圓的相關(guān)問(wèn)題（月日）x

解析幾何2020年2月北郊高級(jí)中學(xué)劉天程張弟學(xué)習(xí)境界分層憑空一躍眾山小，天下眾生盡掌中千磨萬(wàn)擊還堅(jiān)勁，任爾東西南北風(fēng)不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中初生牛犢不懼虎，牛刀小試談乾坤高一：基礎(chǔ)積累高二：執(zhí)著內(nèi)化高三：堅(jiān)持鉆研解幾、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列解析幾何是進(jìn)入雙一流大學(xué)的一道也是最重要的一道門檻解析幾何圓圓的方程直線與圓圓與圓六類隱圓圓錐曲線中函數(shù)與方程思想一類定點(diǎn)定值一輪：重基礎(chǔ)知識(shí)，概念理解，一題多解；二輪：重一法解多題重思想方法，化歸，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程，分類討論。第一講圓的相關(guān)問(wèn)題2020年2月北郊中學(xué)劉天程張弟考點(diǎn)一

圓的方程考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)一、圓的方程1.圓的方程名稱方程圓心半徑注意事項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)(a,b)r若沒(méi)有給出r>0,則圓的半徑為|r|,實(shí)數(shù)r可以取負(fù)值一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)(D2+E2-4F>0)

-

,

當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí),方程(*)表示圓;當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),方程(*)表示點(diǎn)

;當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí),方程(*)不表示任何圖形【溫馨提示】圓的一般方程突出了方程的形式特點(diǎn):(1)x2和y2的系數(shù)相等且大于0,含x2的項(xiàng)和含y2的項(xiàng)用加號(hào)連接;(2)沒(méi)有含xy的二次項(xiàng);(3)A=C≠0且B=0是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的必

要不充分條件.2.已知P(x1,y1),Q(x2,y2),則以PQ為直徑的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.3.確定圓的方程的條件無(wú)論是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程,都有三個(gè)字母(a,b,r或D,E,F)的值需

要確定,因此確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立的條件.一般可用待定系數(shù)法求解,即利用已知條件得到關(guān)于a,b,r(或D,E,F)的三個(gè)方程組成方程組,

解之得到待定字母系數(shù)的值,從而確定圓的方程.二、點(diǎn)P(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系1.若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,則點(diǎn)P在圓外;2.若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,則點(diǎn)P在圓上;3.若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,則點(diǎn)P在圓內(nèi).【溫馨提示】平面上定點(diǎn)A與圓P上動(dòng)點(diǎn)B之間距離的最大值為|PA|+r;最小值為||PA|-r

|(其中r為圓P的半徑).變量選擇一

求圓的方程的方法1.方程選擇的原則(1)已知條件多與圓心、半徑有關(guān),或與切線、弦長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角、

距離等有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);(2)已知圓上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),則設(shè)圓的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).方法技巧2.求圓的方程的方法(1)待定系數(shù)法:①根據(jù)題意,選擇方程形式(標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程);②根

據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D、E、F的方程組;③解出a,b,r或D、E、F,代入所選的方程中即可.(2)幾何法:在求圓的方程過(guò)程中,常利用圓的一些性質(zhì)或定理直接求出

圓心和半徑,進(jìn)而可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.常用的幾何性質(zhì)有:①圓心在過(guò)切點(diǎn)

且與切線垂直的直線上;②圓心在任一弦的中垂線上;③兩圓內(nèi)切或外

切時(shí),切點(diǎn)與兩圓圓心在一條直線上.例1

(2018江蘇百校聯(lián)考)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2),B(3,-2),且圓心在直線2x-y-3=0上的圓的方程為

.解析解法一:由題意知kAB=2,AB的中點(diǎn)為(4,0),設(shè)圓心為C(a,b),∵圓過(guò)A(5,2),B(3,-2)兩點(diǎn),∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上,則

解得

∴C(2,1),∴r=|CA|=

=

.∴所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=10.解法二:設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),則

解得

故所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=10.解法三:設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),則

解得

∴所求圓的方程為x2+y2-4x-2y-5=0.答案

x2+y2-4x-2y-5=0(或(x-2)2+(y-1)2=10)二

與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的求解方法1.形如μ=

形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題.2.形如t=ax+by形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題,也可

以利用三角代換進(jìn)行處理,如對(duì)于圓(x-a)2+(y-b)2=r2,設(shè)x=a+rcosθ,y=b+

rsinθ.3.形如y=(x-a)2+(y-b)2形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平

方的最值問(wèn)題.4.到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為到圓心的距離問(wèn)題.例2已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求

的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值.(3)求x2+y2的最大值和最小值.解析原方程可化為(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心,

為半徑的圓.(1)

的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,所以設(shè)

=k,即y=kx.當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí),斜率k取得最大值或最小值(如圖1),此時(shí)

=

,解得k=±

.所以

的最大值為

,最小值為-

.圖1幾何畫板

圖2(2)y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距,當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí),縱

截距b取得最大值或最小值(如圖2),此時(shí)

=

,解得b=-2±

.所以y-x的最大值為-2+

,最小值為-2-

.(3)x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方,由平面幾何知識(shí)知,在過(guò)原

點(diǎn)和圓心兩點(diǎn)的直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值.又圓心到原點(diǎn)的距離為

=2,所以x2+y2的最大值是(2+

)2=7+4

,x2+y2的最小值是(2-

)2=7-4

.例3設(shè)P為直線3x-4y+11=0上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓C:x2+y2-2x-2y+1=0的

兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則四邊形PACB的面積的最小值為

.解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=1,圓心為C(1,1),半徑為r=1,根據(jù)對(duì)

稱性可知,四邊形PACB的面積為2S△APC=2×

|PA|r=|PA|=

,要使四邊形PACB的面積最小,只需|PC|最小,最小值為圓心到直線l:3x-4y+11

=0的距離,即d=

=

=2.所以四邊形PACB面積的最小值為

=

=

.答案

幾何畫板考點(diǎn)三

直線與圓的位置關(guān)系考向基礎(chǔ)1.直線與圓的位置關(guān)系的判定設(shè)直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d為圓心(a,b)到

直線l的距離,聯(lián)立直線和圓的方程,消元后得到的一元二次方程的判別

式為Δ.數(shù)軸表示位置關(guān)系判斷方法

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

代數(shù)法幾何法

相交Δ>0d<r2相切Δ=0d=r1相離Δ<0d>r0考點(diǎn)清單2.與圓的切線有關(guān)的結(jié)論(1)過(guò)圓x2+y2=r2(r>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=r2;(2)過(guò)圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)

(y-b)=r2;(3)過(guò)圓x2+y2=r2(r>0)外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,則過(guò)A、

B兩點(diǎn)的直線方程為x0x+y0y=r2;(4)過(guò)圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一點(diǎn)P(x0,y0)引圓的切線,切點(diǎn)

為T,則切線長(zhǎng)為|PT|=

.3.與圓的弦長(zhǎng)有關(guān)的計(jì)算直線與圓相交時(shí),若l為弦長(zhǎng),d為弦心距,r為半徑,則有r2=d2+

,即l=2

,求弦長(zhǎng)或已知弦長(zhǎng)求半徑或弦心距時(shí),一般用上述公式求解.考向突破考向一

弦長(zhǎng)問(wèn)題例4

(2019屆江蘇海門中學(xué)期初)設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相

交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2

,則圓C的面積為

.解析圓C的方程可化為x2+(y-a)2=a2+2,所以圓心的坐標(biāo)為C(0,a),半徑r

=

,所以圓心到直線x-y+2a=0的距離為

=

,所以

+(

)2=(

)2,解得a2=2,所以圓C的半徑為2,所以圓C的面積為4π.答案4π例5

(2018江蘇常州中學(xué)期中)若點(diǎn)P(1,2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上,

則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為

.考向二

切線問(wèn)題解析設(shè)圓的方程為x2+y2=r2,將P的坐標(biāo)代入圓的方程,得r2=5,故圓的方

程為x2+y2=5.

如圖,設(shè)該圓在點(diǎn)P處的切線上的任意一點(diǎn)為M(x,y),則

=(x-1,y-2).由

⊥

,得

·

=0,即1×(x-1)+2×(y-2)=0,即x+2y-5=0.答案

x+2y-5=0考點(diǎn)四

圓與圓的位置關(guān)系考向基礎(chǔ)1.兩圓的位置關(guān)系的判定設(shè)圓O1的方程為(x-a1)2+(y-b1)2=R2(R>0),圓O2的方程為(x-a2)2+(y-b2)2=r2(r>

0),其中R>r.數(shù)軸表示位置關(guān)系判斷方法

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)公切線條數(shù)

幾何法(判斷圓心距|O1O2|與R,r的關(guān)系)代數(shù)法(聯(lián)立兩圓方程,判斷解的個(gè)數(shù))

外離|O1O2|>R+r無(wú)解04外切|O1O2|=R+r一解13相交R-r<|O1O2|<R+r兩解22內(nèi)切|O1O2|=R-r一解11內(nèi)含0≤|O1O2|<R-r無(wú)解002.圓系方程(1)同心圓系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是參數(shù);(2)過(guò)直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)交點(diǎn)的圓系方

程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);(3)過(guò)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0)和圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0)交點(diǎn)的圓系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(該圓系不含圓C2,解題時(shí),注意檢驗(yàn)圓C2是否滿足題意,以防丟解).3.求兩圓公共弦所在直線的方程的方法(1)聯(lián)立兩圓方程,通過(guò)解方程組求出兩交點(diǎn)坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)式求出直線方程;(2)將兩圓的方程（二次項(xiàng)系數(shù)需相等）相減得到的方程就是所求的直線的方程.注意應(yīng)用上述兩種方法的前提是兩圓必須相交.考向突破考向

兩圓位置關(guān)系的判定例

6

(2018江蘇梅村中學(xué)周考)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所

得線段的長(zhǎng)度是2

,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是

.解析由題意知圓M的圓心為(0,a),半徑R=a.因?yàn)閳AM截直線x+y=0所得

線段的長(zhǎng)度為2

,所以圓心M到直線x+y=0的距離d=

=

,解得a=2(負(fù)值舍去).又知圓N的圓心為(1,1),半徑r=1,所以|MN|=

,又2-1<

<2+1,所以兩圓的位置關(guān)系為相交.答案相交方法一

解決與圓有關(guān)的切線問(wèn)題、弦長(zhǎng)問(wèn)題1.求過(guò)圓上的一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程先求切點(diǎn)與圓心連線所在直線的斜率,當(dāng)斜率不存在時(shí),切線方程為y=y0;當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)為k,①k≠0時(shí)由垂直關(guān)系知切線斜率為-

,由點(diǎn)斜式方程可求切線方程,②k=0時(shí)切線方程為x=x0.方法技巧2.求過(guò)圓外一點(diǎn)(x0,y0)的圓的切線方程(1)幾何法:當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)為k,切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由圓心到直線的距離等于半徑,即可得出切線方程.若切線斜率不存在,則由圖形寫出切線方程x=x0.(2)代數(shù)法