第06講 多邊形內(nèi)角和（7種題型）（原卷版）

第06講多邊形內(nèi)角和（7種題型）【知識(shí)梳理】一、多邊形內(nèi)角和n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點(diǎn)詮釋：(1)內(nèi)角和公式的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于；二、多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．要點(diǎn)詮釋：(1)在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)；(2)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．三．平面鑲嵌（密鋪）（1）平面圖形鑲嵌的定義：用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接．彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．（2）正多邊形鑲嵌有三個(gè)條件限制：①邊長(zhǎng)相等；②頂點(diǎn)公共；③在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°．判斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角能否構(gòu)成周角，若能構(gòu)成360°，則說(shuō)明能夠進(jìn)行平面鑲嵌，反之則不能．（3）單一正多邊形的鑲嵌：正三角形，正四邊形，正六邊形．（4）兩種正多邊形的鑲嵌：3個(gè)正三角形和2個(gè)正方形、四個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形、2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形、1個(gè)正三角形和2個(gè)正十二邊形、1個(gè)正方形和2個(gè)正八邊形等．（5）用任意的同一種三角形或四邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案．【考點(diǎn)剖析】題型一：利用內(nèi)角和求邊數(shù)例1.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為540°，則它是()A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．七邊形【變式1】（2021·河北承德市·八年級(jí)期末）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是900°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．7【變式2】（2021·浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7題型二：求多邊形的內(nèi)角和例2.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1800°，截去一個(gè)角后，得到的多邊形的內(nèi)角和為()A．1620°B．1800°C．1980°D．以上答案都有可能【變式1】（2021·云南臨滄·八年級(jí)期末）一個(gè)八邊形的內(nèi)角和度數(shù)為（）A．360° B．720° C．900° D．1080°【變式2】（2021·廣西來(lái)賓市·八年級(jí)期中）已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍多，求這個(gè)多邊形是幾邊形？并求出這個(gè)多邊形的內(nèi)角和．【變式3】（2020·南京市寧海中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）問(wèn)題1：如圖，我們將圖（1）所示的凹四邊形稱為“鏢形”．在“鏢形”圖中，∠AOC與∠A、∠C、∠P的數(shù)量關(guān)系為∠AOC=∠A+∠C+∠P．問(wèn)題2：如圖（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大??；小明認(rèn)為可以利用“鏢形”圖的結(jié)論解決上述問(wèn)題：由問(wèn)題1結(jié)論得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=．所以∠APC=．請(qǐng)幫助小明完善上述說(shuō)理過(guò)程，并嘗試解決下列問(wèn)題（問(wèn)題1、問(wèn)題2中得到的結(jié)論可以直接使用，不需說(shuō)明理由）；解決問(wèn)題1：如圖（3）已知直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系為解決問(wèn)題2：如圖（4），已知直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，則∠P與∠B、∠D的關(guān)系為題型三：復(fù)雜圖形中的角度計(jì)算例3.如圖，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝()A．450°B．540°C．630°D．720°【變式1】（2021·全國(guó)八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在五邊形ABCDE中，∠D＝120°，與∠EAB相鄰的外角是80°，與∠DEA，∠ABC相鄰的外角都是60°，則∠C為_(kāi)_______度．【變式2】（2020·南京市寧海中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，五邊形ABCDE的兩個(gè)內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)O，∠1，∠2，∠3是五邊形的3個(gè)外角，若∠1+∠2+∠3=220°，則∠AOB=___________．【變式3】（2022春?武岡市期中）如圖，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度數(shù)．【變式4】（2022春?宿城區(qū)校級(jí)月考）利用“模型”解決幾何綜合問(wèn)題往往會(huì)取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．運(yùn)用以上模型結(jié)論解決問(wèn)題：（1）如圖（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：圖中A1A3DA4是“A”型圖，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如圖（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度數(shù)．題型四：利用方程和不等式確定多邊形的邊數(shù)例4.一個(gè)同學(xué)在進(jìn)行多邊形的內(nèi)角和計(jì)算時(shí)，求得內(nèi)角和為1125°，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了以后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)少算了一個(gè)內(nèi)角，問(wèn)這個(gè)內(nèi)角是多少度？他求的是幾邊形的內(nèi)角和？【變式1】．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）看圖回答問(wèn)題：(1)內(nèi)角和為2014°，小明為什么說(shuō)不可能？(2)小華求的是幾邊形的內(nèi)角和？【變式2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）解決多邊形問(wèn)題：(1)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，它是幾邊形？(2)小華在求一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，重復(fù)加了一個(gè)角的度數(shù)，計(jì)算結(jié)果是，這個(gè)多邊形是幾邊形？題型五：已知各相等外角的度數(shù)，求多邊形的邊數(shù)例5.正多邊形的一個(gè)外角等于36°，則該多邊形是正()A．八邊形B．九邊形C．十邊形D．十一邊形【變式1】．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是__________．【變式2】（2021·廣西八年級(jí)期中）己知一個(gè)n邊形的每一個(gè)外角都等于30°．（1）求n的值．（2）求這個(gè)n邊形的內(nèi)角和．題型六：多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合運(yùn)用例6.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的和為540°，則它是()A．五邊形B．四邊形C．三角形D．不能確定【變式1】（2021·陜西）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的度數(shù)之和為，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．【變式2】（2021·廣西來(lái)賓市·八年級(jí)期中）已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍多，求這個(gè)多邊形是幾邊形？并求出這個(gè)多邊形的內(nèi)角和．【變式3】（2021秋?泰州期末）【相關(guān)概念】將多邊形的內(nèi)角一邊反向延長(zhǎng)，與另一條邊相夾形成的那個(gè)角叫做多邊形的外角．如圖，將△ABC中∠ACB的邊CB反向延長(zhǎng)，與另一邊AC形成的∠ACD即為△ACB的一個(gè)外角．三角形外角和與三角形內(nèi)角和對(duì)應(yīng)，為與三個(gè)內(nèi)角分別相鄰的三個(gè)外角的和．【求解方法】借助一組內(nèi)角與外角的數(shù)量關(guān)系，可以求出三角形的外角和．如圖，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．【自主探究】根據(jù)以上提示，完成下列問(wèn)題：（1）將下列表格補(bǔ)充完整．名稱圖形內(nèi)角和外角和三角形180°360°四邊形360°360°五邊形540°360°…………n邊形…180°（n﹣2）360°（2）如果一個(gè)八邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，請(qǐng)用兩種不同的方法求出這個(gè)八邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．題型七：平面鑲嵌例7．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）用同一種下列形狀的圖形地磚不能進(jìn)行平面鑲嵌的是（）A．正三角形 B．長(zhǎng)方形 C．正八邊形 D．正六邊形【變式】（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）用正多邊形來(lái)鑲嵌平面的原理是共頂點(diǎn)的各個(gè)角之和必須等于．現(xiàn)在有七種不同的正多邊形：①正三角形、②正方形、③正六邊形、④正八邊形、⑤正十邊形、⑥正十二邊形、⑦正十五邊形．請(qǐng)你用其中的不同的三種正多邊形來(lái)鑲嵌平面，這三種正多邊形可以是：________．（請(qǐng)用序號(hào)表示，只需寫(xiě)出兩種即可）【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖是由射線，，，，，組成的平面圖形，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·山東泰安·八年級(jí)校考期末）正多邊形的內(nèi)角和為，則這個(gè)多邊形的一個(gè)內(nèi)角為（）A． B． C． D．3．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是（）A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．九邊形4．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，這個(gè)多邊形的外角不可能是（）A． B． C． D．5．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，等于（

）A． B． C． D．6．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）將一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后所得的多邊形內(nèi)角和為，則原多邊形的邊數(shù)為（）A．或 B．或 C．或或 D．或或7．（2023秋·廣西欽州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小紅：我計(jì)算出一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為；老師：不對(duì)呀，你可能少加了一個(gè)角則小紅少加的這個(gè)角的度數(shù)是（）A．1 B．1 C．1 D．18．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和為，則這個(gè)多邊形可連對(duì)角線的條數(shù)是（

）A．10 B．16 C．20 D．409．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)多邊形截去一角后，變成一個(gè)八邊形，則這個(gè)多邊形原來(lái)的邊數(shù)是（

）A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10二、填空題10．（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）若n邊形的每個(gè)內(nèi)角都是，則邊數(shù)n為_(kāi)__．11．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖是由射線、、、組成的平面圖形，則______°．12．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期中）一個(gè)正n多邊形的一個(gè)內(nèi)角是它的外角的4倍，則___________．13．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若一個(gè)多邊形的每個(gè)外角均為，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為_(kāi)______度．14．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）一個(gè)多邊形外角和是內(nèi)角和的，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是________．15．（2023春·陜西西安·八年級(jí)西安行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則它是____________邊形．16．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）一個(gè)邊形的所有內(nèi)角和等于，則的值等于__．17．（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為_(kāi)_．18．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440°．則原來(lái)多邊形的邊數(shù)是______．19．（2021秋?工業(yè)園區(qū)期末）某休閑廣場(chǎng)的地面中間是1塊正六邊形地磚，周圍是用正方形和正三角形地磚按如圖方式依次向外鋪設(shè)10圈而成，其中第1圈有6塊正方形和6塊正三角形地磚，則鋪設(shè)該廣場(chǎng)共用地磚塊．三、解答題20．（2023春·廣東茂名·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)正多邊形其一個(gè)內(nèi)角與其相鄰的一個(gè)外角的度數(shù)之比是，求這個(gè)多邊形是幾邊形？21．（2022秋·云南楚雄·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)多邊形的外角和比這個(gè)多邊形的內(nèi)角和?。?1)求這個(gè)多邊形的邊數(shù)；(2)求這個(gè)多邊形的所有對(duì)角線條數(shù)．22．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，求的大?。?/p>

23．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知四邊形的四個(gè)外角的度數(shù)之比為，那么這個(gè)四邊形各內(nèi)角的度數(shù)分別是多少？24．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：解決問(wèn)題：（1）如圖1，四邊形ABCD是凹四邊形，請(qǐng)?zhí)骄俊螧DC(∠BDC＜180°)與∠B，∠D，∠BAC三個(gè)角之間的等量關(guān)系．小明得出的結(jié)論是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他證明如下．請(qǐng)你將小明的證明過(guò)程