jié)合點(diǎn)在橢圓上,得出,從而求得結(jié)果;(3)設(shè)直線的方程為:,,則,聯(lián)立方程可得:,結(jié)合韋達(dá)定理,得到,結(jié)合直線的方程,得到直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)由題意可知,,又,所以,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.(2),設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,,又,.(3)設(shè)直線的方程為:,,則,聯(lián)立方程可得:,所以,所以,又直線的方程為:,令,則,所以直線恒過,同理,直線恒過,即直線與交于定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:該題考查是有關(guān)橢圓的問題,解題思路如下:(1)根據(jù)題中所給的條件,結(jié)合橢圓中的關(guān)系,建立方程組求得橢圓方程;(2)根據(jù)斜率坐標(biāo)公式,結(jié)合點(diǎn)在橢圓上,整理求得斜率之積,可以當(dāng)結(jié)論來用;(3)將直線與橢圓方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理,結(jié)合直線方程,求得其過的定點(diǎn).21、(1);(2).【解析】(1)求出直線的方程,然后聯(lián)立直線、的方程,即可求得點(diǎn)的坐標(biāo);(2)設(shè),可求得線段的中點(diǎn)的坐標(biāo),將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程,可求得的值,可得出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而利用直線的斜率和點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【小問1詳解】解:,所以,而,則,所以直線的方程為,由,解得,所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問2詳解】解:因?yàn)樵谥本€,所以可設(shè),由為線段的中點(diǎn),所以,將的坐標(biāo)代入直線的方程,所以,解得,所以.故,故直線的方程為,即.22、(1);(2)證明見解析.【解析】(1)由離心率、過點(diǎn)和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程求得,由此可得橢圓方程;(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),表示出兩點(diǎn)坐標(biāo),由兩點(diǎn)連線斜率公式表示出,整理可得直線為;當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè),與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式,代入中整理可得,由此可得直線所過定點(diǎn);綜合兩種情況可得直線過定點(diǎn).【詳解】(1)橢圓過點(diǎn),即,;,又,,橢圓的方程為:.(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),設(shè)

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