人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第三冊)同步講義第22講 拓展三：二項分布和超幾何分布辨析含解析

拓展三：二項分布和超幾何分布辨析考點一超幾何分布考點二二項分布考點三超幾何分布和二項分布的綜合剖析兩種分布的不同點與相同點，關(guān)注概念本質(zhì)區(qū)別與聯(lián)系1、概念不同（1）超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))如果隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布．記作X判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布，關(guān)鍵是要看隨機變量是否滿足超幾何分布的特征:一個總體（共有N個）內(nèi)含有兩種不同的事物A(M個)、B(N-M個)，任取n個，其中恰有X個A.符合該條件的即可斷定是超幾何分布。（2）二項分布：一般地，在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率.二項分布必須同時滿足以下兩個條件:①在一次試驗中試驗結(jié)果，只有SKIPIF1<0與SKIPIF1<0這兩個，且事件A發(fā)生的概率為SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0；②試驗可以獨立重復(fù)地進行，即每次重復(fù)做一次試驗，事件A發(fā)生的概率都是同一常數(shù)SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0.2、隨機試驗的條件不同超幾何分布在試驗過程中必須給定總體數(shù)，而且總體必須由數(shù)目明確的“正品”與“次品”兩類構(gòu)成.二項分布進行的試驗無需知道總體數(shù).3、隨機試驗類型與特點不同超幾何分布的試驗：是從含有m（SKIPIF1<0）件次品的N件產(chǎn)品中任取n（SKIPIF1<0件產(chǎn)品，它具有如下特點：（1）有限個不同的基本事件（2）每個基本事件的出現(xiàn)是等可能的，我們稱具有這樣特點的試驗為古典概型的隨機試驗，可以理解為是不放回抽樣的試驗。從另一個角度看這個試驗，我們也可以看做是包含n個古典概型隨機試驗的復(fù)合試驗，其中第一個試驗是：從N件產(chǎn)品中任取一件，第二個試驗是從余下的N-1件產(chǎn)品中任取一件，以此類推，第n個試驗是從余下的N-（n-1）件產(chǎn)品中任取一件，這n個試驗事相互不獨立的。二項分布的試驗就是我們常說的n次獨立重復(fù)試驗，即在相同的條件下做了n次獨立重復(fù)試驗，可以理解為有放回抽樣的試驗。4、隨機試驗的模型與結(jié)果不同超幾何分布進行的隨機試驗是無放回抽樣模型，每一次試驗的結(jié)果數(shù)較多，比如在有3件次品的10件產(chǎn)品中任取1件產(chǎn)品，不同的結(jié)果有C10二項分布進行的隨機試驗是重復(fù)試驗，所以每次抽取條件不變，可以理解為有放回抽樣模型.而且每一次試驗只有兩個對立的結(jié)果A或A，稱為伯努利試驗.注：二項分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣。所以，在解有關(guān)二項分布和超幾何分布問題時，仔細(xì)閱讀、辨析題目條件是非常重要的（特別注意：二項分布是在n次獨立重復(fù)試驗的3個條件成立時應(yīng)用的.獨立重復(fù)試驗的條件：①每次試驗在相同條件下可重復(fù)進行；②各次試驗是相互獨立的；③每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.）.隨機變量X表示的事件不同超幾何分布中離散型隨機變量X表示抽取出的這n件產(chǎn)品中的次品數(shù).所以事件{X=k}表示抽取的n件產(chǎn)品中有二項分布中離散型隨機變量X表示這n次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，即成功次數(shù).所以事件{X=k}表示n次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)了k次，事件6、隨機變量X表示的事件概率計算公式不同超幾何分布進行的隨機試驗是滿足古典概型的隨機試驗，所以事件{X=k}發(fā)生的概率二項分布中進行的是獨立重復(fù)試驗，滿足獨立事件的概率乘法公式，所以事件{X=k}發(fā)生的概率7、隨機變量X的概率計算條件不同超幾何分布概率計算會在題設(shè)中給出抽樣個數(shù)n、總體數(shù)N，會給出或可求出總體中兩類產(chǎn)品中的“次品”數(shù)M.二項分布概率計算會在題設(shè)中暗示給出或者可求出成功概率p.8、隨機變量X的數(shù)學(xué)期望公式不同(1)若X～H(證明由k則EX=∑k=1M?k?CMkCN因為抽取一次取到次品概率為MN，所以可以理解為抽取一次平均可取到次品MN件，則抽取n次平均可取到次品(2)若X～B(證明同(1)有kCEX=

又

所以EX=因為在n次獨立重復(fù)試驗中A事件發(fā)生的概率為p，所以可以理解為一次隨機試驗中A事件平均發(fā)生p次，則在n次獨立重復(fù)試驗中A事件平均發(fā)生np次.9、兩種分布的相同點(1)兩者都是離散型隨機變量分布，且隨機變量都只能取非負(fù)整數(shù)值.(2)錯解與正解中兩者的數(shù)學(xué)期望會相等.正因為如此，在抽樣問題中出現(xiàn)答案貌似“正確”，但卻是錯解的現(xiàn)象以后，有些同學(xué)甚至很堅定地認(rèn)為自己的錯解是正確的.究其原因是在題目中取到“次品”概率p=10、兩種分布之間的聯(lián)系當(dāng)總體數(shù)N較小時，無放回抽樣中按照超幾何分布計算的概率與有放回抽樣中按照二項分布計算的概率差異比較明顯，當(dāng)總體數(shù)N不斷變大時兩種分布計算的概率逐漸接近，當(dāng)總體數(shù)N無限或很大時，此時limN→∞?lim證明因為C===(=(NnN(N?1)?(limNlimNlim故limN因此判斷兩種分布時，不能機械地以抽樣方法來判定，對于總體數(shù)N很大的這種抽取，盡管是無放回抽樣，但超幾何分布已經(jīng)近似為二項分布了，我們都把它看成是n次獨立重復(fù)試驗，按照二項分布來解題.11、實例：一個袋中放有SKIPIF1<0個紅球，（SKIPIF1<0）個白球，依次從袋中取SKIPIF1<0個球，記下紅球的個數(shù)SKIPIF1<0如果是不放回地取，則SKIPIF1<0服從超幾何分布。SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）注：每一次取到紅球的概率是不同的如果有放回地取，則SKIPIF1<0～B（SKIPIF1<0）注：每一次取到紅球的概率是相同的所以，超幾何分布與二項分布的本質(zhì)區(qū)別就在于每一次試驗中，事件A發(fā)生的概率是否相同，不同的是超幾何分布，相同的是二項分布。聯(lián)系：當(dāng)抽取的方式從無放回變?yōu)橛蟹呕?，超幾何分布變?yōu)槎椃植?，?dāng)產(chǎn)品總數(shù)N很大時，超幾何分布變?yōu)槎椃植肌＊毩⒅貜?fù)試驗的實際原型是有放回的抽樣檢驗問題，但在實際應(yīng)用中，從大批產(chǎn)品中抽取少量樣品的不放回檢驗，可以近似的看做此類型。拓展：在實際問題中，哪些語言暗示每次試驗事件A發(fā)生的概率相同？“從流水線上抽取”“每次試驗以事件A發(fā)生的頻率近似作為概率等”12、命題方向主要有兩類：第一類命題直接考查二項分布和超幾何分布；第二類是借用二項分布和超幾何分布的計算概率的思想，但題目所研究的隨機變量并不服從二項分布和超幾何分布。13、如何避免發(fā)生兩種分布的誤判要避免發(fā)生兩種分布的誤判，除了需要在知識方面強化對兩種分布概念的理解與辨析，理清概念的本質(zhì)區(qū)別，提高對兩種分布的辨識力之外，由于概率統(tǒng)計題目包含文字較多，加之部分題目中條件可能會以圖表的形式給出，在緊張的考試過程中，學(xué)生就更加難以從繁冗的已知條件中找準(zhǔn)關(guān)鍵字句提取重要信息，往往憑借并不完善的經(jīng)驗選取概率模型解題，但基于兩種分布在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化的特點，學(xué)生在解題時極易發(fā)生兩種分布的誤判，所以為了避免發(fā)生誤判還需培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣，找準(zhǔn)題目中的關(guān)鍵字句進行分析，跳出題目設(shè)置的“陷阱”，走出認(rèn)識誤區(qū).那么為了讓錯誤不再重演，如何審題才能避免發(fā)生兩種分布的誤判?通過以上對兩種分布的概念解讀，不難發(fā)現(xiàn)在判斷兩種分布時需要做到以下五“看”：(1)看總體數(shù)是否給出，末給出或若給出總體數(shù)較大一般考查二項分布.(2)看一次抽取抽中“次品”概率是否給出，若給出或可求出一般考查二項分布.(3)看一次抽取的結(jié)果是否只有兩個結(jié)果，若只有兩個對立的結(jié)果A或A，一般考查二項分布.(4)看抽樣方法，如果是有放回抽樣，一定是二項分布;若是無放回抽樣，需要考慮總體數(shù)再確定.(5)看每一次抽樣試驗中，事件是否獨立，事件發(fā)生概率是否不變，若事件獨立且概率不變，一定考查二項分布，這也是判斷二項分布的最根本依據(jù).考點一超幾何分布1．（2023春·吉林長春·高二長春十一高校考階段練習(xí)）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，白粽8個，這兩種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個．(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)古典概型以及組合數(shù)的計算求得正確答案.（2）根據(jù)超幾何分布的知識求得SKIPIF1<0的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）依題意，既有豆沙粽又有白粽的概率為SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.2．（2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）盒子中有5個乒兵球，其中2個次品，3個正品．現(xiàn)從中不放回地隨機摸取2次小球，每次一個．(1)記“第二次摸出的小球是正品”為事件B，求證：SKIPIF1<0；(2)用X表示摸出的2個小球中次品的個數(shù)，求X的分布列和期望．【答案】(1)證明見解析；(2)分布列見解析，X的期望為SKIPIF1<0.【分析】（1）由題設(shè)SKIPIF1<0第SKIPIF1<0次抽到正品，SKIPIF1<0第SKIPIF1<0次抽到次品，SKIPIF1<0，利用概率的加法公式證明；（2）由題得XSKIPIF1<0利用超幾何分布寫分布列，求出期望.【詳解】（1）由題設(shè)SKIPIF1<0第SKIPIF1<0次抽到正品，SKIPIF1<0第SKIPIF1<0次抽到次品，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故得證.（2）由題得XSKIPIF1<0所以SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.所以X的分布列為SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以X的期望為SKIPIF1<0.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會，已知有4名候選人來自甲班，假設(shè)每名候選人都有相同的機會被選到．(1)求恰有1名甲班的候選人被選中的概率；(2)用X表示選中的候選人中來自甲班的人數(shù)，求SKIPIF1<0；(3)求（2）中X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)分布列見解析，SKIPIF1<0【分析】（1）選取方法共SKIPIF1<0種，其中恰有一人來自甲班由SKIPIF1<0種方法，根據(jù)概率公式計算概率；（2）SKIPIF1<0，計算SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，即得所求概率；（3）由X服從超幾何分布，分別計算概率，列出分布列，計算SKIPIF1<0.【詳解】（1）記事件A為恰有1名甲班的候選人被選中，則SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．（3）由題可知X＝0，1，2，3，4，X服從超幾何分布，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故X的分布列如下：X01234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．4．（2023春·高二課時練習(xí)）教育部門最近出臺了“雙減”政策.即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)，持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)（包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)）.“雙減”政策的出合對校外的培訓(xùn)機構(gòu)經(jīng)濟效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響.某大型校外培訓(xùn)機構(gòu)為了規(guī)避風(fēng)險，尋求發(fā)展制定科學(xué)方案，工作人員對2021年前200名報名學(xué)員的消費金額進行了統(tǒng)計整理，其中數(shù)據(jù)如表.消費金額（千元）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0人數(shù)305060203010該大型校外培訓(xùn)機構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科主陣地輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛好培訓(xùn)轉(zhuǎn)移，為了深入了解當(dāng)前學(xué)生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費金額為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的學(xué)員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進行有獎問卷調(diào)查，求抽取的3人中消費金額為SKIPIF1<0的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；【答案】X的分布列見解析，SKIPIF1<0；【分析】計算出相應(yīng)區(qū)間的人數(shù)，則SKIPIF1<0，按步驟寫出分布列和期望即可.【詳解】由題意得，抽中的5人中消費金額為SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0，消費金額為SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0，設(shè)消費金額為SKIPIF1<0的人數(shù)為X，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以X的分布列為：X123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；5．（浙江省衢溫51聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在2023年3月10日，十四屆全國人大一次會議在北京召開.中共中央總書記、國家主席、中央軍委主席習(xí)近平在十四屆全國人大一次會議閉幕會上發(fā)表重要講話.出席全國兩會的代表委員和全國各地干部群眾紛紛表示，這一重要講話堅定歷史自信、飽含人民情懷、彰顯使命擔(dān)當(dāng)、指引前進方向，必將激勵我們在新征程上團結(jié)奮斗，開拓創(chuàng)新，堅定信心，勇毅前行，作出無負(fù)時代、無負(fù)歷史、無負(fù)人民的業(yè)績，為推進強國建設(shè)、民族復(fù)興作出應(yīng)有貢獻.某社區(qū)為調(diào)查社區(qū)居民對這次會議的關(guān)注度，隨機抽取了60名年齡在SKIPIF1<0的社區(qū)居民，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求選取的社區(qū)居民平均年齡及選取的社區(qū)居民年齡的中位數(shù)；(2)現(xiàn)若樣本中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0年齡段的所有居民都觀看了會議講話，社區(qū)計劃從樣本里這兩個年齡段的居民中抽取3人分享此次觀看會議的感受，設(shè)SKIPIF1<0表示年齡段在SKIPIF1<0的人數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列及期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，期望為1【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)和中位數(shù)的公式，計算求值；（2）利用超幾何分布求概率，再根據(jù)分布列求期望.【詳解】（1）選取的社區(qū)居民平均年齡SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以中位數(shù)落于區(qū)間SKIPIF1<0之間，中位數(shù)為SKIPIF1<0；（2）因為社區(qū)居民年齡在SKIPIF1<0）內(nèi)的人數(shù)為SKIPIF1<0人，在SKIPIF1<0內(nèi)的人數(shù)為6人，所以SKIPIF1<0的可能取值為0,1,2,3,則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0期望為SKIPIF1<0.6．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）在全民抗擊新冠疫情期間，某校開展了“停課不停學(xué)”活動，一個星期后，某校隨機抽取了100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進行問卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間(單位：SKIPIF1<0)的頻率分布直方圖如下，若被抽取的這100名學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)時間不低于8小時有30人.(1)求頻率分布直方圖中實數(shù)SKIPIF1<0的值；(2)每天學(xué)習(xí)時間在SKIPIF1<0的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽2人進行電舌訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；(3)依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時間在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的學(xué)生中按比例分層抽樣抽取8人，再從這8人中選3人進行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時間在SKIPIF1<0的人數(shù)SKIPIF1<0分布和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的知識求得SKIPIF1<0.（2）根據(jù)古典概型的知識求得所求概率.（3）根據(jù)超幾何分布的的知識求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）已知抽取的學(xué)生有男生，則抽取的2人恰好為一男一女的概率為SKIPIF1<0.（3）每天學(xué)習(xí)時間在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的學(xué)生比例為SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0的學(xué)生中抽取SKIPIF1<0人，在SKIPIF1<0的學(xué)生中抽取SKIPIF1<0人.再從這8人中選3人進行電話訪談，抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時間在SKIPIF1<0的人數(shù)SKIPIF1<0的取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0.7．（2023·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某藥廠研制了治療某種疾病的新藥，該藥的治愈率為p，現(xiàn)用該藥給10位病人治療，記被治愈的人數(shù)為X．(1)若SKIPIF1<0，從這10人中隨機選2人進行用藥訪談，求被選中的治愈人數(shù)Y的分布列；(2)已知SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0{SKIPIF1<0概率SKIPIF1<0最大}，且A中僅有兩個元素，求SKIPIF1<0．【答案】(1)答案見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率計算，可求得概率，即得分布列；（2）根據(jù)二項分布的概率公式列出不等式組，求得滿足集合A的k的范圍，結(jié)合條件確定p的值，繼而根據(jù)二項分布的均值求得答案.【詳解】（1）由題意知，Y的所有可能取值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以Y的分布列為Y012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）由題意知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,因為A為雙元素集合且元素為正整數(shù)，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0需為正整數(shù)，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0為正整數(shù)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由題意，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．考點二二項分布8．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？家荒＃?022年秋季開始，勞動課程將正式成為中小學(xué)的一門獨立課程，根據(jù)2022年版義務(wù)教育“新課標(biāo)顯示”，清潔與衛(wèi)生、整理與收納、烹飪與健康、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)勞作等任務(wù)，將貫穿不同的年級.某校為了貫徹落實教育部要求，調(diào)查了在校高中生一周參加勞動的時間，所得結(jié)果統(tǒng)計如圖所示.(1)求a的值；(2)求該校學(xué)生一周參加勞動的平均時間；(3)以頻率估計概率，若在該市所有學(xué)生中隨機抽取4人，記一周的勞動時間在SKIPIF1<0的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0min(3)分布列見解析，1【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各小長方形面積之和為1，列方程即可求解；（2）利用平均數(shù)的公式列式即可求解；（3）求得X的可能取值及對應(yīng)概率，完成分布列，即可求得期望．【詳解】（1）SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）該校學(xué)生一周參加勞動的平均時間為SKIPIF1<0(min)；（3）一周的勞動時間在SKIPIF1<0的學(xué)生的概率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故X的分布列為：X01234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.9．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）“綠水青山就是金山銀山”的理念越來越深入人心.據(jù)此，某網(wǎng)站調(diào)查了人們對生態(tài)文明建設(shè)的關(guān)注情況，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參與調(diào)查的人員中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查的關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人員中隨機選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求這200人的平均年齡（每一組用該組區(qū)間的中點值作為代表）；(2)現(xiàn)在要從年齡在第1，2組的人員中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調(diào)查，求抽取的3人中至少1人的年齡在第1組中的概率；(3)用頻率估計概率，從所有參與生態(tài)文明建設(shè)關(guān)注調(diào)查的人員（假設(shè)人數(shù)很多，各人是否關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)互不影響）中任意選出3人，設(shè)這3人中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及期望.【答案】(1)41.5歲(2)SKIPIF1<0(3)分布列見解析，SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)頻率和為1求SKIPIF1<0，進而可求平均數(shù)；（2）根據(jù)題意結(jié)合古典概型分析運算；（3）根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，根據(jù)二項分布求分布列和期望.【詳解】（1）由小矩形面積和等于1可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.平均年齡SKIPIF1<0（歲）.（2）第1組總?cè)藬?shù)為200×0.01×10＝20，第2組總?cè)藬?shù)為200×0.015×10＝30根據(jù)分層抽樣可得：第1組抽取SKIPIF1<0人，第2組抽取SKIPIF1<0人再從這5人中抽取3人，設(shè)至少1人的年齡在第1組中的事件為A，其概率為SKIPIF1<0.（3）由題意可知：SKIPIF1<0，則有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴X的分布列為：X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0.10．（2023·湖南常德·二模）某大學(xué)一個專業(yè)團隊為某專業(yè)大學(xué)生研究了多款學(xué)習(xí)軟件，其中有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三款軟件投入使用，經(jīng)一學(xué)年使用后，團隊調(diào)查了這個專業(yè)大一四個班的使用情況，從各班抽取的樣本人數(shù)如下表：班級一二三四人數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)從這SKIPIF1<0人中隨機抽取SKIPIF1<0人，求這SKIPIF1<0人恰好來自同一班級的概率；(2)從這SKIPIF1<0名學(xué)生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們下午自習(xí)時間每人選擇一款軟件，其中選SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩款軟件學(xué)習(xí)的概率都是SKIPIF1<0，且他們選擇SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0任一款軟件都是相互獨立的，設(shè)這三名學(xué)生中下午自習(xí)時間選軟件SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0【分析】（1）結(jié)合組合的應(yīng)用，根據(jù)古典概型公式求解即可；（2）由題知，甲乙丙同學(xué)選擇SKIPIF1<0任一款軟件學(xué)習(xí)的概率是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而根據(jù)二項分布求解即可.【詳解】（1）解：由題知，從這SKIPIF1<0人中隨機抽取SKIPIF1<0人，共有SKIPIF1<0種可能情況，記“這SKIPIF1<0人恰好來自同一班級”為事件SKIPIF1<0，則事件SKIPIF1<0包含的可能情況有：SKIPIF1<0種，所以，SKIPIF1<0（2）解：由題知，SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，因為選SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩款軟件學(xué)習(xí)的概率都是SKIPIF1<0，且他們選擇SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0任一款軟件都是相互獨立的所以，他們選擇SKIPIF1<0款軟件學(xué)習(xí)的概率是SKIPIF1<0所以，這三名學(xué)生中下午自習(xí)時間選軟件SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以，SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<011．（浙江省寧波三鋒教研聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）為了迎接4月23日“世界圖書日”，寧波市將組織中學(xué)生進行一次文化知識有獎競賽，競賽獎勵規(guī)則如下，得分在SKIPIF1<0內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在[80，90）內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在SKIPIF1<0內(nèi)的學(xué)生獲一等獎，其他學(xué)生不得獎．為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖．(1)求a的值；若現(xiàn)從該樣本中隨機抽取兩名學(xué)生的競賽成績，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎的概率；(2)若我市所有參賽學(xué)生的成績SKIPIF1<0近似服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為樣本平均數(shù)的估計值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①若我市共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于10000）隨機抽取3名學(xué)生進行訪談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為SKIPIF1<0，求隨機變量SKIPIF1<0的分布列?均值．附參考數(shù)據(jù)：若隨機變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0；②分布列見解析；期望為SKIPIF1<0【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)求SKIPIF1<0，根據(jù)樣本頻率分布直方圖確定獲獎人數(shù)，再求得從該樣本中隨機抽取的兩名學(xué)生的競賽成績基本事件總數(shù)，與“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎”情況數(shù)，利用古典概型計算概率即可；（2）由樣本頻率分布直方圖得，求解樣本平均數(shù)的估計值，即可得正態(tài)分布的均值，按照正態(tài)分布的性質(zhì)求解參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)；由樣本估計總體可知隨機變量SKIPIF1<0服從二項分布SKIPIF1<0，根據(jù)二項分布確定概率分布列與數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖性質(zhì)可得：SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，由樣本頻率分布直方圖得，樣本中獲一等獎的有SKIPIF1<0人，獲二等獎的有SKIPIF1<0人，獲三等獎的有SKIPIF1<0人，共有30人獲獎，70人沒有獲獎，從該樣本中隨機抽取兩名學(xué)生的競賽成績，基本事件總數(shù)為SKIPIF1<0，設(shè)“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎”為事件SKIPIF1<0，則事件SKIPIF1<0包含的基本事件的個數(shù)為SKIPIF1<0，因為每個基本事件出現(xiàn)的可能性都相等，所以SKIPIF1<0，即抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎的概率為SKIPIF1<0（2）由樣本頻率分布直方圖得樣本平均數(shù)的估計值，SKIPIF1<0SKIPIF1<0則所有參賽學(xué)生的成績SKIPIF1<0近似服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，①因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)約為SKIPIF1<0．②由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即從所有參賽學(xué)生中隨機抽取1名學(xué)生，該生競賽成績在64分以上的概率為SKIPIF1<0，所以隨機變量SKIPIF1<0服從二項分布SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以隨機變量SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.12．（安徽省安慶市示范高中2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）體育課上，體育老師安排了籃球測試，規(guī)定：每位同學(xué)有3次投籃機會，若投中2次或3次，則測試通過，若沒有通過測試，則必須進行投籃訓(xùn)練，每人投籃20次．已知甲同學(xué)每次投中的概率為SKIPIF1<0且每次是否投中相互獨立．(1)求甲同學(xué)通過測試的概率；(2)若乙同學(xué)每次投中的概率為SKIPIF1<0且每次是否投中相互獨立．設(shè)經(jīng)過測試后，甲、乙兩位同學(xué)需要進行投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)之和為X，求X的分布列與均值；(3)為提高甲同學(xué)通過測試的概率，體育老師要求甲同學(xué)可以找一個“最佳搭檔”，該搭檔有2次投籃機會，規(guī)定甲同學(xué)與其搭檔投中次數(shù)不少于3次，則甲同學(xué)通過測試．若甲同學(xué)所找的搭檔每次投中的概率為SKIPIF1<0且每次是否投中相互獨立，問：當(dāng)p滿足什么條件時可以提高甲同學(xué)通過測試的概率？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】(1)甲同學(xué)投中2次或3次通過測試分別求出概率即可；(2)分別求出甲、乙通過測試和沒有通過測試的概率，分析出SKIPIF1<0，20，40，進而可以列出分布列求出結(jié)果；(3)分別算出甲投中1次，其搭檔投中2次的概率，甲投中2次，其搭檔至少投中1次的概率，甲投中3次的概率，進而求出甲同學(xué)通過測試的概率，從而求出結(jié)果.【詳解】（1）由條件知甲同學(xué)通過測試的概率為SKIPIF1<0．（2）由（1）可知甲同學(xué)沒有通過測試的概率為SKIPIF1<0，根據(jù)題意乙同學(xué)通過測試的概率為SKIPIF1<0，所以乙同學(xué)沒有通過測試的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，20，40，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是X的分布列為：X02040PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．（3）由題意知甲投中1次，其搭檔投中2次的概率為SKIPIF1<0；甲投中2次，其搭檔至少投中1次的概率為：SKIPIF1<0；甲投中3次的概率為SKIPIF1<0，所以甲同學(xué)通過測試的概率為SKIPIF1<0，根據(jù)題意可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，可以提高甲同學(xué)通過測試的概率.13．（2023春·湖南張家界·高二慈利縣第一中學(xué)?？计谥校┰陂_展某些問卷調(diào)查時，往往會因為涉及個人隱私而導(dǎo)致調(diào)查數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，某小組為探究“甲校園中曾經(jīng)有多少學(xué)生上課睡過覺”設(shè)計SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩個問題，SKIPIF1<0問題“你是否曾經(jīng)上課睡過覺”，SKIPIF1<0問題“你是否在上半年出生”，小組成員邀請學(xué)生逐一在裝有SKIPIF1<0、B問題的兩個袋子中隨機選取一個，若答案是肯定的，則向盒子中放入1個石子，否則直接離開（SKIPIF1<0問題肯定與否定的概率視為相等），由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個問題也是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無顧慮地給出符合實際情況的答案.(1)若該小組共邀請了100名學(xué)生，盒子內(nèi)出現(xiàn)了30個石子，甲校園內(nèi)有1000個學(xué)生，試估計甲校園內(nèi)曾經(jīng)上課睡過覺的學(xué)生人數(shù)；(2)視（1）問中的頻率為概率，現(xiàn)從該校園中隨機抽取SKIPIF1<0名學(xué)生，記其中曾經(jīng)上課睡過覺的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)100名(2)分布列見解析，0.4【分析】（1）由條件求出回答曾經(jīng)上課睡過覺的學(xué)生人數(shù)，再由樣本頻率估計概率；（2）由條件判斷SKIPIF1<0，再根據(jù)二項分布的分布列和均值公式結(jié)論求解.【詳解】（1）回答SKIPIF1<0問題的學(xué)生有SKIPIF1<0人，投入的石子有SKIPIF1<0個，回答SKIPIF1<0問題的學(xué)生有SKIPIF1<0人，投入的石子有SKIPIF1<0個，用樣本估計總體，則學(xué)生上課睡覺的頻率SKIPIF1<0，則估計甲校園內(nèi)上課睡覺的學(xué)生人數(shù)有SKIPIF1<0名；（2）由已知隨機變量SKIPIF1<0的取值有SKIPIF1<0，由（1）從甲校園隨機抽取一名同學(xué)，該同學(xué)曾經(jīng)上課睡過覺的概率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則隨機變量SKIPIF1<0的分布列為:SKIPIF1<001234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0．14．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由SKIPIF1<0個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為SKIPIF1<0，各元件之間相互獨立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正常運行的概率為SKIPIF1<0（例如：SKIPIF1<0表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運行的概率；SKIPIF1<0表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運行的概率）.(1)若SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求SKIPIF1<0；(2)已知設(shè)備升級前，單位時間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤為1元，設(shè)備升級后，在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為SKIPIF1<0，每件高端產(chǎn)品的利潤是2元.記設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為Y（單位：元）.（i）請用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；（ii）設(shè)備升級后，在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設(shè)備能否通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤.【答案】(1)分布列見解析，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)（i）SKIPIF1<0，（ii）答案見解析【分析】（1）由題意可知SKIPIF1<0，利用二項分布求解即可求得期望，根據(jù)互斥事件的和事件的概率公式求解SKIPIF1<0；（2）（i）先寫出升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的分布列congestion求出設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤，即為SKIPIF1<0；（ii）分類討論求出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系，做差比較大小即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，3；因為每個元件的工作相互獨立，且正常工作的概率均為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）（i）升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的分布列為產(chǎn)量SKIPIF1<00設(shè)備運行概率SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的期望為SKIPIF1<0；所以產(chǎn)品類型高端產(chǎn)品一般產(chǎn)品產(chǎn)量（單位：件）SKIPIF1<0SKIPIF1<0利潤（單位：元）21設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（ii）因為控制系統(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)，若增加2個元件，則第一類：原系統(tǒng)中至少有SKIPIF1<0個元件正常工作，其概率為SKIPIF1<0；第二類：原系統(tǒng)中恰好有SKIPIF1<0個元件正常工作，新增2個元件中至少有1個正常工作，其概率為SKIPIF1<0；第三類：原系統(tǒng)中有SKIPIF1<0個元件正常工作，新增2個元件全部正常工作，其概率為SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，即增加元件個數(shù)設(shè)備正常工作的概率變大，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即增加元件個數(shù)設(shè)備正常工作的概率沒有變大，又因為SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，設(shè)備可以通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤；當(dāng)SKIPIF1<0時，設(shè)備不可以通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤．【點睛】關(guān)鍵點點睛：分析增加2個元件后，分三類求解，求出SKIPIF1<0是解題的難點與關(guān)鍵.15．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）今天，中國航天仍然邁著大步向浩瀚宇宙不斷探索，取得了舉世矚目的非凡成就．某學(xué)校為了解學(xué)生對航天知識的知曉情況，在全校學(xué)生中開展了航天知識測試（滿分100分），隨機抽取了100名學(xué)生的測試成績，按照SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分組，得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校學(xué)生測試成績的中位數(shù)；(2)用樣本的頻率估計概率，從該校所有學(xué)生中隨機抽取10名學(xué)生的成績，用SKIPIF1<0表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生的成績在SKIPIF1<0上的概率，求SKIPIF1<0取最大值時對應(yīng)的k的值；(3)從測試成績在SKIPIF1<0的同學(xué)中再次選拔進入復(fù)賽的選手，一共有6道題，從中隨機挑選出4道題進行測試，至少答對3道題者才可以進入復(fù)賽．現(xiàn)有甲、乙兩人參加選拔，在這6道題中甲能答對4道，乙能答對3道，且甲、乙兩人各題是否答對相互獨立．記甲、乙兩人中進入復(fù)賽的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列及期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)分布列見解析；SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)題意，由中位數(shù)的意義列出方程，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時，則SKIPIF1<0，然后求解，即可得到結(jié)果；（3）由題意可得，甲乙分別進入復(fù)賽的概率，然后求得SKIPIF1<0的概率，即可得到分布列與期望.【詳解】（1）因為前兩個矩形的面積之和為SKIPIF1<0，前三個矩形面積為SKIPIF1<0，所以中位數(shù)在SKIPIF1<0之間，設(shè)中位數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故中位數(shù)為SKIPIF1<0.（2）由題意可得，成績在SKIPIF1<0上的概率為SKIPIF1<0，則不在SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）由題意可知，從6道題中選4題共有SKIPIF1<0，因為甲能答對6道題中的4道題，故甲能進復(fù)賽的情況共有SKIPIF1<0，所以甲能進復(fù)賽的概率為SKIPIF1<0，則甲不能進復(fù)賽的概率為SKIPIF1<0；因為乙能答對6道題中的3道題，故乙能進復(fù)賽的情況共有SKIPIF1<0,所以乙能進復(fù)賽的概率為SKIPIF1<0，則乙不能進復(fù)賽的概率為SKIPIF1<0；依題可得，SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則分布列為:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0.16．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某醫(yī)藥企業(yè)使用新技術(shù)對某款血夜試劑進行試生產(chǎn).(1)在試產(chǎn)初期，該款血液試劑的I批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款血夜試劑在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為SKIPIF1<0.①求批次I的血液試劑經(jīng)過前三道工序后的次品率SKIPIF1<0；②第四道工序中智能自動檢測為次品的血液試劑會被自動淘汰，合格的血液試劑進入流水線并由工人進行抽查檢驗.已知批次I的血液試劑智能自動檢測顯示合格率為SKIPIF1<0，求工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個血液試劑恰為合格品的概率（百分號前保留兩位小數(shù)）；(2)已知某批次血液試劑的次品率為SKIPIF1<0，設(shè)100個血液試劑中恰有1個為不合格品的概率為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值點SKIPIF1<0.【答案】(1)①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）①根據(jù)已知條件，結(jié)合相互獨立事件的概率公式，以及對立事件概率和為1，即可求解；②根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解；（2）求出100個血液試劑中恰有1個為不合格品的概率為SKIPIF1<0，然后利用導(dǎo)數(shù)求解SKIPIF1<0的最大值點，即可求出SKIPIF1<0.【詳解】（1）①批次Ⅰ的血夜試劑經(jīng)過前三道工序后的次品率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0②設(shè)批次Ⅰ的血夜試劑智能自動檢測合格為事件A，人工抽檢合格為事件B，由已知得SKIPIF1<0則工人在流水線進行人工抽檢時，SKIPIF1<0.（2）100個血液試劑中恰有1個不合格的概率SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.17．（2023·全國·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）調(diào)查問卷中常常涉及到個人隱私或本人不愿正面回答的問題，被訪人可能拒絕回答，即使回答，也不能期望答案是真實的.某小區(qū)要調(diào)查業(yè)主對物業(yè)工作是否滿意的真實情況，現(xiàn)利用“隨機化選答抽樣”方法制作了具體調(diào)查方案，其操作流程如下：在一個箱子里放3個紅球和2個白球，被調(diào)查者在摸到球后記住顏色并立即將球放回，如果抽到的是紅球，則回答“你的性別是否為男性？”如果抽到的是白球，則回答“你對物業(yè)工作現(xiàn)狀是否滿意？”兩個問題均用“是”或“否”回答.(1)共收取調(diào)查問卷100份，其中答案為“是”的問卷為60份，求一個業(yè)主對物業(yè)工作表示滿意的概率，已知該小區(qū)共有業(yè)主500人，估計該小區(qū)業(yè)主對物業(yè)工作滿意的人數(shù)；(2)現(xiàn)為了提高對物業(yè)工作滿意的業(yè)主比例，對小區(qū)業(yè)主進行隨機訪談，請表示不滿意的業(yè)主在訪談中提出兩個有待改進的問題.（i）若物業(yè)對每一個待改進的問題均提出一個相應(yīng)的解決方案，該方案需要由5名業(yè)主委員會代表投票決定是否可行.每位代表投贊同票的概率均為SKIPIF1<0，方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，并最終解決該問題，求某個問題能夠被解決的概率SKIPIF1<0；（ii）假設(shè)業(yè)主所提問題各不相同，每一個問題能夠被解決的概率都為SKIPIF1<0，并且都相互獨立.物業(yè)每解決一個問題，業(yè)主滿意的比例將提高一個百分點.為了讓業(yè)主滿意的比例提高到80%，試估計至少要訪談多少位業(yè)主？【答案】(1)SKIPIF1<0，375人(2)（i）SKIPIF1<0；（ii）至少要訪談48位業(yè)主【分析】（1）根據(jù)紅球與白球的個數(shù)比例以及問卷調(diào)查的情況，通過比例求解即可；（2）（i）由每位代表投贊同票的概率均為SKIPIF1<0，且方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，根據(jù)二項分布的概率公式運算求解即可；（ii）由（1）知，該小區(qū)業(yè)主對物業(yè)工作滿意的概率為SKIPIF1<0，要使?jié)M意度提高到80%，可設(shè)設(shè)至少要訪談SKIPIF1<0位業(yè)主，列出關(guān)于SKIPIF1<0的不等式，解不等式即可．【詳解】（1）記：事件SKIPIF1<0“業(yè)主對物業(yè)工作表示滿意”，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0（人），故該小區(qū)業(yè)主對物業(yè)工作表示滿意的人數(shù)約為375人；（2）（i）由已知得，每位代表投贊同票的概率均為SKIPIF1<0，方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，所以SKIPIF1<0，故某個問題能夠被解決的概率SKIPIF1<0；（ii）設(shè)至少要訪談SKIPIF1<0位業(yè)主，由（1）知，該小區(qū)業(yè)主對物業(yè)工作滿意的概率為SKIPIF1<0，要使業(yè)主滿意的比例提高到80%，則有SKIPIF1<0，故至少要訪談48位業(yè)主．考點三超幾何分布和二項分布的綜合18．（2021·高二單元測試）一機床生產(chǎn)了SKIPIF1<0個汽車零件，其中有SKIPIF1<0個一等品、SKIPIF1<0個合格品、SKIPIF1<0個次品，從中隨機地抽出SKIPIF1<0個零件作為樣本.用SKIPIF1<0表示樣本中一等品的個數(shù).（1）若有放回地抽取，求SKIPIF1<0的分布列；（2）若不放回地抽取，用樣本中一等品的比例去估計總體中一等品的比例.①求誤差不超過SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的值；②求誤差不超過SKIPIF1<0的概率（結(jié)果不用計算，用式子表示即可）【答案】