2022年上海市靜安區(qū)高考數學模擬試卷（6月份）（附答案詳解）

2022年上海市靜安區(qū)高考數學模擬試卷（6月份）

一、單選題（本大題共4小題，共20.0分）

1.如圖，△4'B'C'是水平放置的A4BC的斜二測直觀圖，其中O'C'=0'4=2。'8',則

以下說法正確的是（）

B.△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形

C.△ABC是等腰直角三角形

D.△ABC是等邊三角形

2.已知函數f（x）=|sinx|+cosx,下列結論正確的是（）

A.f（x）為偶函數B./（?為非奇非偶函數

C.在［0,捫上單調遞減D.的圖像關于直線x=熱寸稱

3.若向量優(yōu)方滿足|引=1,\b\=2,al（a+b）,則&與石的夾角為（）

4.如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，4B是一條側棱，P8=1,2，…,8）是

上底面上其余的八個點，則荏?祠（i=1,2,...,8）的不同值的個數為（）

二、填空題（本大題共12小題，共54.0分）

5.已知集合4={y|y=2x,xN0},B={%|y=ln（2—x）},則4nB=

6.若復數2=告，則|z-i|=.

7.（%-2y戶的展開式中的系數是.（用數字作答）

8.正方體4BCD-4道道1。1的棱長為1,E、F分別為BC、CC1的中點，則平面AEF截

正方體所得的截面面積為.

9.已知/(x)為R上的奇函數，且/Q)+/(2-乃=0,當一1cx<0時，/(x)=2X,

則/(2+log25)的值為.

10.已知雙曲線捻一'=l(a>0,b>0)的兩條漸近線均與圓C：(%-3)2+y2=4相切,

右焦點和圓心重合，則該雙曲線的標準方程為.

11.已知sin(a+$=-圣則sin2a的值為.

12.在如今這個5G時代，6G研究己方興末艾，2021年8月30日第九屆未來信息通信技

術國際研討會在北京舉辦，會上傳出消息，未來6G速率有望達到17bps,并啟用毫

米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網絡，預計6G數

據傳輸速率有望比5G快100倍，時延達到亞毫秒級水平.香農公式。=W，og2(l+

分是被廣泛公認的通信理論基礎和研究依據，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最

大信息傳遞率C取決于信道寬帶勿，信道內信號的平均功率S,信道內部的高斯噪

聲功率N的大小，其中，叫做信噪比.若不改變寬帶W,而將信噪比汕11提升至499,

則最大信息傳遞率C會提升到原來的倍.(結果保留一位小數)

13.已知點F為拋物線/=2Px(p>0)的焦點，點P在拋物線上且橫坐標為8,。為坐標

原點，若AOFP的面積為2近，則該拋物線的準線方程為.

14.設函數/j)(x)=|x|,A(%)=|/o(x)-l|，1(%)=歷(%)—2],則函數上(x)的圖象

與X軸所圍成圖形中的封閉部分的面積是.

15.函數/(x)是偶函數，當XN0E1寸，f(x)=2x+2x-l,則不等式/(%)>3的解集為

16.已知等差數列｛即｝中，a=V1設函數f(x)=(4cos2^-2)sinx+cos2x+2,記

5oN

%=人即)，則數列｛%｝的前9項和為.

三、解答題(本大題共5小題，共76.0分)

17.在A47c中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,cosCsin(A+-)-sinCsin(A

632

⑴求B;

(2)若△ABC的周長為4,面積為產，求b.

18.如圖，在三棱錐4-BCD中，平面平面BCD,AB=AD,。為BD的中點.

(1)證明：041CD；

第2頁，共15頁

(2)已知△。(?。是邊長為1的等邊三角形，且三棱錐4-BCD的體積為?，若點E在

棱AD上，且二面角E-BC-D的大小為45。，求萼.

19.已知｛即｝是公差為2的等差數列，%>0,且a4是2a2和。5-2的等比中項.

(1)求｛a“｝的通項公式；

⑵設數列出"滿足?+腎+…+察=？』，求｛為｝的前71項和6

ala2an

20.已知橢圓C：5+，=l(a>b>0)的左，右焦點分別為Fi，F2,上，下頂點分別

為4,B,四邊形4F1BF2的面積和周長分別為2和4注.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線，：丫=上。+1)(/￡K0)與橢圓。交于從F兩點，線段EF的中垂線交y軸

于M點，且AEMF為直角三角形，求直線，的方程.

因函數、=%+；”>0)的圖像形狀象對勾，我們稱形如“y=x+：(t>0)”的函數為

“對勾函數”.

(1)證明對勾函數具有性質：在(0,歷]上是減函數，在(a,+8)上是增函數；

(2)已知/(x)=2x+W-5,xG[l,3],利用上述性質，求函數f(x)的單調區(qū)間和值

域；

(3)對于(2)中的函數f(無)和函數g(x)=x2-mx+4,若對任意打￡[1,3],總存在&e

[1,3],使得g(%2)</(%i)成立，求實數血的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：根據題意，將△A‘8'C'還原成原圖，如圖，

原圖中，則有,OC=OA=OB,

則aABC是等腰直角三角形；

故選：C.

根據題意，將AAB'C'還原成原圖，分析。C、0B、。4的

關系，由三角形的性質即可得答案.

本題考查平面圖形的直觀圖，涉及斜二測畫法，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：f(x)=|sinx|+cosx,則/(—x)=|sin(—x)|+cos(—x)=|sinx|+cosx=

fM，

故/(x)為偶函數，故4正確，8錯誤，

當x=0時，/(0)=1,當x=］時，/?)=1,故函數/Q)在［0,網上不單調，故C錯誤，

由于函數/g-x)=|sin(^-x)|+cos(^-x)=|cosx|+sinx*/(x),故O錯誤.

故選：A.

對于48,結合偶函數的定義，即可求解；對于C,結合特殊值法，即可求解；對于D,

判斷/《一》)是否等于/⑶，即可求解.

本題主要考查偶函數的定義，以及三角函數的性質，屬于基礎題.

3.【答案】C

(解析］解：??,五JL(4+B)，

a-(a+b)=a24-a-K=1+a-K=0，

a-h=-1,

???8S<a，b>=^F=-5'

又Va,b>E［0,TI］，

??.a與挪夾角為拳

故選：c.

第4頁，共15頁

根據條件可得出蒼i=-1,然后即可求出cos(乙的值，從而得出答案.

本題考查了向量夾角的余弦公式，向量垂直的充要條件，考查了計算能力，屬于基礎題.

4.【答案】4

【解析】解:解法一：建立如圖的空間右手直角坐標系，

根據題意得4(0,0,0),5(0,0,1).

Pi(0,1,1),P2(0,2,1),P3(1A1).”(1,1,1)，

Ps(1,2,1),P6(2,0,l)?P7(2,1,1),P8(2,2,1),

.?.而?麗=1，稱麗=1,荏?福=1,福麗=

1-希?甌=1，AB-APe=1'AB-AK=1-福福=1，

.?.屈?麗(i=1,2，…,8)的不同值的個數為1,

解法二：由向量數量積的幾何定義知:

AB-彳耳等于|AB|與福在荏上的投影之積，

而|荏|=1，麗在同上的投影都為線段2B的長,

ABAPi=1x1=1，

:.荏?福*=1,2,...,8)的不同值的個數為1,

故選：A.

解法一：建系，根據向量的數量積的坐標運算即可求解；

解法二：根據向量的數量積的幾何定義，向量的投影即可求解.

本題考查向量的數量積的坐標運算，向量的數量積的幾何定義，向量的投影,屬基礎題.

5.【答案】[1,2)

【解析】解：4=(y\y=2x,x>0}={y\y>1],F={x\y=ln(2-x))={x\x<2},

??AC\B=[1,2).

故答案為：[1,2).

根據已知條件，先對集合4,B化簡，再結合交集的運算，即可求解.

本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題.

6.【答案】V5

【解析】解：z=^=湍匕=l-i,

則|z-i|=|1-2i|=V12+(-2)2=V5.

故答案為：V5.

先對z化簡，再結合復數模公式，即可求解.

本題主要考查復數的四則運算，以及復數模公式，屬于基礎題.

7.【答案】一80

【解析】解：根據二項式定理可得展開式中含/y3的項為C02(_2y)3=-80/y3,

所以％2y3的系數為-80,

故答案為：—80.

根據二項式定理求出展開式中含/好的項，由此即可求解.

本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題.

8.【答案】I

O

【解析】解：如圖，把截面力EF補形為四邊形4EFD],

連接45,貝何尸〃45,可得等腰梯形AEFDi為平面4EF截正方體所得的截面圖形,

由正方體4BCD-4出忑也的棱長為1,得力劣=&，EF=號

AE=J1+；=苧，則E到仍的距離為4_《)2=等

S四邊形4EFD]=：(曰+或)x苧=￡

故答案為：O

把截面4EF補形為四邊形4EFD],由等腰梯形計算其面積即可.

本題考查了學生的作圖能力及立體幾何證明與求解的綜合應用，屬于基礎題.

9.【答案】一3

【解析】解：根據題意，為R上的奇函數，且/(均+/(2-％)=0,

f(2-x)=-f(x)=f(-x),變形可得f(%+2)=f(x),即函數f(x)是周期為2的周期

函數，

第6頁，共15頁

則/'(2+log25)=/-(log25-2)=f(log2》，

f(x)為奇函數且當一1<x<0時,f(x)=?x,則f(l°g2》=—/(—log?》=-/(log2i)=

4

貝”(2+log25)=-/

故答案為：-：.

根據題意，分析函數的周期，由此可得/■(2+log25)="log25-2)=/(log2$,結合

函數的奇偶性和解析式計算可得答案.

本題考查函數奇偶性的性質以及應用，涉及函數值的計算，屬于基礎題.

10.【答案】百一狂=1

54

【解析】解：由題意可知，雙曲線《一5=l(a>0,b>0)的兩條漸近線方程為y=+^x,

即bx+ay=0,

由圓C的方程為(x-3)2+y2=4,得圓心為C(3,0),半徑為r=2,

因為右焦點和圓心重合，所以雙曲線右焦點的坐標為(3,0),c=3,

又因為雙曲線5―3=l(a>0,b>0)的兩條漸近線均與圓C：3y+y2=4相切，

所以與需1=2,即畏=2,解得b=2,

Va2+b27c2

所以4=c2-b2=9—4=5,

所以該雙曲線的標準方程為蘭-絲=1.

54

故答案為：=1.

54

根據已知條件得出雙曲線的漸近線方程及圓的圓心和半徑，進而得出雙曲線的焦點坐標,

利用雙曲線的漸近線與圓相切，得出圓心到漸近線的距離等于半徑,結合雙曲線中a,b,

c三者之間的關系即可求解.

本題考查了雙曲線的性質，屬于中檔題.

11.【答案w

【解析】解：因為sin(a+彳)=—圣

所以日(sina+cosa)=—可得sina+cosa=---，

2

兩邊平方，可得sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a=|,

則sin2a=

故答案為：

由已知利用兩角和的正弦公式化簡可求sina+cosa=-漁，將等式兩邊平方，利用同

2

角三角函數基本關系式以及二倍角的正弦公式即可求解.

本題考查了兩角和的正弦公式，同角三角函數基本關系式以及二倍角的正弦公式在三角

函數化簡求值中的應用，考查了計算能力，屬于基礎題.

12.【答案】2.5

【解析】解：設提升前最大信息傳遞率為G，提升后最大信息傳遞率為C2,

由題意可知，Ci=Wlog2(.l+11)=Wlog212,

C2=仞0先(1+499)=Wlog2500,

W，og2500_202(125)_Zo^(22x53)

所以我=。。乂2

2

Wlog212~log2(.2x3)~他⑵對

1。。222+，0。253_2+3，。%5_2+3x2.328.96

2----a2.5倍.

logz2+logl~2+log23-2+1.583.58

所以最大信息傳遞率C會提升到原來的2.5倍.

故答案為：2.5.

設提升前最大信息傳遞率為的，提升后最大信息傳遞率為C2,再根據題意求?，利用指

數、對數的運算性質化簡即可求解.

本題考查函數的實際應用，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

13.【答案】x=-l

【解析】解：拋物線必=2Px(p>0)的焦點F《,0),

由y2=I6p,可得y=±4而，不妨令P(8,4赤)，

則，OFP=|X^X4萬=py/p=2V2,解之得p=2,

則拋物線方程為y2=4x,其準線方程為x=-l.

故答案為：%=-1.

先求得拋物線標準方程，再去求其準線方程即可解決.

本題考查了拋物線的性質，屬于基礎題.

第8頁，共15頁

14.【答案】7

【解析】解：根據題意，可由%(x)的圖象向下平移1個單位，然后進行絕對值變換得到

再把方。)向下平移2個單位，再進行絕對值變換得到月Q)的圖象如圖所示：

先根據條件分別求出在第一象限，0cx<”寸，心(x)=x+1；當1Wx<3時，心(%)=

—X+3

；2(x)的圖象與無軸所圍成圖形中的封閉部分的面積S=2[。(％+l)dx+/；(-x+

3)]=2[(1x2+%|J)+(-1x2+3x|?)]=7

故答案為：7

要求函數心")的圖象與工軸所圍成圖形中的封閉部分的面積，先求出函數月。)的解析式,

由題意可知，根據圖象的平移與對稱可得到函數心(%)的圖象及解析式，然后利用定積

分求出面積即可.

此題是中檔題，要求學生會利用平移及絕對值變換得到函數的圖象，然后才能利用定積

分求面積.學生做題時應當把函數圖象畫出來，然后數形結合才能得到解題思路.

15.【答案】(-8,-1)u(1,+8)

【解析】解：,當X20時，/(x)=2x+2X-1,

???當xNO時，單調遞增，

又?；/(%)是偶函數，且/(1)=3,

不等式f(|x|)>3=/(I),即田>1,解得久>1或x<-1,

故不等式/(K)>3的解集為(—8,—1)U(1,4-00).

故答案為：(―°°,—1)U(l,+oo).

根據已知條件，結合函數的奇偶性，以及函數的單調性，即可求解.

本題主要考查函數的奇偶性，以及函數的單調性，屬于基礎題.

16.【答案】18

【解析】解：,?'/(%)=(4cos2^-2)sinx+cos2x+2=2cosxsinx+cos2x+2=

sin2x+cos2x+2

=V2sin(2x+3)+2,

由2x+￡=k7r(k€Z),可得x="—g(keZ),當k=l時，x=f,

4288

故函數f(x)的圖象關于點(?,2)對稱，

o

由等差中項的性質可得%+=。2+。8=。3+。7=。4+。6=2a5,

故/'(%)+/(。9)=/(。2)+/(。8)=/(?3)+/(?7)=/(?4)+/(。6)=2X2=4,

所以，數列仇}的前9項和為f(%)+/(a2)+…+/(a9)=4x(2x2)+/(a5)=16+

2=18.

故答案為：18.

化簡函數f(x)的解析式，函數圖象關于點(?,2)對稱，利用等差中項的性質結合正弦型

O

函數的對稱性質可求得結果.

本題考查數列與三角函數的綜合，考查學生的綜合能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(l)sin(4-9=sinQ4+￡—T)=-COS(4+￡),

Jozo

故原式左邊等價于cosCs譏(A+7)+sinCcos{A+7)=sin(4+7+C)=sin(7r-B+

666

*=sin(B—)即sin(B/)=右

又0<B<IT,

故B-洛，

所以B=g；

(2)由余弦定理知"妥""=cosB=5即/4-c2-ac=/?2,

又a+b+c=4,

故小4-c2-ac=[4—(a+c)]2,整理得3ac+16=8(a+c),

又S2ABC=Y=\acsinB=與ac,可得ac=

故a4-c=j,

所以b=|.

第10頁，共15頁

【解析】（1）利用三角函數恒等變換化簡己知等式可得sin（B-5結合范圍0<B<

oN

TT,即可求解8的值.

（2）由已知利用余弦定理可得a?+c2-ac=非，又a+b+c=4,利用三角形的面積公

式可求ac=*進而求得a+c=|,即可求解b的值.

本題主要考查了三角函數恒等變換，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合

應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題.

18.【答案】（1）證明：因為=。為BD的中點，

所以。4JLBD,

因為平面ABD1平面BCD,平面4BDn平面BCD=BD,。4u平面4BD,

所以021平面BCD,

因為COu平面BCD,所以。4J.CD,

解：（2）取。。的中點尸，

因為AOCD為等邊三角形，所以CFJ.OD,

過。作。M\\CF,與BC交于M,則OMJ.。。，

由（1）可知。A_L平面BC。，

因為?！?，。。<3平面8。。，所以041。“，0A10D,

所以。例，OD,0A兩兩垂直，所以以。為原點，OM,0D,。4所在的直線分別為x,y,

z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

因為△OCD是邊長為1的等邊三角形，。為BD的中點,

所以SABCD=2s4（）CD=2X弓=

因為三棱維4-BCD的體積為立，

6

所以!SABCD?04=gx?04=^,所以04=1,

Joz—

6

設詈=t(t>0),則DE=tE4,則E(0,近,±)

Cn1"T*C1TC

因為。41平面BCD,所以瓦5=(0,0,1)是平面BCD的一個法向量,

設平面BCE的一個法向量為=(x,y,z),

因為配=(',|,0),俞=(0,宵，味)?

n-BC=—x+-y=0

所以一tK2t，令艾=7,貝W=i,z=_t+等2

n-BE=—y+—z=0c

、t+lzt+1

所以荏=(一百,1,一半),

因為二面角E-BC-。的大小為45。,

所以|cos〈瓦？，力|=|周高42

2，

化簡得(1+|)2=4,解得t=2或t=-|(舍去)，

所以篙=2,

【解析】(1)由面面垂直的性質結合等腰三角形的性質可證得04,平面BCD,再由線面

垂直的性質可證得結論，

(2)取。。的中點F,則可得CF10D,過。作。M|CF,與BC交于M,則0M10D,可得。M,

0D,。4兩兩垂直，所以以。為原點，OM,0D,。4所在的直線分別為x,y,z軸建立

空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.

本題考查二面角及空間向量的應用，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解:(1)｛%3是公差為2的等差數列,%>0,且。4是2a2和。5-2的等比中

項，

可得諼=2a2(。5-2),即為(%+6)2=2(%+2)(%+8-2),

解得%=2(負值舍去)，

則Qn=24-2(n-1)=2n：

(2)數列｛九｝滿足4+*+?“+察=2"1,

aia2an

可得ri=1時，瓦=4al=8,

nN2時，?+腎+…+”=2",兩式相減可得*=2%

aia2^n-1an

nn+1

則匕=2an=n?2,

第12頁，共15頁

所以〃=4+l,2^+2,2^+...+n-2n+1?

2〃=8+1?23+2?24+...+n-2n+2,

兩式相減可得一7；=-4+22+23+...+2n+1-n-2n+2

=-4+4("2")—幾.2n+2,

1-2

化簡可得〃=8+5—1)-2n+2.

【解析】本題考查等差數列和等比數列的通項公式和求和公式的運用，以及數列的錯位

相減法求和，考查轉化思想和方程思想、運算能力，屬于中檔題.

(1)由等比數列的中項性質和等差數列的通項公式，解方程可得首項，進而得到所求通

項公式：

(2)由數列的遞推式可得勾，再由數列的錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式，

可得所求和.

-x2cxZ)x2=2

2

20.【答案】解：(1)由題意可知，14a=4或

以2=匕2+?2

"2

所以橢圓C的方程為y+y2=1；

(y=fc(x+1)

(2)設E(xi，yI)，F(x,y),聯立/工2..

22%+y=1

消去y,整理得(1+2fc2)x2+4k2%+21-2=0.

所以勺+芯2=一②，與&=蕊，

4=(4/)2-4(1+2k2)(21-2)=8(1+fc2)>0,

由[、/1+亞_2k2%+為_、(-1+必+2)_k

1X~2~~~l+2k^f22-1+2西

所以線段EF的中垂線y—急=一；。+恚)，令x=0,解得y=一4,

因此，“(°，一生危)，所以ME=(Xi，y1+不服)，MF=。2，丫2+生包)，

因為AEMF為直角三角形，且ME=MF,

所以ME1MF,所以砒,MF=xrx2+(y]+—773)(72+焉7)

JL十NKJiiZifC

k2k

=Xl%2+kQl+1)。2+1)+強定l+2k2+(l+2k2)2

22

k2(X]+X)+fc+(]+；H)2

=(FC+1)%IX2+2

〃2,八2k2-24k23k2

+k+

=*+1)X1+2,2-1+2fci(1+27)2

=絲土父=0,所以卜2=1,即卜=±1,

l+2k

所以直線，的方程為x-y+1=0或x+y+1=0.

【解析】(1)根據橢圓的性質，列方程求出a和b的值，即可得到橢圓的方程；

(2)將直線1的方程，代入橢圓方程，求得E