索端力與索的幾何線(xiàn)形的對(duì)應(yīng)關(guān)系

索端力與索的幾何線(xiàn)形的對(duì)應(yīng)關(guān)系

由于懸索結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，如大傾角懸索橋、斜拉橋和張拉結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)分析應(yīng)考慮幾何非線(xiàn)性的影響，結(jié)構(gòu)分析的精度主要取決于對(duì)索的精確分析。較早對(duì)索的分析采用解析法,該方法僅適合于結(jié)構(gòu)體系和受力較簡(jiǎn)單的場(chǎng)合,對(duì)于結(jié)構(gòu)和荷載分布較復(fù)雜等情況,分析計(jì)算往往太煩瑣.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,有限元分析已成為大型結(jié)構(gòu)最有效的計(jì)算分析方法.目前,索的有限元分析主要有桿單元法、考慮垂度效應(yīng)的桿單元法、多節(jié)點(diǎn)曲線(xiàn)索單元法和拋物線(xiàn)索單元法等,這些方法均存在計(jì)算精度不高或使用不便等缺點(diǎn).楊孟剛等利用推導(dǎo)的兩節(jié)點(diǎn)懸鏈線(xiàn)索單元對(duì)自錨式懸索橋施工全過(guò)程進(jìn)行了模擬分析.本文根據(jù)索的基本假定和懸鏈線(xiàn)平衡方程,采用索段分析及迭代方法,導(dǎo)出了兩節(jié)點(diǎn)空間懸鏈線(xiàn)索單元切線(xiàn)剛度陣及節(jié)點(diǎn)力的迭代格式,建立起了空間懸鏈線(xiàn)索單元的幾何非線(xiàn)性有限元方法.該索單元既克服了桿單元(考慮Ernst彈模修正)和拋物線(xiàn)索單元模擬索計(jì)算精度不高的問(wèn)題,又解決了多節(jié)點(diǎn)曲線(xiàn)索單元使用不便等缺點(diǎn).經(jīng)典算例結(jié)果表明,本文導(dǎo)出的空間懸鏈線(xiàn)索單元具有較高的精度.1受均布荷載q作用下柔性索段力學(xué)性能本文公式的推導(dǎo)主要基于以下基本假定:1)索的材料符合胡克定律;2)索的面積不隨外荷載作用變化;3)索是理想柔性的.對(duì)于一般的索結(jié)構(gòu)而言,可將其離散多個(gè)索段(索單元).對(duì)于每個(gè)索段而言,所承受的荷載有兩種:一是索單元間沿弧長(zhǎng)均布的主纜自重;二是索端力.由文獻(xiàn)可知,在沿索曲線(xiàn)均布荷載q作用下,索的水平張力H是常數(shù),索的線(xiàn)形為懸鏈線(xiàn).對(duì)于如圖1所示的受均布荷載q作用下的柔性索段IJ,彈性模量為E,截面面積為A,索段兩端點(diǎn)跨長(zhǎng)為L(zhǎng),高差為C,索段的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度為S0,變形后的索長(zhǎng)為S,OXZY為總體坐標(biāo)系,oxyz為局部坐標(biāo)系,且索的水平張力H是常數(shù),索的線(xiàn)形為懸鏈線(xiàn).根據(jù)靜力平衡條件,有Τdxdr=Η?Τ(-dzdr)=V-qs(1)其中T為張力.邊界條件為s|x=0,z=0=0,s|s=L,z=C=S0且張力與應(yīng)變關(guān)系為T(mén)=EAε=EA(dr/ds-1).由式(1)并考慮在(0,S0)區(qū)間內(nèi)的積分,可以得到L=x(S0)=ΗS0EA+ΗqlnV+√Η2+V2(V-qS0)+√Η2+(V-qS0)2(2)C=y(S0)=qS20-2VS02EA-1q{√Η2+V2-√Η2+(V+qS0)2}(3)由式(2)和式(3)可知,端點(diǎn)內(nèi)力H,V與線(xiàn)形參數(shù)L,C之間形成對(duì)應(yīng)關(guān)系,因此如果內(nèi)力一旦確定,線(xiàn)形也確定下來(lái),反之亦然.顯然式(2)和式(3)可以簡(jiǎn)化成為L(zhǎng)=-ΗΙ[S0EA+1qln(VΙ+ΤΙΤJ-VJ)](4)C=12EAq(Τ2J-Τ2Ι)+ΤJ-ΤΙq(5)其中VJ=-VΙ+qS0?ΗJ=-ΗΙ?ΤΙ=√Η2Ι+V2Ι?ΤJ=√Η2J+V2J.2迭代過(guò)程中的拉格朗日乘子法如果把式(4)和式(5)看成是HI和VI的函數(shù),則L和C的變化量可用對(duì)HI和VI的微分表示為δLi=ξi1δHiΙ+ξi2δViΙ(6)δCi=ξi3δHiΙ+ξi4δViΙ(7)其中i表示迭代步數(shù),并且ξi1=(?L/?HI)i=Li/Hi1+(ViJ/TiJ+ViΙ/TiΙ)/q,ξi2=(?L/?VI)i=Hi1(1/TiJ-1/TiI)/q,ξi3=(?C/?HI)i=Hi/Hi1+(1/TiJ-1/TiΙ)/q,ξi4=(?C/?VI)i=-S0/EA-(ViJ/TiJ+ViΙ/TiΙ)/q.對(duì)于處于第i個(gè)迭代步索單元的變形情況,如圖2所示.HiΙ和ViΙ表示節(jié)點(diǎn)I端內(nèi)力,Li和Ci根據(jù)式(6)和式(7)得到.如果|JiJ|超過(guò)某個(gè)允許值,繼續(xù)第i+1步迭代,此時(shí)的HI和VI可表示為{Ηi+1=ΗiΙ+δΗiΙ=ΗiΙ+αi1δLi+αi2δCiVi+1Ι=ViΙ+δViΙ=ViΙ+αi3δLi+αi4δC(8)其中αi1=ξi4/di,αi2=-ξi3/di,αi3=-ξi2/di,αi4=ξi1/di,di=ξi1ξi4-ξi2ξi3.為了使得迭代過(guò)程快速收斂,HI和VI的初始值可按如下取值ΗΙ=-qL2β?VΙ=q2[-Ccoshβsinhβ+S0]?β=√6(√S20-C2/L2-1)(9)迭代收斂后,即可得到HI和VI,然后就可以得到HJ,VJ,TI和TJ.迭代計(jì)算流程如圖3所示.3單元?jiǎng)偠染仃嚸嬖鶕?jù)式(8),在豎直索平面xz內(nèi),單元的節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移增量的關(guān)系可描述如下(注意α2=α3):{δF}=[k′]{δu}(10)式中{δF}={δFΙxδFΙyδFIzδFJxδFJyδFJz}T為單元力列陣;{δu}={δuIδvIδwIδuJδvJδwJ}T為節(jié)點(diǎn)位移增量列陣;[k′]6×6為局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?并且非零元素為:k′11=-k′41=k′14=-k′44=-α1;k′31=k′13=-k′16=-k′34=-k′43=k′46=-k′61=k′64=-α2;k′34=-k′36=-k′64=k′66=-α4.如果定義索平面xz與總體坐標(biāo)平面XZ之間的夾角為θ,則轉(zhuǎn)換矩陣[R]為[R]=[t00t](11)其中[t]=[cosθsinθ0-sinθcosθ0001](12)從而總體坐標(biāo)系下索單元的剛度矩陣和節(jié)點(diǎn)力分別可寫(xiě)為[k]=[R]T[k′][R],{F}=[R]T{Φ}(13)式中{Φ}={HI0VIHJ0VJ}T.4懸鏈線(xiàn)索單元的應(yīng)用根據(jù)以上算法,編制了相應(yīng)程序,并用兩個(gè)經(jīng)典算例進(jìn)行了驗(yàn)證.例1圖4所示為一單索結(jié)構(gòu)(虛線(xiàn)為變形后的曲線(xiàn)),結(jié)構(gòu)的彈性模量E=190MPa,截面積A=0.85mm2,在自重均布荷載q=3.16kN·m作用下處于初始平衡狀態(tài).計(jì)算在集中荷載P=8kN作用下的節(jié)點(diǎn)位移.和文獻(xiàn)一樣,本文采用兩個(gè)索單元進(jìn)行分析,計(jì)算由一步加載迭代17次完成,結(jié)果見(jiàn)表1.可以看出,本文推導(dǎo)的懸鏈線(xiàn)索單元能夠得到滿(mǎn)意的結(jié)果.例2圖5所示為一預(yù)應(yīng)力空間索網(wǎng)結(jié)構(gòu),彈性模量E=120MPa,截面積A=0.227mm2,施加在水平單元3,4,8,11上的預(yù)應(yīng)力為5.459kN,而施加在其它單元上的預(yù)應(yīng)力為5.325kN,在節(jié)點(diǎn)4,5,8,9上施加大小為8kN的集中力,節(jié)點(diǎn)4的位移比較見(jiàn)表2.計(jì)算結(jié)果表明本文導(dǎo)出的懸鏈線(xiàn)索單元能方便地應(yīng)用于空間索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的分析.5算例及分析1)本文根據(jù)索的基本假定和懸鏈線(xiàn)平衡方程,采用索段分析及柔性迭代方法,導(dǎo)出了兩節(jié)點(diǎn)空間懸鏈線(xiàn)索單元幾何非線(xiàn)性有限元分析的全套公式及算