回歸直線方程教學設計

直線的回歸方程教學設計一、課題引入引言：我們知道，通過散點圖可以判斷兩個變量之間是否具有“正相關〞或“負相關〞，但這只是一個定性的判斷，更多的時候，我們需要的是定量的刻畫．問題1：以下兩個散點圖中,兩個變量之間是否具有線性相關關系？理由呢？是正相關還是負相關？設計意圖：回憶上節(jié)課所學內(nèi)容，使學生的思想、知識和心理能較快地進入本節(jié)課課堂學習的狀態(tài)．師生活動：學生答復，圖1沒有線性相關關系，圖2有線性相關關系，因為圖1中的所有點都落在某一直線的附近．通過問題，使學生回憶前2節(jié)課核心概念：線性相關關系、正相關、負相關等，為后續(xù)學習打根底．本節(jié)課的新知識問題2：通過上一節(jié)課的學習，我們認為以“偏差〞最小的直線作為回歸直線比擬恰當，那你能用代數(shù)式來刻畫“從整體上看，各點與此直線的偏差最小〞嗎？設計意圖：幾何問題代數(shù)化，為下一步探究作好準備，經(jīng)歷“幾何直觀〞轉(zhuǎn)化為“代數(shù)表達〞過程，為引出“最小二乘法〞作準備．師生活動：先展示上一節(jié)課的討論結果：學生提出的如下四種可能性：圖3(1)表示每一點到直線的垂直距離之和最短，圖3(2)表示每一點到直線的“偏差〞之和最短，圖3(3)表示經(jīng)過點最多的直線，圖3(4)表示上下點的個數(shù)“大概〞一樣多的直線．通過上一節(jié)課的分析，我們認為選擇偏差之和最短比擬恰當，即圖3〔2〕．設回歸直線方程為，〔xi，yi〕表示第i個樣本點，將樣本數(shù)據(jù)記為，學生思考，教師啟發(fā)學生比擬以下幾個用于評價的模型：模型3：．師生一起分析后，得出用模型3來制定標準評價一條直線是否為“最好〞的直線較為方便．Q=〔y1－bx1－a〕2+〔y2－bx2－a〕2+…+〔yn－bxn－a〕2=問題3：通過對問題2的分析，我們知道了用Q=最小來表示偏差最小，那么在這個式子中，當樣本點的坐標〔xi，yi〕確定時，a,b等于多少，Q能取到最小值呢？設計意圖：體會最小二乘法思想，不經(jīng)歷公式化簡無法真正理解其意義，而直接從n個點的公式化簡，教學要求、教學時間、學生能力都沒到達這個高度．因而由具體到抽象，由特殊到一般，將是學生順利完成這一認知過程的一般性原那么．通過這個問題，讓學生了解這個式子的結構，為后續(xù)的學習打下根底，同時滲透最小值的思想師生活動：偏差最小從本質(zhì)上來說是最小，為了處理方便，我們采用n個偏差的平方和Q=〔y1－bx1－a〕2+〔y2－bx2－a〕2+…+〔yn－bxn－a〕2表示n個點與相應直線在整體上的接近程度：記Q=〔向?qū)W生說明的意義〕．通過化簡，得到的其實是關于a、b的二元二次函數(shù)求最值的問題，一定存在這樣的a、b，使Q取到最小值．〔1〕在此根底上，視為的二次函數(shù)時，可求出使Q為最小值時的的值的線性回歸方程系數(shù)公式：〔2〕教師指出，稱為樣本點的中心，可以證明回歸直線一定過樣本點的中心，所以可得上述方法求回歸直線的方法，是使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小，由于平方又叫二乘方，所以這種使距離平方最小的方法，叫做最小二乘法．問題4：這個公式不要求記憶，但要會運用這個公式進行運算，那么，要求,的值，你會按怎樣的順序求呢？設計意圖：公式不要求推導，又不要求記憶，學生對這個公式缺少感性的認識，通過這個問題，使學生從感性的層次上對公式有所了解．師生活動：由于這個公式比擬復雜，因此在運用這個公式求,時，必須要有條理，先求什么，再求什么，比方，我們可以按照、n、、、、順序來求，再代入公式．我們一般可以列如下表格進行分布計算：三、知識深化：問題5：你能根據(jù)表一所提供的樣本數(shù)據(jù)，求出線性回歸方程嗎？表一：人體的脂肪百分比和年齡設計意圖：公式形式化程度高、表達復雜，通過分解計算，可加深對公式結構的理解．同時，通過例題，反映數(shù)據(jù)處理的繁雜性，表達計算器處理的優(yōu)越性．師生活動：步驟一，可讓學生觀察公式，充分討論，通過計算：n、、、、五個數(shù)據(jù)帶入回歸方程公式得到線性回歸方程，體會求線性回歸方程的原理與方法．由此可以得到回歸直線方程為：步驟二，教師分析求線性回歸方程的根本步驟，然后帶著學生用卡西歐FX-991ES計算器求出線性回歸方程并畫出回歸直線，教師可協(xié)同學生，對計算器操作方式提供示范，師生共同完成．問題6：利用計算器，根據(jù)以下表中的數(shù)據(jù)，請同學們獨立解決求出表中兩變量的回歸方程：設計意圖：讓學生獨立體驗運用計算器求回歸直線方程，在重復求解回歸直線的過程中，使學生掌握用計算器求回歸直線的操作方法?；貧w直線為：=0.6541x-4.5659

回歸直線為：回歸直線為：=0.5765x-0.4478

問題7：同樣問題背景，為什么回歸直線不止一條？回歸方程求出后，變量間的相關關系是否就轉(zhuǎn)變成確定關系？設計意圖：明確樣本的選擇影響回歸直線方程，表達統(tǒng)計的隨機思想．同時，明確其揭示的是相關關系而非函數(shù)確實定關系，而且最小二乘法只是某一標準下的一種數(shù)據(jù)處理方法，使學生更全面的理解回歸直線這一核心概念．案例：賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的關系下表是某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的比照表〔用計算器直接求回歸直線〕：〔1〕求回歸方程；〔2〕按照回歸方程，計算溫度為10度時銷售杯數(shù)．為什么與表中不同？如果某天的氣溫是－5℃讓學生完整經(jīng)歷求回歸直線的過程．其中第2問，讓學生體會到即使是相比下“最優(yōu)〞的所獲得的回歸直線，也存在著一定的誤差，從中體會無論方法的優(yōu)劣，統(tǒng)計學中隨機性無法防止．而在預測值的計算中，表達了回歸直線的應用價值．通過對案例的分析，說明事件、樣本數(shù)據(jù)、回歸直線方程三者關系：1．數(shù)據(jù)采樣本身就具有隨機性，同樣23歲的人，脂肪含量可能9.5%，也有可能30%，這種誤差我們稱之為隨機誤差，隨機誤差是不可防止的．2．回歸分析是尋找相關關系中非確定關系中的某種確定性，雖然一個數(shù)據(jù)具有隨機誤差，但總體還是具有某種確定的關系．3．在數(shù)據(jù)采樣都符合統(tǒng)計要求的情況下，取三個回歸直線方程中的任意一