人教A版高中數學(選擇性必修第一冊)同步講義第09講 拓展三：二面角的傳統(tǒng)法與向量法（含解析）

第09講拓展三：二面角的傳統(tǒng)法與向量法(含探索性問題）一、知識點歸納1、定義法在二面角的棱上任取一點（通常都是取特殊點，如中點，端點），過該點在兩個半平面內作二面角棱的垂線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角.2、三垂線法三垂線定理：在平面內的一條直線如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直.具體操作步驟（如圖在三棱錐SKIPIF1<0中）求二面角SKIPIF1<0：①第一垂：過點SKIPIF1<0向平面SKIPIF1<0引垂線SKIPIF1<0（一般是找+證，證明SKIPIF1<0）②第二垂：在平面SKIPIF1<0中，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足為SKIPIF1<0③第三垂：連接SKIPIF1<0（解答題需證明SKIPIF1<0）3、射影面積法（SKIPIF1<0）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（SKIPIF1<0）求出二面角的大小.4、用向量運算求平面與平面的夾角如圖，若SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0分別為面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0根據圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則SKIPIF1<0；若二面角為鈍二面角（取負），則SKIPIF1<0；題型01利用定義法求二面角（定值）【典例1】（2023·全國·高一專題練習）假設SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面外一點，而SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是邊長為2的正三角形，SKIPIF1<0，那么二面角SKIPIF1<0的大小為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是邊長為2的正三角形，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，又因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0.故選：D.【典例2】（2023·全國·高一專題練習）如圖，已知正方體SKIPIF1<0．(1)求二面角SKIPIF1<0的正切值的大小；(2)求二面角SKIPIF1<0的正切值的大?。敬鸢浮?1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【詳解】（1）連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因為四邊形SKIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，設SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的正切值為SKIPIF1<0.（2）連接SKIPIF1<0,其中點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的正切值為SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國·高一專題練習）在正方體SKIPIF1<0中，二面角SKIPIF1<0的大小是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】

因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為二面角SKIPIF1<0的平面角，因為SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的大小是SKIPIF1<0．故選：C．【變式2】（2023·高一單元測試）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，(1)求異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的大小；(2)求二面角SKIPIF1<0的大小.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）在正方體SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，由于三角形SKIPIF1<0是等邊三角形，所以SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的大小為SKIPIF1<0.（2）在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，根據正方體的性質可知SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0.題型02利用三垂線法求二面角（定值）【典例1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0.則二面角SKIPIF1<0的正弦值為_____.【答案】SKIPIF1<0【詳解】取BC的中點D，連結PD，AD，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面PAD，SKIPIF1<0平面PAD，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面PAD，因為SKIPIF1<0平面PAD，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為二面角SKIPIF1<0的平面角，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的正弦值是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·高一課時練習）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1．(1)求異面直線SKIPIF1<0與AC所成角的大小；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）連SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，因為四邊形SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即異面直線SKIPIF1<0與AC所成角的大小為SKIPIF1<0.（2）設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0，因為四邊形SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0就是二面角SKIPIF1<0的平面角.因為正方體SKIPIF1<0的棱長為1，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國·高一專題練習）已知如圖邊長為SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0外有一點SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小的正切值______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】設SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式2】（2023·上?！つM預測）直四棱柱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若四棱柱體積為36，求二面角SKIPIF1<0大小的正切值【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）四棱柱體積SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0點作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（三垂線定理），故SKIPIF1<0即為二面角SKIPIF1<0的平面角，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0

題型03利用面積投影法求二面角（定值）【典例1】（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所在平面垂直，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則二面角SKIPIF1<0的余弦值為_______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】過A作SKIPIF1<0的延長線于E，連結DE，∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴E點即為點A在平面SKIPIF1<0內的射影，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內的射影，

設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0由余弦定理可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.而二面角SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互補，∴二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知長方體SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是邊長為1的正方形，側棱SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0分別交棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0面積的最小值為________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】法一：根據題意作圖，如圖①所示，過點F作FH⊥BD1交BD1于H，設FH＝h.由題意得BD1＝2.因為長方體對面平行，所以截面BFD1E為平行四邊形，則SKIPIF1<0，當h取最小值時四邊形BFD1E的面積最小.易知h的最小值為直線CC1與直線BD1間的距離.易知當F為CC1的中點時，h取得最小值，hmin＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故四邊形BFD1E面積的最小值為SKIPIF1<0.法二(射影面積法)：設平面BFD1E與底面ABCD的交線為l.如圖②，過D1作D1H⊥l交l于H.連接DH，則∠D1HD為二面角D1-l-D的平面角，設為θ.根據射影面積公式SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,則當cosθ最大時，SKIPIF1<0最小.當cosθ最大時，分析易知DH最長.又DH最長為DB＝SKIPIF1<0，所以cosθ最大值為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以四邊形BFD1E面積的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023秋·高二課時練習）SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內的射影是SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0的面積為S，它和平面SKIPIF1<0所成的一個二面角的大小為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為銳角），則SKIPIF1<0的面積是__________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖所示，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為A在SKIPIF1<0內的射影是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為平面ABC和平面SKIPIF1<0所成的二面角的平面角，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.

【變式2】（2023·全國·高一專題練習）直角三角形SKIPIF1<0的斜邊在平面SKIPIF1<0內，兩條直角邊分別與平面SKIPIF1<0成SKIPIF1<0和SKIPIF1<0角，則這個直角三角形所在的平面與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的余弦值為________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0分別與平面SKIPIF1<0成SKIPIF1<0和SKIPIF1<0角，則SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即所求二面角的平面角為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的面積可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的面積可得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，故所求銳二面角的余弦值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.題型04利用向量法求二面角（定值）【典例1】（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知四棱錐SKIPIF1<0的底面是直角梯形，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點.

(1)求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，由（1）知：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0內過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0兩兩互相垂直，以SKIPIF1<0為坐標原點，以SKIPIF1<0方向分別為SKIPIF1<0軸正方向，建立空間直角坐標系，

則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，易知平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意知，二面角SKIPIF1<0為銳二面角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與底面所成的角為45°，底面SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的余弦值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）解：因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0與底面所成的角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立的空間直角坐標系SKIPIF1<0，如圖所示，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0．（2）解：根據題意，平面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的余弦值為SKIPIF1<0．

【典例3】（2023春·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0向平面SKIPIF1<0作垂線，垂足為SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，又由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標系，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設平面SKIPIF1<0的方向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0.設二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，由圖可知二面角SKIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0.

【變式1】（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學校考一模）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0并與SKIPIF1<0的延長線交于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中位線，∴ME為SKIPIF1<0的中位線，∴SKIPIF1<0.又∵SKIPIF1<0平面PFD，SKIPIF1<0平面PFD，∴SKIPIF1<0平面PFD.（2）以A為坐標原點，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，則由已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵x軸⊥平面PEA，∴設平面PEA的一個法向量為SKIPIF1<0，平面PEF的法向量為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴平面APE與平面PEF所成角的正弦值為SKIPIF1<0.

【變式2】（2023春·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學校?？计谀┤鐖D，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中點.

(1)求三棱錐SKIPIF1<0的體積；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因為四邊形SKIPIF1<0是菱形，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中點，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0.（2）取棱SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0兩兩垂直，故以SKIPIF1<0為原點，分別以SKIPIF1<0的方向為SKIPIF1<0軸的正方向，建立空間直角坐標系.因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.

因SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中點，則SKIPIF1<0.設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0.設平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.題型05利用向量法求二面角（最值或范圍）【典例1】（江蘇省徐州市2022-2023學年高二下學期期末數學試題）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上．

(1)當SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0中點時，求證：SKIPIF1<0；(2)當SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0中點時，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的二面角余弦值的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0．【詳解】（1）因為底面SKIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0為正交基底建立空間坐標系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

當SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0中點時，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）當SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0中點時，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個法向量，設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個法向量．設平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0．所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的二面角余弦值的最大值為SKIPIF1<0．【典例2】（2023春·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面是邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內的射影為SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若點SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點，求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；(3)若點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動點（不包括端點），求銳二面角SKIPIF1<0的余弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）法一：連結SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由題設知四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.法二：由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，則以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.法三：（同法二建系）設平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0不妨取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）由（1）坐標法得SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0點到F到平面SKIPIF1<0的距離=SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由（1）知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0（或者由（1）中待定系數法求出法向量）；設平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，即銳二面角SKIPIF1<0的余弦值的取值范圍為SKIPIF1<0.【典例3】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學校聯(lián)考階段練習）如圖①所示，長方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到圖②的四棱錐SKIPIF1<0．(1)求四棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值；(2)設SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0夾角余弦值的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0點到平面SKIPIF1<0的距離最大，四棱錐SKIPIF1<0的體積取得最大值，此時SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0為梯形，SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的體積最大值為SKIPIF1<0.（2）連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的平面角，即SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0