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第二節(jié)微積分基本公式一、問題的提出二、積分上限函數及其導數三、牛頓—萊布尼茨公式四、小結思考題1【從變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系看定積分公式應有的形式】變速直線運動中路程為另一方面這段路程可表示為一、問題的提出【注】上述結論在一定條件（連續(xù)）下具有普遍性2考察定積分記——積分上限函數二、積分上限函數及其導數1.【定義】32.【積分上限函數的性質】【證】利用積分中值定理脫掉積分號(1)4(2)(3)f在[a,b]連續(xù)，由積分中值定理得53.【推廣】【證】【證完】【思考】6【例1】求【解】【分析】這是型不定式,應用洛必達法則,求導去掉積分號.但由于“積不出”，故不能先求出定積分再求極限.7【證】也可用積分中值定理判.8【證】令【注】也可用積分中值定理，脫掉積分號比較大小[0,1]上解存在94.【原函數存在定理】【定理的重要意義】(1)肯定了連續(xù)函數的原函數是存在的.(2)初步揭示了積分學中的定積分與原函數之間的聯系.【定理2】10【定理3】（微積分基本公式）【證】三、牛頓—萊布尼茨公式令牛—萊公式11【微積分基本公式表明】2.求定積分問題轉化為求原函數的問題.12【使用牛頓—萊布尼茲公式必須注意】（1）被積函數f(x)在[a,b]上連續(xù)（2）F(x)是f(x)在[a,b]上的原函數.【例4】求原式【解】【例5】

【分析】①本例中函數存在跳躍型間斷點，故不存在原函數，從而不能直接用牛—萊公式計算.②該定積分可采用積分區(qū)間的可加性，在各區(qū)間段上用?！R公式分別積分（因各區(qū)間段上存在原函數）.13【解】一般地，凡可積的分段函數都可以應用積分區(qū)間的可加性，在各區(qū)間段上分別用牛—萊公式進行定積分.【例6】求【解】由圖形可知14【例7】以下解法是否正確，說明理由.

【注】該例說明?！R公式中的F(x)必須是f(x)在該積分區(qū)間上的原函數.【解】面積則15【例9】【證】由?！R公式，有則有即【說明】本題結論是積分中值定理的改進.積分中值定理與微分中值定理的聯系：微分中值定理積分中值定理原函數在微分中值定理中的ξ等于導函數在積分中值定理中的ξ.163.微積分基本公式1.積分上限函數2.積分上限

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